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1、2022-2023學年北京櫻花園中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、 選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1. 已知函數(shù),要使函數(shù)恰有一個零點,則實數(shù)m的取值范圍是( )A. B. C. D. 參考答案:B【分析】先利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值,畫出函數(shù)的大致圖象,令,由函數(shù)的圖象可知方程,只能有一個正根,且若有負根的話,負根必須小于,分類討論,即可求解【詳解】由題意,函數(shù),則,當時,函數(shù)單調(diào)遞減;當時,函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)的最小值為,函數(shù)的大致圖象,如圖所示:函數(shù)恰有一個零點,等價于方程只有一個根,令,由函數(shù)的圖象可知方程,只能有
2、一個正根,且若有負根的話,負根必須小于,當時,方程為,符合題意,當時,若,即時,方程為,解得,符合題意,若,即時:設(shè),()當時,二次函數(shù)開口向下,又,要使方程只有一個正根,且負根小于,則,即,可得,()當時,二次函數(shù)開口向上,又因為,則方程有兩個不等的正根,不符合題意,綜上所求,實數(shù)的取值范圍是:或,故選:B【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題,其中解答中把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程的解,構(gòu)造新函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,結(jié)合根的分布求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了轉(zhuǎn)化思想,以及推理與運算能力2. 設(shè)a,bR,則“a+b1=2-1”是“ab=-2”的 A充分不必要條件 B必要不
3、充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件參考答案:A3. 有六名同學數(shù)學競賽選拔賽,他們的編號分別是16號,得第一名者將參加全國數(shù)學競賽。今有甲、乙、丙、丁四位老師在猜誰將得第一名,甲猜:不是1號就是2號;乙猜:3號不可能;丙猜:4號、5號、6號都不可能;丁猜:是4號、5號、6號中的某一個。以上只有一個人猜測對,則他應該是(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 參考答案:C4. Direchlet函數(shù)定義為:,關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)敘述不正確的是( )A的值域為 B為偶函數(shù) C不是周期函數(shù) D不是單調(diào)函數(shù)參考答案:C略5. 定義域是一切實數(shù)的函數(shù),其圖像是連續(xù)不斷的,且存在常數(shù)()使得 對任意實數(shù)
4、都成立,則稱是一個“伴隨函數(shù)” 有下列關(guān)于“伴隨函數(shù)”的結(jié)論:是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“伴隨函數(shù)”;“伴隨函數(shù)”至少有一個零點;是一個“伴隨函數(shù)”;其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ( )A1個; B2個; C3個; D0個;參考答案:A設(shè)是一個“伴隨函數(shù)”,則,當時,可以取遍實數(shù)集,因此不是唯一一個常值“伴隨函數(shù)”,故不正確;令,得,所以,若,顯然有實數(shù)根;若,又因為的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷,所以在上必有實數(shù)根因此任意的“伴隨函數(shù)”必有根,即任意“伴隨函數(shù)”至少有一個零點,故正確。用反證法,假設(shè)是一個“伴隨函數(shù)”,則(x+)2+x2=0,即(1+)x2+2x+2=0對任意實數(shù)x成立,所以+1=2=2=0,而此式
5、無解,所以f(x)=x2不是一個“伴隨函數(shù)”,故不正確;所以正確的為1個,選A.6. 若函數(shù)( ) A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的奇函數(shù) C.最小正周期為的偶函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)參考答案:D7. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),為奇函數(shù),當時,log2x,則在內(nèi)滿足方程的實數(shù)為A B C D 參考答案:C8. 復數(shù),則它的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限參考答案:C試題分析:復數(shù)的共軛復數(shù)為,在復平面內(nèi)對應點的坐標為,所以位于第三象限。選C考點:復數(shù)的概念及運算9. 已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A B C D參考答
