幾何概率-完整版獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、幾何概率 定義：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件 只有有限個(gè); （2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等. 我們將具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱 為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型.P(A)= A包含的基本事件的個(gè)數(shù) 基本事件的總數(shù)復(fù)習(xí)回顧2）這是什么概型問題？是如何定義的?概率計(jì)算公式:復(fù)習(xí)引入： 1）一只口袋內(nèi)裝有大小相同的10只球，其中7只白 球， 3只紅球，從中摸出一只球,摸出的球是紅 球算中獎(jiǎng)，問中獎(jiǎng)的的概率是多少？判斷下列實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是否是古典概型： 拋擲兩顆色子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率； 取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷。問剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率為多少？ 在轉(zhuǎn)

2、盤游戲中，當(dāng)指針停止時(shí)，為什么指針指向紅色區(qū)域的可能性大？ 因?yàn)榧t色區(qū)域的面積大，所以指針落在紅色的區(qū)域可能性大。一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課二、主動(dòng)探索，領(lǐng)悟歸納問題:甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí),甲獲勝,否則乙獲勝. 求甲獲勝的概率是多少?點(diǎn)擊右側(cè)的小轉(zhuǎn)盤，更換一個(gè)轉(zhuǎn)盤后，甲獲勝的概率是多少？主動(dòng)探索事實(shí)上,甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的面積有關(guān),而與字母B所在區(qū)域的位置無(wú)關(guān).上述問題中，基本事件有無(wú)限多個(gè)，雖然類似于古典概型的“等可能性”還存在，但顯然不能用古典概型的方法求解，怎么辦呢？ 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)

3、被取到是等可能的； 而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn). 這里的區(qū)域可以是長(zhǎng)度，面積，體積等。用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概率模型。領(lǐng)悟歸納領(lǐng)悟歸納如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型.領(lǐng)悟歸納幾何概型的特點(diǎn):(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè).(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.在幾何概型中,事件A的概率的計(jì)算公式如下:古典概型幾何概型聯(lián)系區(qū)別求解方法基本事件個(gè)數(shù)的有限性基本事件發(fā)生的等可能性基本事件發(fā)生的等可能性基本事件個(gè)數(shù)的無(wú)限性列舉法幾何測(cè)度法問題1：射

4、箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán)，從外向內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色金色靶心叫“黃心” 奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm，運(yùn)動(dòng)員在70m外射假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，那么射中靶心的概率有多大？P(C)=122cm3m1m1mP(A)=問題2:取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大？如何求幾何概型的概率？P(B)=問題3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1個(gè)微生物，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個(gè)微生物的概率.注意：D的測(cè)度不能為0,其中“測(cè)度”的意義依D確定.當(dāng)D分別為線段

5、,平面圖形,立體圖形時(shí),相應(yīng)的“測(cè)度”分別為長(zhǎng)度,面積,體積等. 一般地,在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn),記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為:P(A)= 一個(gè)質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它停下來(lái)時(shí)，圓周與桌面接觸處的刻度位于區(qū)間 2 , 3 上的概率。 = 2 , 3 = 5- 0 = 5 = 3-2 = 1三、鞏固深化，應(yīng)用拓展幾何概型的計(jì)算例：某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，并規(guī)定:顧客每購(gòu)買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)。如果轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅、黃或綠的區(qū)域，顧客就可以獲得10

6、0元、50元、20元的購(gòu)物券（轉(zhuǎn)盤等分成20份）應(yīng)用拓展 甲顧客購(gòu)物120元，他獲得購(gòu)物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的購(gòu)物券的概率分別是多少？ P（獲得購(gòu)物券）= 1/20 P（獲得100元購(gòu)物券）=P（獲得50購(gòu)物券）= P（獲得20購(gòu)物券）=甲顧客購(gòu)物的錢數(shù)在100元到200元之間，可以獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，轉(zhuǎn)盤一共等分了20份，其中1份紅色、2份黃色、4份綠色，因此對(duì)于顧客來(lái)說：例1 某人午覺醒來(lái),發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機(jī),想聽電臺(tái)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.分析：假設(shè)他在060分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻打開收音機(jī)是等可能的，但060之間有無(wú)窮個(gè)時(shí)刻，不能用古

