2021年中考數(shù)學(xué) 專題訓(xùn)練 相似三角形及其應(yīng)用

1、1 11 1 考學(xué) 專訓(xùn) 似角其用 一、選題（本大題 道小題）1.下列命題是真命題的是( )A.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為 49那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為 3B.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為 9，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為 9C.如果兩個(gè)三角形相似，似比為 49，那這兩個(gè)三角形的面積比為 3D如果兩個(gè)三角形相似，相似比為 49，那這兩個(gè)三角形的面積比為 92. eq oac(,A)如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 C 相似的是 ( )1 ，則下圖形中的三角形 ( 影部分 與3.如圖，長(zhǎng)、寬均為 3，高 的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為 6，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸

2、到容器口邊緣，圖 是此時(shí)的示意圖，則圖中水面高度為 ( )AB D1 / B C D B C D 4.（2020哈爾濱）如圖，在 中，點(diǎn) D 在 邊上，連接 點(diǎn) 在 邊上，過點(diǎn) 作 EFBC，交 AD 點(diǎn) 過點(diǎn) E 作 EG，交 于 點(diǎn) 則下列式子一定正確的是（ ）AAE EF AF BG CG EC CD AB FD GC AD5.（2020 河北） 在圖5所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，四邊形BCD的位似圖形是A.四邊形N B.四邊形C.四邊形NHMQ D.四邊形NHMR6.如圖，弦 CD 垂直于 直徑 AB，垂足為 ，且 CD2 2BD ，則AB 長(zhǎng)為( ) 2 B. 3 C. 4 D.

3、 57.（2020重慶卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A2 / （）（1,1，（3,1），以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫，使 DEF與成位似圖形，且相似比為:1，則線段DF的長(zhǎng)度為（ ）A 5BCD 2 58.（2020 河南）如圖，在ABC，ACB=90，邊BC x 上，頂點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別為(-2，6)和7將正方形 沿 x 軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊 上時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為( ) (3211，2) B. (2， C. ( ， D. ，2)49.（ 昆明）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.如圖 eq oac(,，)ABC 是格點(diǎn)

4、三角形圖中的 正方形 網(wǎng)格中作出格點(diǎn)三角形 ADE( 不含 ABC)，使得 ADEABC(同一位置的 格點(diǎn)三角形ADE 只算一個(gè))，這樣的格點(diǎn)三角形一共有（ ）A.4 個(gè)B.5 個(gè)C.6 個(gè)D.7 AB3 / （2020新疆）如圖，在 中，90， 是 AB 中點(diǎn)，過點(diǎn) D 的平行線交 于點(diǎn) E，作 BC 的線交 BC 于點(diǎn) ，若 ABCE，且DFE 的面積為 1則 BC 長(zhǎng) （ ）A 2 B5 5D10二、填題（本大題 道小題）如圖，在 ABC 中，BF 平分ABC，交 DE 延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，若，BD=，BC=4，則 如圖ABCD 中角線 BD 上一 P 作 EFBC BG，S=1，則 S =

5、.(2019州若x y 3 y ，則 _ x 2 x(2019林在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為 .8 的竹竿的影長(zhǎng) 3 m ，同時(shí)同地測(cè)得一棟樓的影長(zhǎng)為 ，則這棟樓的高度為_m(2019州如圖已知點(diǎn)F 是 ABC 的重心接 BF 延長(zhǎng)交 于點(diǎn) E，連接 CF 并延長(zhǎng)，交 于點(diǎn) D，過點(diǎn) F 作 ，交 AC 于點(diǎn) G設(shè)三角形4 / 1 1 ABD 2 OD 31 1 ABD 2 OD 3S ，四邊形 FBCG 的面積分別為 S ，S ，則 ： （2020深圳）如圖，在四邊形 中， 與 相交于點(diǎn) O，ABC1 BO DAC90，tan ， ，則 _CBDDAOBC如圖，在 RABC ，90，3， BC4