6、案:D10. 設(shè),且滿足則( )A1 B2 C3 D4參考答案:,.考點:1.函數(shù)圖象2.三角函數(shù)的性質(zhì).二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 若直線y=kx與曲線y=x2+x所圍成的封閉圖形的面積為,則k= 參考答案:1+或1考點: 定積分專題: 導數(shù)的概念及應用分析: 先根據(jù)題意畫出區(qū)域,然后依據(jù)圖形得到積分下限和積分上限,從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積,最后用定積分的定義建立等式,即可求出k的值解答: 解:函數(shù)的導數(shù)為f(x)=2x+1,則f(0)=1,將y=kx代入y=x2+x得x=0或x=k1,若k1,則對應的面積S=(kxx2x)dx=(k1)x23|=(k
7、1)3(k1)3=(k1)3=,即(k1)3=,即k1=,即k=+1,若k1,則對應的面積S=(kxx2x)dx=(k1)x23|=(k1)3(k1)3=(k1)3=,即(k1)3=,即k1=,即k=1,綜上k=1+或k=1,故答案為:1+或1點評: 本題主要考查了學生會求出原函數(shù)的能力,以及考查了數(shù)形結(jié)合的思想,同時會利用定積分求圖形面積的能力,屬于中檔題12. 函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是參考答案:0,【考點】兩角和與差的余弦函數(shù);正弦函數(shù)的圖象【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】化簡可得y=sin(x+),解不等式2kx+2k+可得函數(shù)所有的單調(diào)遞增區(qū)間,結(jié)合x0,可得【解答】解:化簡可得y
8、=sinxcos+cosxsin=sin(x+),由2kx+2k+可得2kx2k+,kZ,當k=0時,可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為,由x0,可得x0,故答案為:0,【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù),涉及三角函數(shù)的單調(diào)性,屬基礎(chǔ)題13. 已知函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過三個象限,則實數(shù)a的取值范圍是_參考答案:或【分析】分類討論函數(shù)的單調(diào)性,計算在上的最小值,根據(jù)函數(shù)經(jīng)過的象限得出最小值與零的關(guān)系,從而求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當時,在上單調(diào)遞減,又,所以函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三象限,當時,所以,若時,恒成立,又當時,所以函數(shù)圖象在時,經(jīng)過第一象限,符合題意;若時,在上恒成立,當時,令,解,所以
9、在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又所以函數(shù)圖象在時,經(jīng)過第一象限,符合題意;(2)當時,的圖象在上,只經(jīng)過第三象限,在上恒成立,所以的圖象在上,只經(jīng)過第一象限,故不符合題意;(3)當時,在上單調(diào)遞增,故的圖象在上只經(jīng)過第三象限,所以在上的最小值,當時,令,解得,若時,即時,在上的最小值為,令.若時,則在時,單調(diào)遞減,當時,令,解得,若,在上單調(diào)遞增,故在上的最小值為,令,所以;若,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故在上的最小值為,顯然,故;結(jié)上所述:或.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷和最值計算,考查了數(shù)學運算能力.14. 若 二項展開式中的第5項是常數(shù)項,則中間項的系數(shù)為 參考答案:160略15.
10、 已知x,y滿足約束條件,則的取值范圍為_參考答案:【分析】先畫出可行域,求的范圍,再求的取值范圍?!驹斀狻坑深}得,可行域為圖中陰影部分所示,則,作直線,結(jié)合圖像可知,所以有?!军c睛】本題考查線性規(guī)劃的有關(guān)知識和數(shù)形結(jié)合的思想。16. 的展開式中的系數(shù)是 參考答案:17. 已知P是雙曲線上的一點,F1,F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點,且F1PF2=60,則= ,SF1PF2= 。參考答案:36,略三、 解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18. 在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的
11、極坐標方程為.()求曲線C1的極坐標方程及曲線C2的直角坐標方程;()已知曲線C1,C2交于O,A兩點,過O點且垂直于OA的直線與曲線C1,C2交于M,N兩點,求的值.參考答案:()曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),利用平方關(guān)系可得:,化為直角坐標方程.利用互化公式可得:曲線的極坐標方程為,即.曲線的極坐標方程為,可得:,可得:曲線的直角坐標方程為.()聯(lián)立,可得,設(shè)點的極角為,則,可得,則,代入,可得:.,代入,可得:.可得:.19. 已知拋物線E:y2=2px(p0)的準線與x軸交于點K,過點K作圓C:(x2)2+y2=1的兩條切線,切點為M,N,|MN|=(1)求拋物線E的方程(2)設(shè)A、B是