7、典概型的公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率?？梢酝ㄟ^幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率。 解:設(shè)A=等待的時(shí)間不多于10分鐘.我們所關(guān)心的事件A恰好是打開收音機(jī)的時(shí)刻位于50,60時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的求概率的公式得即“等待的時(shí)間不超過10分鐘”的概率為鞏固練習(xí) 假設(shè)車站每隔 10 分鐘發(fā)一班車，隨機(jī)到達(dá)車站，問等車時(shí)間不超過 3 分鐘的概率 ？ 0 10對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際問題,解題的關(guān)鍵是要建立模型,找出隨機(jī)事件與所有基本事件相對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域,把問題轉(zhuǎn)化為幾何概率問題,利用幾何概率公式求解.學(xué)法領(lǐng)悟1.公共汽車在05分鐘內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)車站，求汽車在13分鐘之間到達(dá)的概率。分析：將05分鐘這段時(shí)間看

8、作是一段長(zhǎng)度為5個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，則13分鐘是這一線段中的2個(gè)單位長(zhǎng)度。解：設(shè)“汽車在13分鐘之間到達(dá)”為事件A，則所以“汽車在13分鐘之間到達(dá)”的概率為練習(xí)2.有一杯1升的水,其中含有1個(gè)細(xì)菌,用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升,求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率.3.如右圖,假設(shè)你在每個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆,分別計(jì)算它落到紅色部分的概率.練習(xí)（1）豆子落在紅色區(qū)域；（2）豆子落在黃色區(qū)域；（3）豆子落在綠色區(qū)域；（4）豆子落在紅色或綠色區(qū)域；（5）豆子落在黃色或綠色區(qū)域。練習(xí)4.一張方桌的圖案如圖所示。將一顆豆子隨機(jī)地扔到桌面上，假設(shè)豆子不落在線上，求下列事件的概率：5.取一根長(zhǎng)為3米的繩子,拉直

9、后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長(zhǎng)都不少于1米的概率有多大?解：如上圖，記“剪得兩段繩子長(zhǎng)都不小于1m”為事件A，把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件A發(fā)生。由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩子長(zhǎng)的三分之一，所以事件A發(fā)生的概率P（A）=1/3。3m1m1m練習(xí)6.在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率。分析：點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故線段AB為區(qū)域D。當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的線段AC上時(shí)，AMAC，故線段AC即為區(qū)域d。解： 在AB上截取AC=AC，于是 P（AMAC）=P（AMAC）則AM小于AC的概率為練習(xí)7.在半徑為1的圓上隨機(jī)地取兩點(diǎn)，連成一條線，則其長(zhǎng)

10、超過圓內(nèi)等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？BCDE.0解：記事件A=弦長(zhǎng)超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)，取圓內(nèi)接等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B為弦的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)另一點(diǎn)在劣弧CD上時(shí)，|BE|BC|，而弧CD的長(zhǎng)度是圓周長(zhǎng)的三分之一，所以可用幾何概型求解，有則“弦長(zhǎng)超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”的概率為練習(xí)四、總結(jié)評(píng)價(jià)，促進(jìn)成長(zhǎng)1.幾何概型的特點(diǎn).2.古典概型與幾何概型的區(qū)別： 1）兩種模型的基本事件發(fā)生的可能性都相等； 2）古典概型要求基本事件是有限個(gè)，而幾何概型則要求基本事件有無(wú)限多個(gè)。3.幾何概型的概率公式及運(yùn)用. 例2：一海豚在水池中自由游弋，水池為長(zhǎng)30m，寬20m的長(zhǎng)方形，求此刻海豚嘴尖離岸小于2m

11、的概率30m20m2 m 解：設(shè)事件A“海豚嘴尖離岸邊小于2m”（見陰影部分） P（A） 答:海豚嘴尖離岸小于2m的概率約為0.31.例3：取一個(gè)邊長(zhǎng)為2a的正方形及其內(nèi)切圓(如圖),隨機(jī)地向正方形內(nèi)丟一粒豆子,求豆子落入圓內(nèi)的概率.解:記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A,則P(A)=答:豆子落入圓內(nèi)的概率為 練習(xí)4：在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，求APB 90的概率BCADPAPB 90？概率為0的事件可能發(fā)生！例題.甲、乙二人約定在 12 點(diǎn)到 5 點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去,設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響。求二人能會(huì)面的概率(會(huì)面問題) 。解