江西省師范大學(xué)附屬中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知向量，滿足，則向量在向量方向上的投影為（ ）A0B1C2D2已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（ ）ABC2D-23設(shè)直線的一個方向向量，平面的一個法向量，則直線與平面的位置關(guān)系是（ ）.A垂直B平行C直線在平面內(nèi)D直線在平面內(nèi)或平行

2、4已知，為銳角，且，若，則的最大值為（ ）ABCD5直三棱柱中，、分別為、的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD6方程的實根所在的區(qū)間為（ ）ABCD7已知函數(shù)滿足，且，當(dāng)時，則=A1B0C1D28現(xiàn)有五位同學(xué)分別報名參加航模、機器人、網(wǎng)頁制作三個興趣小組競賽，每人限報一組，那么不同的報名方法種數(shù)有( )A120種B5種C種D種9已知圓與雙曲線的漸近線相切，則的離心率為（ ）ABCD10已知函數(shù)，則“”是“對任意，且，都有( )成立”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件11某學(xué)校有2200名學(xué)生,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取44人,將2200人按1,2,22

3、00隨機編號,則抽取的44人中,編號落在101,500的人數(shù)為（ ）A7B8C9D1012某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（ ）A0.8B0.75C0.6D0.45二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13復(fù)數(shù)的虛部為_14已知函數(shù)f(x)=12x-14sinx-3415若直線為曲線的一條切線，則實數(shù)的值是_16設(shè)函數(shù)f(x)|xa|，g(x)x1，對于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明

4、過程或演算步驟。17（12分）（選修4-5.不等式選講）已知函數(shù)的最小值為.(1)求實數(shù)的值；(2)若,且,求證:.18（12分）已知，.求與的夾角；若， ， ， ，且與交于點，求.19（12分）（在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某10張券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒獎某顧客從此10張獎券中任抽2張，求：（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得的獎品總價值X（元）的概率分布列20（12分）已知函數(shù)（1）若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（2）設(shè)，求證：當(dāng)時， .21（12分）設(shè)，函數(shù).（1）若，極大值；（2）若無零點，求實數(shù)的取值范

5、圍；（3）若有兩個相異零點，求證：.22（10分）如圖，是正方形，是該正方體的中心，是平面外一點，平面，是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：在方向上的投影為，故選D.考點：向量的投影.2、D【解析】試題分析：題中的條件乍一看不知如何下手，但只要明確了是一個常數(shù)，問題就很容易解決了對進行求導(dǎo)：=，所以，-1.考點：本題考查導(dǎo)數(shù)的基本概念及求導(dǎo)公式點評：在做本題時，遇到的主要問題是想不到對函數(shù)進行求導(dǎo)；的導(dǎo)數(shù)不知道是什么實際上是一個常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0.3

6、、D【解析】直線的一個方向向量，平面的一個法向量直線在平面內(nèi)或平行故選D.4、B【解析】把代入等式中，進行恒等變形，用表示，最后利用基本不等式，求出的最大值.【詳解】，.因為為銳角，且，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，因此的最大值為，故本題選B.【點睛】本題考查了三角恒等變形，考查了兩角差的正切公式，考查了應(yīng)用基本不等式求代數(shù)式最值問題.5、B【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),則、，、，設(shè)異面直線與所成角為，則，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點睛】本題考查了空間

7、向量法求異面直線所成的角，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，考查該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理得出答案【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞增，由零點存在定理可知，方程的實根所在區(qū)間為，故選B.【點睛】本題考查零點所在區(qū)間，考查零點存在定理的應(yīng)用，注意零點存在定理所適用的情形，必要時結(jié)合單調(diào)性來考查，這是解函數(shù)零點問題的常用方法，屬于基礎(chǔ)題7、C【解析】通過函數(shù)關(guān)系找到函數(shù)周期，利用周期得到函數(shù)值.【詳解】由，得，所以 又，所以 ，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)所以 故選C【點睛】本題考查了函數(shù)的周期，利用函數(shù)關(guān)系找到函數(shù)周期是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】先計算每

8、個同學(xué)的報名方法種數(shù),利用乘法原理得到答案.【詳解】A同學(xué)可以參加航模、機器人、網(wǎng)頁制作三個興趣小組,共有3種選擇.同理BCDE四位同學(xué)也各有3種選擇,乘法原理得到答案為D【點睛】本題考查了分步乘法乘法計數(shù)原理,屬于簡單題目.9、B【解析】由題意可得雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，求出 的關(guān)系，進而得到雙曲線的離心率，得到答案【詳解】由題意，根據(jù)雙曲線的漸近線方程為根據(jù)圓的圓心到切線的距離等于半徑1，可得，整理得，即，又由，則，可得 即雙曲線的離心率為故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：求出 ，代入公式；只

