高等數(shù)學(xué)上冊知識點2

1、阿樊訓(xùn)練 永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)高等數(shù)學(xué)上冊 第一章 函數(shù)與極限（一） 函數(shù) 1、 函數(shù)定義及性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）；2、 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運算；3、 初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函 數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)；4、 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點；函數(shù)fx在x 連續(xù)lim x x 0fxfx 0第一類：左右極限均存在；間斷點 可去間斷點、跳動間斷點其次類：左右極限、至少有一個不存在；無窮間斷點、振蕩間斷點 5、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)： 有界性與最大值最小值定理、 零點定 理、介值定理及其推論；（二） 極限 1、定義 數(shù)列極限 1）第 1 頁 共 19 頁

2、阿樊訓(xùn)練A0,fN,0,nN,x n永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)x Alim nx naa2）函數(shù)極限0,x ,當(dāng)0 xx0時,flim x x 0fx左極限：fx 0lim x x 0 x右極限：fx 0lim x x 0fx lim x x0fxA存在fx0fx0a就稱為無窮2、極限存在準(zhǔn)就1）夾逼準(zhǔn)就：1）y nx nz nnn 02）lim ny nlim nz nanlimxn2）單調(diào)有界準(zhǔn)就：單調(diào)有界數(shù)列必有極限；3、無窮?。ù螅┝?）定義：如lim0就稱為無窮小量； 如lim大量；2）無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、k 階無窮小Th1 o ; 第 2 頁 共 19 頁阿樊

3、訓(xùn)練,lim存在,就limlim永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)Th2 （無窮小代換）4、求極限的方法e）1）單調(diào)有界準(zhǔn)就；2）夾逼準(zhǔn)就；3）極限運算準(zhǔn)就及函數(shù)連續(xù)性；4）兩個重要極限：alim x 0sinx1xblim x 0 1x1lim x 11xxx5）無窮小代換：（x0）arctanxaxsinxtanxarcsinxb1cosx1x2lna）2cex1x（ax1xxxdln1x x（loga 1lnae 1x1x第 3 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練導(dǎo)數(shù)與微分永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)其次章（一） 導(dǎo)數(shù)1、定義：fx 0lim x x 0fx fx 0,fx 0處的切線的xx 0fx 0左導(dǎo)數(shù)：fx 0

4、lim x x 0fxxx02、右導(dǎo)數(shù)：fx 0lim x x 0fxfx 0 xx 0fx 0函數(shù)fx在0 x點可導(dǎo)fx 0幾何意義：fx 0為曲線yfxx 0在點斜率；3、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4、求導(dǎo)的方法1） 導(dǎo)數(shù)定義；2） 基本公式；3） 四就運算；4） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒ň停?；5） 隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6） 參數(shù)方程求導(dǎo)；7） 對數(shù)求導(dǎo)法；第 4 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練d2yddykn0k C nukvnk永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)5、高階導(dǎo)數(shù)1）定義：dx2dxdx2）Leibniz公式：uvn（二） 微分1） 定義：yfx 0 xfx 0Axox,其中 A 與x 無關(guān)；2） 可微 與可

5、導(dǎo)的 關(guān)系 ：可微可導(dǎo) ,且dxdyfx 0 xfx 0第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一） 中值定理1、 Rolle 定理：如函數(shù)fx 中意：xDa,b；3 ）1 ）fxC a,b；2 ）f中意：；fafb；就a,b,使f0. 2、 Lagrange中值定理：如函數(shù)fx 1）fxCa,b；2）fxDa,b第 5 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練a,b,使f bfafb永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)就a. 3、 Cauchy中值定理：如函數(shù)fx ,Fx中意：Da,b； 3 ）1 ）fx,FxC a,b；2 ）fx,Fxa,bFx,0 xf使fbfa就a,b,FbFaF（二） 洛必達(dá)法就留意 :1、盡量先化簡（有

