高中數(shù)學(xué)第三講柯西不等式與排序不等式一二維形式的柯西不等式學(xué)案含解析

1、一二維形式的柯西不等式1.二維形式的柯西不等式(1)定理 1：若a,b, c, d 都是實(shí)數(shù)，則(a2+b2)-(c2+d2)(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立.(2)二維形式的柯西不等式的推論：(a+b)( c+d) (ac+-/bd)2(a, b, c, d 為非負(fù)實(shí)數(shù))；.a2+ b2 .c2+ d2 |ac+ bd|( a, b, c, de R)；，a2+ b2 .c2+ d2 | ac| + | bd|( a, b, c, dCR).柯西不等式的向量形式定理2:設(shè)a , 3是兩個(gè)向量，則| - 3 I | RP2,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P1,P2,P3共線，并且點(diǎn)P1,點(diǎn)P1,

2、m2 n22 2、，、2設(shè).+ 丫2=1,求證：x+y(m+ n).可結(jié)合柯西不等式，將左側(cè)構(gòu)造成乘積形式，然后用柯西不等式證明.m2n2- X2 + y2= 1x2+ x2+ y2 = (x2+ y2)y)=(m n)2.方法規(guī)律小結(jié)構(gòu)造柯西不等式的利用柯西不等式證明不等式的關(guān)鍵在于利用已知條件和所證不等式,構(gòu)造柯西不等式的a2 2a2 2b2aibi , +、a2b2 a2 22 = (ai + a2). b2基本形式，從而利用柯西不等式證明，但應(yīng)注意等號(hào)成立的條件.已知 a2+b2=1, x2+y2=1,求證：|ax+by|wi.證明：由柯西不等式，得 (ax+by) 2w (a2+bj

3、( x2+y2) = 1,| ax+ by| 42(a+b+c).證明：由柯西不等式，得 /a2+ b2 U12+ i2a+b,即小 Qa2+ b2a+b.同理 / b2 + c2 b+ c, /2 ,a2+ c2 a+ c,將上面三個(gè)同向不等式相加，得乖(寸a2 + b2 + qa2 + c2 + 鄧 + c) 2( a+b+ c), a+ b +ja+ c +4b+ c 2, ( a +b+c).利用柯西不等式求最值tzs1求函數(shù)y=3sin a +4cos a的最大值.函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為ac+ bd的形式就能用柯西不等式求其最大值.由柯西不等式，得(3sin a + 4c

4、os a )2(3 2+ 42)(sin 2a +cos2a )=25, 3sin a + 4cos a 0，即sin a=d 3=5時(shí)取等號(hào),即函數(shù)的最大值為 5.方法*攘律小結(jié)利用柯西不等式求最值(i)變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件；(2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來(lái)解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧;(3)而有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過(guò)程中，每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技

5、巧之一.0.已知2x2+y2=1,求2x + y的最大值.解：2x+ y= /2x gx+ 1 x y(4x+6y)2=4, .4x2+9y22.當(dāng)且僅當(dāng)2X2 x= 3yX2,即2x=3y時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)且僅當(dāng)2X2 x= 3yX2,即2x=3y時(shí)，等號(hào)成立.又 2x+ 3y =1,得 x=y = ,46故當(dāng)x=4, 丫=6時(shí)，4x2+9y2的最小值為2.6.求函數(shù)f (x) = x 6+12x的最大值及此時(shí)解：函數(shù)的定義域?yàn)?，由柯?、等式，得；222x的值.2(x6+ 12-x)即x- 6+q12 xW2 3.故當(dāng)小一6 =，12 x時(shí)，即x.已知 x, yCR+,且 xy=1,A. 4

6、C. 1解析：選 A j + 1jj+y) 不(切+(初 小1+/升,1=9時(shí)，函數(shù)f (x)取得最大值2( a- b)2,* a + b =10) . (a b) w20. 25 w a bw 2 15.已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是()A.5A.5 B. 6 C.65空 D. 363625解析：選 B (2x2 + 3y2) (76x+#y)2=#(x + y) 2=6, 當(dāng)且僅當(dāng)x = I， y=|時(shí)，等號(hào)成立，即 2x2+ 3y2-1. TOC o 1-5 h z 555.函數(shù)y= x 5 + 26- x的最大值是()A. 3B. 5C. 3D. 5解析：選 B 根據(jù)柯西

7、不等式，知y=1x .x5 + 2X .6 x 0,則了 +/)y + j的最小值為解析：原式=x2+q2+y21 3 . x+y . y 2 = 9(當(dāng)且僅當(dāng)xy = 42時(shí)，等號(hào)成立).答案：96.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3x2 + 6.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3x2 + 2y26,則P= 2x+y的最大值為解析：由柯西不等式，得(2x+y)2 r+/ = (3x2+2y2) 仁+2)2,11W6X -=611,當(dāng)且僅當(dāng) x = -, y = -j3=時(shí)，等號(hào)成立， 1111于是 2x+y/11.答案：117.函數(shù)f(x)=山x2 +，2x2- 1的最大值為 解析：因題意得函數(shù)有意義時(shí)x滿足2wx2w2.

8、由柯西不等式，得29,3 22, f(x)w2-,b2_2 八sin 0證明：設(shè)m則 | 9,3 22, f(x)w2-,b2_2 八sin 0證明：設(shè)m則 | a + b| = Ia - cos 0 +cos 0b二 sin 0sin0=|m n| w | m| n| =2 ab2r2522 八 + 2(a+ b) &cos 0 sin o 二 十 2T.cos 0 sin 09.解方程： 4x+3 +2、1 2x =，T5.解：15=2 -c 3 22x+2 41 - 2x / (1 + 2) 2 x2+ x2 2 f=上上 2 X2 22 34維十當(dāng)且僅當(dāng)2-x2=,即x= 2時(shí)，等號(hào)成立.8.已知0為銳角，a, b C R+.2，、一.2 a求證：(a+ b) &2cos 0b一，八.八、sin一J, n = (cos 9 , sin 9),-3 222x+”十 41-2xc , 3 一 05= 6 2x+2 + 1 2x 尸6X2=15.其中等號(hào)成立的充要條件是其中等號(hào)成立的充要條件是解得x= - 1.310.試求函數(shù)f10.試求函數(shù)f(x)=3cosx + 4M 1 + sin 2x的最大值，并求出相應(yīng)的x的值.解：設(shè) m= (3,4), n= (cos x,，1 + sin 2x),則 f (x) = 3cos x