6、， CDAB，垂足為D， E 為 BC 的中點(diǎn)， 與 CD 交于點(diǎn) ，則 DF 的長(zhǎng)為_ BEFCA（2020 杭州如圖是一張矩形紙片在邊上 BCE 沿直線對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線C上的點(diǎn)處接D若點(diǎn)D在同一條直線上 則 DF ， BE D CF E 5 / ，三、解題（本大題 道小題）如圖，在 eq oac(,Rt)ABC 中，90AB=，6，ABC 的平分線 BD 交 于點(diǎn) E，求 DE 的長(zhǎng).F .（2020 蘇州）如圖，在矩形 中， E 的中點(diǎn) 垂足為（1）求證 ；（2）若 BC ， DF 的長(zhǎng) 廣東)如圖， 中，點(diǎn) D 是 的一點(diǎn)6 / (1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法 求 不要求寫作法，保留作圖痕

7、跡)， DE 交 ；(2)在(1)的條件下，若 ，求 的值 如圖 eq oac(,，)ABC 內(nèi)接于AB36 A 作 ADBCABC的平分線交于點(diǎn) D，BD 與 交于點(diǎn) E，與O 于點(diǎn) F. (1)求 的度數(shù)；(2)求證：2EF (3)求證：AD 的切線如圖，甲、乙兩人分別從 A、 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)甲沿 AO方向、乙沿 方向均以每小時(shí) 4 米的速度行走，t 小時(shí)后，甲到達(dá) M 點(diǎn)，乙 到達(dá) N 點(diǎn)7 / （1）請(qǐng)說(shuō)明甲、乙兩人到達(dá)點(diǎn) 前，MN 與 不可能平行； （2）當(dāng) 為何值時(shí)，OMN？（3）甲、乙兩人之間的距離為 的長(zhǎng)設(shè) 2，求 s 與 t 間的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩人之

8、間距離的最小值在平面直角坐標(biāo)系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實(shí)數(shù)根比如對(duì)于方程 x2520，操作步驟是：第一步：根據(jù)方程的系數(shù)特征，確定一對(duì)固定點(diǎn) A(0，2)；第二步：在坐標(biāo)平面中移動(dòng)一個(gè)直角三角板，使一條直角邊恒過點(diǎn)A，另一條直 角邊恒過點(diǎn) B第三步：在移動(dòng)過程中，當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)落在 x 軸上點(diǎn) 處時(shí)，點(diǎn) 的橫 坐標(biāo) 即為該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根(如圖)；第四步：調(diào)整三角板直角頂點(diǎn)的位置，當(dāng)它落在 x 軸上另一點(diǎn) D 處時(shí)，點(diǎn) D 的 橫坐標(biāo) n 為該方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根(1)在圖中，按照第四步”的操作法作出點(diǎn) D(請(qǐng)保留作出點(diǎn) D 時(shí)直角三角板 兩條直角邊的痕跡)；(2)結(jié)合圖，請(qǐng)

9、證明三步”操作得到的 就是方程 根；8 / 5x20 的一個(gè)實(shí)數(shù)1 1 1 1 1 1 2 1 1(3)上述操作的關(guān)鍵是確定兩個(gè)固定點(diǎn)的位置若要以此方法找到一元二次方程 2bx0(a，4ac0)的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)你直接寫出一對(duì)固定點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)實(shí)際上，(3)中的固定點(diǎn)有無(wú)數(shù)對(duì)，一般地，當(dāng) ， ， ， 與 ，b， 之 間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，點(diǎn) P(m ，n )m )就是符合要求的一對(duì)固定點(diǎn)？ 考學(xué) 專訓(xùn) 似角其用 答一、選題（本大題 道小題）1. 答】B2. 【案B 解析根據(jù)勾股定理分別表示出已知三角形的各邊長(zhǎng)，同理利用勾股定理表示出四個(gè)選項(xiàng)中陰影三角形的各邊長(zhǎng)用三邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似可得結(jié)