9、需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)10、A【解析】對任意，且，都有成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立，由函數(shù)的單調(diào)性可得：在上,即，原問題轉(zhuǎn)化為考查“”是“”的關(guān)系，很明顯可得：“”是“對任意，且，都有成立”充分不必要條件.本題選擇A選項.11、B【解析】先求出每一個小組的人數(shù)，再求編號落在101,500的人數(shù).【詳解】每一個小組的人數(shù)為220044所以編號落在101,500的人數(shù)為500-10050故選：B【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】試題分析：記“一天的空

10、氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.考點：條件概率二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出該復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法法則得，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解，一般利用復(fù)數(shù)四則運算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式即可，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、-【解析】解：函數(shù)f(x)=12因此f(x0)=12-15、1【解析】設(shè)切點為，又，所以切點為（0,1）代入直線得b=116、 1，)【解析】對于，不等式恒成立，等價于的圖象在的圖象上方，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可求出實數(shù)的取值范圍.【詳

11、解】不等式f(x)g(x)恒成立如圖，作出函數(shù)f(x)|xa|與g(x)x1的圖象，觀察圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)a1，即a1時，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范圍是1，)故答案為1，)【點睛】本題主要考查利用函數(shù)圖象解答不等式恒成立問題，屬于中檔題不等式恒成立問題常見方法： 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）； 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)； 討論最值或恒成立； 討論參數(shù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3（2）見解析【解析】試題分析：(1)利用絕對值的三角不等式，即可求解函數(shù)的最小值，從而得到實數(shù)的值；(2)由(1)知,且,利用柯西不等式

12、作出證明即可.試題解析：(1)因為,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,所以的最小值為3,于是(2)由(1)知,且,由柯西不等式得 .18、；.【解析】化簡得到，再利用夾角公式得到答案.，根據(jù)向量關(guān)系化簡得到，再平方得到得到答案.【詳解】，.又，.又，. ，.【點睛】本題考查了向量的計算，將表示出來是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對于向量公式的靈活運用和計算能力.19、（1）；（2）分布列見解析.【解析】運用古典概率方法，從有獎的4張獎券中抽到了1張或2張算出答案依題意可知，的所有可能取值為，用古典概型分別求出概率，列出分布列【詳解】（1）該顧客中獎，說明是從有獎的4張獎券中抽到了1張或2張，由于是等可能地抽取，

13、所以該顧客中獎的概率P.（或用間接法，P=1-）. (2)依題意可知，X的所有可能取值為0,10,20,50,60(元)，且P(X0)，P(X10)，P(X20)，P(X50)，P(X60).所以X的分布列為：X010205060P【點睛】本題主要考查的是等可能事件的概率及離散型隨機變量及其分布列，本題的解題關(guān)鍵是看出要求概率的事件包含的結(jié)果數(shù)比較多，注意做到不重不漏20、 (1) ；(2)證明見解析【解析】（1）解法一：求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)并通分，對分成兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、最值，求得實數(shù)的取值范圍.解法二：將原不等式分離常數(shù)，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達法則，求得的取值范圍，由此求得的

14、取值范圍.（2）解法一：先由（1）的結(jié)論，證得當(dāng)時成立.再利用導(dǎo)數(shù)證得當(dāng)時，也成立，由此證得不等式成立.解法二：將所要證明的不等式等價轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，進而證得，也即證得.【詳解】解：（1）【解法一】由得：當(dāng)時，由知，在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，所以當(dāng)時，滿足題意；當(dāng)時，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).這時當(dāng)時，令，則即在上為減函數(shù)，所以即在上的最小值，此時，當(dāng)時，不可能恒成立，即有不滿足題意.綜上可知，當(dāng)，使恒成立時，的取值范圍是.【解法二】當(dāng)時，等價于令，則只須使設(shè)在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，當(dāng)時，由洛必達法則知即當(dāng)時，所以有即當(dāng)，使恒成立時，則的取值范圍是（2）

15、解法一：由（1）知，當(dāng)時，當(dāng)時，又成立故只須在證明，當(dāng)時，即可當(dāng)時，又當(dāng)時，所以，只須證明即可；設(shè)由得：當(dāng)，時當(dāng)時，即在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，當(dāng)時，成立綜上可知，當(dāng)時，成立.（2）解法二：由（1）知當(dāng)時，等價于設(shè)由得：當(dāng)時，；當(dāng)時，即在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，當(dāng)時，因為時，.所以所以成立.綜上可知，當(dāng)時，成立.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，難度較大，屬于難題.21、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】分析：（1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可知的極大值為；（2） ，就分類討論即可；（3）根據(jù)可以得到，因此原不等式的證明可化為，可用導(dǎo)數(shù)證明該不等式.詳解:（1）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故的極大值為.（2），若時，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；若，有唯一零點；若，令，得，在區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上，的極大值為，由于無零點，須使，解得，故所求實數(shù)的取值范圍是（3）由已知得， 所以，故等價于即不妨設(shè)，令，則，在上為單調(diào)增函數(shù)，所以即，也就是，故原不等式成立點睛： 導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)零點個數(shù)問題，應(yīng)該根據(jù)單調(diào)性和零點存在定理來說明而要證明零點滿足的不等式，則