幾何概率-完整版獲獎課件

1、幾何概率 定義：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件 只有有限個; （2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等. 我們將具有以上兩個特點的概率模型稱 為古典概率模型,簡稱古典概型.P(A)= A包含的基本事件的個數(shù) 基本事件的總數(shù)復習回顧2）這是什么概型問題？是如何定義的?概率計算公式:復習引入： 1）一只口袋內裝有大小相同的10只球，其中7只白 球， 3只紅球，從中摸出一只球,摸出的球是紅 球算中獎，問中獎的的概率是多少？判斷下列實驗中事件A發(fā)生的概率是否是古典概型： 拋擲兩顆色子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率； 取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷。問剪得兩段的長都不小于1m的概率為多少？ 在轉

2、盤游戲中，當指針停止時，為什么指針指向紅色區(qū)域的可能性大？ 因為紅色區(qū)域的面積大，所以指針落在紅色的區(qū)域可能性大。一、創(chuàng)設情景，引入新課二、主動探索，領悟歸納問題:甲乙兩人玩轉盤游戲,規(guī)定當指針指向B區(qū)域時,甲獲勝,否則乙獲勝. 求甲獲勝的概率是多少?點擊右側的小轉盤，更換一個轉盤后，甲獲勝的概率是多少？主動探索事實上,甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的面積有關,而與字母B所在區(qū)域的位置無關.上述問題中，基本事件有無限多個，雖然類似于古典概型的“等可能性”還存在，但顯然不能用古典概型的方法求解，怎么辦呢？ 對于一個隨機試驗，將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中每一點

3、被取到是等可能的； 而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域中的點. 這里的區(qū)域可以是長度，面積，體積等。用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概率模型。領悟歸納領悟歸納如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.領悟歸納幾何概型的特點:(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個.(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.在幾何概型中,事件A的概率的計算公式如下:古典概型幾何概型聯(lián)系區(qū)別求解方法基本事件個數(shù)的有限性基本事件發(fā)生的等可能性基本事件發(fā)生的等可能性基本事件個數(shù)的無限性列舉法幾何測度法問題1：射

4、箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)，從外向內為白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色金色靶心叫“黃心” 奧運會的比賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm，運動員在70m外射假設射箭都能中靶，且射中靶面內任意一點都是等可能的，那么射中靶心的概率有多大？P(C)=122cm3m1m1mP(A)=問題2:取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？如何求幾何概型的概率？P(B)=問題3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1個微生物，用一個小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個微生物的概率.注意：D的測度不能為0,其中“測度”的意義依D確定.當D分別為線段

5、,平面圖形,立體圖形時,相應的“測度”分別為長度,面積,體積等. 一般地,在幾何區(qū)域D中隨機地取一點,記事件“該點落在其內部一個區(qū)域d內”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為:P(A)= 一個質地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉它，求當它停下來時，圓周與桌面接觸處的刻度位于區(qū)間 2 , 3 上的概率。 = 2 , 3 = 5- 0 = 5 = 3-2 = 1三、鞏固深化，應用拓展幾何概型的計算例：某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤，并規(guī)定:顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉動轉盤的機會。如果轉盤停止時，指針正好對準紅、黃或綠的區(qū)域，顧客就可以獲得10

6、0元、50元、20元的購物券（轉盤等分成20份）應用拓展 甲顧客購物120元，他獲得購物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的購物券的概率分別是多少？ P（獲得購物券）= 1/20 P（獲得100元購物券）=P（獲得50購物券）= P（獲得20購物券）=甲顧客購物的錢數(shù)在100元到200元之間，可以獲得一次轉動轉盤的機會，轉盤一共等分了20份，其中1份紅色、2份黃色、4份綠色，因此對于顧客來說：例1 某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機,想聽電臺報時,求他等待的時間不多于10分鐘的概率.分析：假設他在060分鐘之間任何一個時刻打開收音機是等可能的，但060之間有無窮個時刻，不能用古