10、果，A B 各邊長(zhǎng)分別為 1，選項(xiàng) A 中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為:3，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似;選項(xiàng) B 中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為，2， ，三邊與已知三角形的各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形相似;項(xiàng) C 中陰影三形三邊長(zhǎng)分別為:，2，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似項(xiàng) D 中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為 :2， 不相似，故選 B.，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形3. 答】A析如圖所示.設(shè) DM=x，則 CM=8-x，根據(jù)題意得: (8-+8)33=解得 ，DM=4.9 / ， ， D=90由勾股定理得: = =.過點(diǎn) 作 水平桌面于 H，HBAAB

11、M=ABM+90， HBA=AHB=D=90， eq oac(,)， =，即 = ，解得 ，即水面高度為 .4. 【案C 【解析本題考查了平行線分線段成比例和由平行判定相似，BC，5. 答】 AE AE AF FD EC EC FD A因此本題選 C【解析】解析：連AO并延長(zhǎng)AO至點(diǎn)N連接并延長(zhǎng)P至點(diǎn), 連接O并延長(zhǎng)C至點(diǎn)M, 連接D并延長(zhǎng)DO至，可知 CO DO 1 NO MO QO ，所以以點(diǎn)O為位似中心，四邊形的位似圖形是四邊形NPMQ，故答案為A.6. 答】B【解析】由垂徑定理可得 DH 2所以 BH BD2DH21，又可得DHB ，所以有 BD( 3) 1BA，AB3.7. 答】D【

12、解析】A（1,2）（1,1，C（3,1，AB=1， DEF10 / ABC成位似圖形，且相似比為，DF=2AB=28. 答】B【解析】點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為(，和(，0)，OC=2，OB=7，正方形的邊長(zhǎng)為將正方形CDE沿 軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊 上時(shí)，設(shè)正方形與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為、F， 軸，EF=GF=DG=2， EFAC，D，E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為，EF BF ，即 ，解得OG=OB-BF-GF=7-3-2=2 D點(diǎn)的橫坐 BC 6 9標(biāo)為2，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，9. 答】A【解析】本題考查了相似三角形的判定.符合條件的三角形有四個(gè)，如圖所示：ABC因此本題選 A 答】A【解析】本題考查了相似三角

13、形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理如答圖， 過點(diǎn) 作 EG 于 G過點(diǎn) A 作 于 H11 / 21 ，因?yàn)?D 為 AB 點(diǎn)，所以 ，所以BF BD 1 1 5 AE AD 1 ，因?yàn)?D 為 AB 點(diǎn)，所以 ，所以BF BD 1 1 5 AE AD 1 5 2又因?yàn)?，所以 DFAH四邊形 DEGF 矩形所以BDF，DF，所以 BD 1 AH BA BA 2 AH 設(shè) DFEGx， AH2因?yàn)锽AC 90，所以C90， 因?yàn)?BC，所以CCEG，所以BCEG，又因?yàn)?CGE90，AB ，所以ABHCEG，所 AH2x同理可證BDFECG所以 ，因?yàn)?BD AB 所以 BF EG EC 2

14、2 2x在 RBDF 中由勾股定理得 BDDFBF ) x所以 252x，所以 AB5x因?yàn)?BC所以 ， AB 2所以 AE AC 5 x 在 RADE 中，由勾股定理得 DEAD 52x ) 5 x x因 DEF 的面積為 1，所以 DF1，即 1，解得 x 5 ，所以 2 5DE 題選 D ，因?yàn)?ADBD，AE所以 2DE 5 ，因此本二、填題（本大題 道小題） 【案析DE ，AD=1，BD= ，BC=4，= ，即 = ，解得:DE= . 平分，ABF=FBC 又DE，F(xiàn)BC=F，ABF=F，BD=DF=2，12 / AEPH AEPH DF=DE+EF，EF= = .故答案為: 【案