12、拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點,且=(其中O為坐標原點)求證:直線AB必過定點,并求出該定點Q的坐標過點Q作AB的垂線與拋物線交于G、D兩點,求四邊形AGBD面積的最小值參考答案:【考點】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】(1)求得K的坐標,圓的圓心和半徑,運用對稱性可得MR的長,由勾股定理和銳角的三角函數(shù),可得CK=3,再由點到直線的距離公式即可求得p=2,進而得到拋物線方程;(2)設(shè)出直線方程,聯(lián)立拋物線方程,運用韋達定理和向量的數(shù)量積的坐標表示,化簡整理,即可得到定點Q;運用弦長公式和四邊形的面積公式,換元整理,結(jié)合基本不等式,即可求得最小值【解答】(1)解:由已知可得K(,0),圓C:(x
13、2)2+y2=1的圓心C(2,0),半徑r=1設(shè)MN與x軸交于R,由圓的對稱性可得|MR|=,于是|CR|=,即有|CK|=3,即有2+=3,解得p=2,則拋物線E的方程為y2=4x;(2)證明:設(shè)直線AB:x=my+t,A(,y1),B(,y2),聯(lián)立拋物線方程可得y24my4t=0,y1+y2=4m,y1y2=4t,=,即有()2+y1y2=,解得y1y2=18或2(舍去),即4t=18,解得t=則有AB恒過定點Q(,0);解:由可得|AB|=|y2y1|=?,同理|GD|=|y2y1|=?,則四邊形AGBD面積S=|AB|?|GD|=?=4,令m2+=(2),則S=4是關(guān)于的增函數(shù),則當
14、=2時,S取得最小值,且為88當且僅當m=1時,四邊形AGBD面積的最小值為8820. 選修4-4:坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以原點O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C的極坐標方程為.(1)求直線l的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程;(2)若直線l與曲線C交于P,Q兩點,求.參考答案:解法一:(1)由得的普通方程為, 1分又因為, 所以的極坐標方程為 由得,即, 所以的直角坐標方程為(2)設(shè)的極坐標分別為,則 由消去得, 化為,即,因為,即,所以,或, 即或所以 解法2: (1)同解法一 (2)曲線的方程可化為,表示圓心為且半徑為1的
15、圓 將的參數(shù)方程化為標準形式(其中為參數(shù)),代入的直角坐標方程為得,整理得,解得或 設(shè)對應的參數(shù)分別為 ,則所以,又因為是圓上的點,所以 解法3: (1)同解法一 (2)曲線的方程可化為,表示圓心為且半徑為1的圓 又由得的普通方程為, 則點到直線的距離為, 所以,所以是等邊三角形,所以, 又因為是圓上的點,所以 21. 某市工業(yè)部門計劃對所轄中小型工業(yè)企業(yè)推行節(jié)能降耗技術(shù)改造,對所轄企業(yè)是否支持改造進行問卷調(diào)查,結(jié)果如下表: 支持不支持合計中型企業(yè)8040120小型企業(yè)240200440合計320240560()能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“是否支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)
16、規(guī)模”有關(guān)?()從上述320家支持節(jié)能降耗改造的中小企業(yè)中按分層抽樣的方法抽出12家,然后從這12家中選出9家進行獎勵,分別獎勵中、小企業(yè)每家50萬元、10萬元,記9家企業(yè)所獲獎金總數(shù)為X萬元,求X的分布列和期望附:K2=P(K2k0)0.0500.0250.010k03.8415.0246.635參考答案:解:()K2=5.657,因為5.6575.024,所以能在犯錯概率不超過0.025的前提下認為“是否支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)?!庇嘘P(guān)(4分)()由()可知“支持”的企業(yè)中,中小企業(yè)家數(shù)之比為1:3,按分層抽樣得到的12家中,中小企業(yè)分別為3家和9家設(shè)9家獲得獎勵的企業(yè)中,中小企業(yè)
17、分別為m家和n家,則(m,n)可能為(0,9),(1,8),(2,7),(3,6)與之對應,X的可能取值為90,130,170,210(6分)P(X=90)=,P(X=130)=,P(X=170)=,P(X=210)=,(10分)分布列表如下:X 90 130 170 210P 期望EX=90+130+170+210=180(12分)考點: 獨立性檢驗的應用專題: 應用題;概率與統(tǒng)計分析: ()由題意知根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù),利用公式可求K2的值,從臨界值表中可以知道K25.024,根據(jù)臨界值表中所給的概率得到與本題所得的數(shù)據(jù)對應的概率是0.025,得到結(jié)論;()按分層抽樣得到的12家中,中小企業(yè)分別為3家和9家X的可能取值為90,130,170,210,求出相應的概率,即可求出X的分布列和期望解答: 解:()K2=5.657,因為5.6575.024,所以能在犯錯概率不超過0.025的前提下認為“是否支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)?!庇嘘P(guān)(4分)()由()可知“支持”的企業(yè)中,中小企業(yè)家數(shù)之比為1:3,按分層抽樣得到的12家中,中小企業(yè)分別為3家和9家設(shè)9家獲得獎勵的企業(yè)
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