6、理化、無窮小代換、分別非零因子）再用洛必達(dá)法就！如：lim x 01x24cosxtanx2、對于某些數(shù)列極限問題,可化為連續(xù)變量的極限,然后用洛必達(dá)法就！bn如：lim nna2n第 6 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練 永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)（三） Taylor 公式n 階 Taylor 公式：fx fx 0fx 0 xx 0fx 0 xx 021fn1 xn1.2fnx0 xx 0nfn1 xx0nn .n1 .在0 x與 x之間. fn 0 xn當(dāng)0 x0時,成為 n 階麥克勞林公式：fx f 0 f0 xf0 x 2.1.2n .n1 .在0與x之間 . 常見函數(shù)的麥克勞林公式：1）x e1x

7、1x21xnne1 .xn1.2n .第 7 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練x3在 0 與 x 之間,m1x1；永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)x2m12x5x71x2msin）2m1 2sinxx.3.5.72m1 .；2m1 .在 0 與 x 之間,x3x1x2x4x61 m1x2m2.cos22m2）x2mcos.2.4.62 m2；m .在 0 與 x 之間,x4）ln 1xx2 xx3x41 n1xnn1 nn x1n1）1n x234n1 15x 1x在 0 與x之間,1x11.21x21 2 3 xn 1.3n .第 8 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練1n 1. n永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)1xn1,在 0

8、與 x 之間, n1 .1x1（四） 單調(diào)性及極值1、單 調(diào) 性 判 別 法 ：fxCa,b,fx Da,b, 就 如x單調(diào)增加；就如fx 0,就fx單fx 0,就f調(diào)削減；2、極值及其判定定理：a 必要條件：f x 在 x 可導(dǎo),如 x 為 f x 的極值點,就f 0 x 0 . b 第一充分條件：f x 在 x 的鄰域內(nèi)可導(dǎo),且 f 0 x 0,就如當(dāng) x x 0 時,f x 0,當(dāng) x 0 x 時,f x 0,就 x 0為極大值點；如當(dāng) x 0 x 時,f x 0,當(dāng) x x 0 時,f x 0,就 x 為微小值點；如在 x 的兩側(cè) f x 不變號,就 x 不是極值點；c 其次充分條件：

9、f x 在 x 處二階可導(dǎo),且 f x 0 0,f 0 x 0,就如 f x 0 0,就 x 為極大值點；如 f 0 x 0,就 x 0為微小值點；第 9 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練 永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)3、凹凸性及其判定,拐點1）fx 在區(qū)間 I 上連續(xù),如x 1,x 2I,fx 12x2fx 12fx2,就稱fx在 區(qū)間I上的圖形是凹的；如x 1,x2I,fx 12x2ffx 2,就稱fx 在區(qū)間 I 上的圖x 12形是凸的；2）判定定理：fx 在a,b 上連續(xù),在a ,b上有一階、二階導(dǎo)數(shù),就a 如 x a , b , f x 0 ,就 f x 在 a , b 上的圖形是凹的；b 如 x

10、a , b , f x 0 ,就 f x 在 a , b 上的圖形是凸的；3）拐點：設(shè) y f x 在區(qū)間 I 上連續(xù),x 是 f x 的內(nèi)點,假如曲線 y f x 經(jīng)過點 x 0 , f x 0 時,曲線的凹凸性轉(zhuǎn)變了,就稱點 x 0 , f x 0 為曲線的拐點；（五） 不等式證明1、利用微分中值定理；2、利用函數(shù)單調(diào)性；3、利用極值（最值）；（六） 方程根的爭辯第 10 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練 永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)1、連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、Rolle 定理；3、函數(shù)的單調(diào)性；4、極值、最值；5、凹凸性；（七） 漸近線1、 鉛直漸近線：lim x afx,就xfa為一條鉛直漸近線；2、

11、 水平漸近線：lim xfx b,就yb為一條水平漸近線；3、 斜 漸 近 線 ：lim xfxklim xxkx b存 在 , 就xykxb為一條斜漸近線；（八） 圖形描畫 步驟 : 1. 確定函數(shù)yxfx的定義域,并考察其對稱性及周期性；f并求出fx及fx為零和不存在的點；2. 求fx,3. 列表判別函數(shù)的增減及曲線的凹向 4. 求漸近線 ; , 求出極值和拐點 ; 5. 確定某些特殊點, 描畫函數(shù)圖形. 第 11 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練不定積分永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)第四章（一） 概念和性質(zhì)1、原函數(shù)：在區(qū)間I 上,如函數(shù)Fx可導(dǎo),且Fx fx ,2、就Fx 稱為fx 的一個原函數(shù)；的帶有