7、典概型的公式計算隨機事件發(fā)生的概率。可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率。 解:設A=等待的時間不多于10分鐘.我們所關心的事件A恰好是打開收音機的時刻位于50,60時間段內,因此由幾何概型的求概率的公式得即“等待的時間不超過10分鐘”的概率為鞏固練習 假設車站每隔 10 分鐘發(fā)一班車，隨機到達車站，問等車時間不超過 3 分鐘的概率 ？ 0 10對于復雜的實際問題,解題的關鍵是要建立模型,找出隨機事件與所有基本事件相對應的幾何區(qū)域,把問題轉化為幾何概率問題,利用幾何概率公式求解.學法領悟1.公共汽車在05分鐘內隨機地到達車站，求汽車在13分鐘之間到達的概率。分析：將05分鐘這段時間看

8、作是一段長度為5個單位長度的線段，則13分鐘是這一線段中的2個單位長度。解：設“汽車在13分鐘之間到達”為事件A，則所以“汽車在13分鐘之間到達”的概率為練習2.有一杯1升的水,其中含有1個細菌,用一個小杯從這杯水中取出0.1升,求小杯水中含有這個細菌的概率.3.如右圖,假設你在每個圖形上隨機撒一粒黃豆,分別計算它落到紅色部分的概率.練習（1）豆子落在紅色區(qū)域；（2）豆子落在黃色區(qū)域；（3）豆子落在綠色區(qū)域；（4）豆子落在紅色或綠色區(qū)域；（5）豆子落在黃色或綠色區(qū)域。練習4.一張方桌的圖案如圖所示。將一顆豆子隨機地扔到桌面上，假設豆子不落在線上，求下列事件的概率：5.取一根長為3米的繩子,拉直

9、后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長都不少于1米的概率有多大?解：如上圖，記“剪得兩段繩子長都不小于1m”為事件A，把繩子三等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時，事件A發(fā)生。由于中間一段的長度等于繩子長的三分之一，所以事件A發(fā)生的概率P（A）=1/3。3m1m1m練習6.在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率。分析：點M隨機地落在線段AB上，故線段AB為區(qū)域D。當點M位于圖中的線段AC上時，AMAC，故線段AC即為區(qū)域d。解： 在AB上截取AC=AC，于是 P（AMAC）=P（AMAC）則AM小于AC的概率為練習7.在半徑為1的圓上隨機地取兩點，連成一條線，則其長

10、超過圓內等邊三角形的邊長的概率是多少？BCDE.0解：記事件A=弦長超過圓內接等邊三角形的邊長，取圓內接等邊三角形BCD的頂點B為弦的一個端點，當另一點在劣弧CD上時，|BE|BC|，而弧CD的長度是圓周長的三分之一，所以可用幾何概型求解，有則“弦長超過圓內接等邊三角形的邊長”的概率為練習四、總結評價，促進成長1.幾何概型的特點.2.古典概型與幾何概型的區(qū)別： 1）兩種模型的基本事件發(fā)生的可能性都相等； 2）古典概型要求基本事件是有限個，而幾何概型則要求基本事件有無限多個。3.幾何概型的概率公式及運用. 例2：一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m，寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸小于2m

11、的概率30m20m2 m 解：設事件A“海豚嘴尖離岸邊小于2m”（見陰影部分） P（A） 答:海豚嘴尖離岸小于2m的概率約為0.31.例3：取一個邊長為2a的正方形及其內切圓(如圖),隨機地向正方形內丟一粒豆子,求豆子落入圓內的概率.解:記“豆子落入圓內”為事件A,則P(A)=答:豆子落入圓內的概率為 練習4：在邊長為a的正方形ABCD內隨機取一點P，求APB 90的概率BCADPAPB 90？概率為0的事件可能發(fā)生！例題.甲、乙二人約定在 12 點到 5 點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去,設二人在這段時間內的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率(會面問題) 。解