12、任意常數(shù)的原函數(shù)不定積分：在區(qū)間I 上,函數(shù)fx 3、稱為fx在區(qū)間 I 上的不定積分；基本積分表（ P188 ,13 個公式）；4、性質(zhì)（線性性）；（二） 換元積分法1、 第f一類換元法（湊微分）：x xdxfuduux代換）：2、 第二類換元法（變量fxdxfttd tt1x（三） 分部積分法：udvuvvdu（四） 有理函數(shù)積分 第 12 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練 永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)1、“ 拆” ；2、變量代換（三角代換、倒代換等） ；第五章 定積分（一） 概念與性質(zhì)：1、定義：bfxdxlim 0infix ia,b上連續(xù),就a12、性質(zhì)：（7 條）fx 在區(qū)間函數(shù)性質(zhì)7 （積分中值

13、定理）fdxfba（ 平 均 值 ：a,b, 使bfxabfxdx）aba（二） 微積分基本公式（ N L 公式）1、變上限積分：設(shè)xxftdt,就x fxa2、推廣：dxftdtfxxfx xdxxFx為f x的 一 個 原 函 數(shù) , 就N L公 式 ： 如第 13 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練bfxdxFbFa永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)a（三） 換元法和分部積分1、換元法：bfxdxfttd ta2、分部積分法：budvuvbb avduaa（四） 反常積分1、f無窮積分：ftfxdxfxdxlim taabfxdxtlimbfxdxt2、fxdx0 xdx0fxdx瑕積分：xdxlim t ab

14、fxdx（a 為瑕點）batbft afxdx（b 為瑕點）xdxlim t ba兩個重要的反常積分：第 14 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練dxa1,xp1b,a 1q,q永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)1 pp1axp1p2bdxbbdq11qaaxaqxq1第六章定積分的應(yīng)用（一） 平面圖形的面積1、 直角坐標(biāo)：A1b af2xf1xdx2、 極坐標(biāo)：A2 22d21第 15 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練 永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)（二） 體積1、 旋轉(zhuǎn)體體積：a 曲邊梯形yfx,xa,xb,x軸,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：Vxbf2xdxab 曲邊梯形yfx,xa,xb,x軸,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的

15、體積：Vyb2xfxdx（柱殼法）a2、 平行截面面積已知的立體：VbAxdxa（三） 弧長1、 直角坐標(biāo)：sb1tfx2dx2dta2、 參數(shù)方程：s2t第 16 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練s22d永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)3、 極坐標(biāo)：第七章微分方程（一） 概念 1、 微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系 的方程；階：微分方程中所顯現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階 數(shù)；2、 解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)；通解：方程的解中含有任意的常數(shù),且常數(shù)的個數(shù)與微分方程 的階數(shù)相同；特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解；（二） 變量可分別的方程gydyfx dx,兩邊積分gy dyfx dx

16、（三） 齊次型方程dyy,設(shè)uy,就dyuxdu；dxxxdxdx第 17 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練dxx,設(shè)vx,就dxvydv永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)或dyyydydy（四） 一階線性微分方程ydyxP xyQxPx易dx法C或用公式：dx用常數(shù)變ePdxQxedx（五） 可降階的高階微分方程1、ynffx,兩邊積分 n 次；yp,就yp；yx ,y（不顯含有 y ）,令2、3、yfy ,yyp,就ypdp（不顯含有 x ）,令dy（六） 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1、y 1, y2是齊次線性方程的解,就C 1y 1C 2y 2也是；C2y2是方2、y 1, y2是齊次線性方程的線性無關(guān)的特解,就C 1y 1程的通解；3、yC 1y 1C2y2y*為非齊次方程的通解,其中y 1, y 2為對應(yīng)齊次方程的線性無關(guān)的解,*y 非齊次方程的特解；第 18 頁 共 19 頁阿樊訓(xùn)練 永不轉(zhuǎn)變年輕時的抱負(fù)（七） 常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程：0yp