15、4 析由行四邊形的對(duì)角線把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形”可推出AEPH 面積等于 的面積.BG，BGBC=3，PF=2. eq oac(, )BDC，且相似比為 13，S=9 =9. eq oac(, )BPG eq oac(, )PDF，且相似比為 2，S=4 =4. PDF eq oac(, )BPGS =4. 答】【解析】12x 3 ， x 2，故 2y=x，則y x 21，故答案為： 2 答】54【解析】設(shè)這棟樓的高度為 h ，在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為 1.8 的竹竿的影長(zhǎng)為 3 m，同時(shí)測(cè)得一棟樓的影 長(zhǎng)為 60 ， h 3 90，解得 h故答案為：5413 / 1 42 ABD

16、NM2 DM OD 3 NA 22 2 a10S S 1 42 ABD NM2 DM OD 3 NA 22 2 a10S S 答】18【解析】點(diǎn) F 是ABC 的重心=2EF，EF， FG，EFGEBC，EF BE ，SS1EBC1 ( ) 3 9，1S S ，故答案為： 8 答】332【解析】法 1過 B 點(diǎn)作 / 交 于點(diǎn) E，則ADO由 90，得到 AD，DAOBC OD ，由 tanACB ，可得 BE4AE，S AO 3 3 S 4(34)4 法 2：如圖，過 D 作 DM，交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M，延長(zhǎng) 交 DM 于點(diǎn) N，得到ABCANM，OBC，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)邊成比例， 1 4tan

17、ACB ， ；又90，NAD 90，BCA，NADBCA，DAN，得出 DN 對(duì)應(yīng)邊之間關(guān)系， ，設(shè) a，DN，則 ，2b，3 4b DM 4bb 即 b a而表示三角形的面積得到14 / ABD2 102 10 12 9 16 ADDF 2 102 10 12 9 16 ADDF 1 3 ab 3 1 a) 16 答】【解析本題考查平行線分線段成比例定理相似三角形的判定與性質(zhì)已知 ACB90AC3， BC4，由勾股定理， AB5AB，由三角形的面積，得 CD 易得ABCACDCBD，由相似三角形對(duì)應(yīng) AB 5邊成比例，得 AD ，BD 過點(diǎn) E 作 交 AB 于點(diǎn) G，由平行線分線段成比例，

18、得 DG CD ，EG ，所以 ， 5 GF EG即 ，所以 DF，故答案為 85 BEFCA 答】21【解析設(shè)Bx則AAEBE2四邊形A是矩形CDAB 2xABCD，由折疊得DECEF， DCEDECDECD2點(diǎn)D，在同一條直線上，DC x DEEF2xx2ABCD，DCFEAF， EA EF 215 / ABCD ABCD x，解得x151，x251經(jīng)檢驗(yàn)，151，x251都是分式方程的根x0， 5 1，即BE 5 三、解題（本大題 道小題） 答】解: 平分ABD=CBD.ABCDD=，CBD=D ，CD=BC= 在 Rt ABC 中， = =ABCD CDE， = = = = ，CE=

19、， ，即 CE= AC= 8=3.在 Rt BCE 中，BE=3， BE= =. 答】解： 證明：（1四邊形 是矩形，AD. DAF， DF AE ，DFA . DFA ， DFA.解：（2AB ABE ， AD. BC ， 是 BC 的中點(diǎn)，1 BE BC 2 .在 中， 2 2 62 .16 / 5 2 5 2 又 ，6 2 6 10 ， 答】 (1)如圖所示：(2) ， DEBC AE AD DB 答】(1)解：， BAC，1ABC (18036)72，BD 平分，DBC36，AD，D36，DAFAFB723636(2)證明：EAFD，AEF， EDA，17 / ， OA， OA EF

20、，DE EAAEEF ；(3)證明：如解圖，過點(diǎn) 作 的垂線，G 為垂足， AB，AG 垂直平分 BC，AG 過圓心 O，AD ，AD ，AD 是O 的切線 答】（1）當(dāng) M、N 都在 O 右側(cè)時(shí)，解圖 t 6 t 2 t t OB 3，所以 因此 MN 與 AB 不平行 （2如圖 M 都在 O 右側(cè)時(shí)B可能OMNOBA如圖 3當(dāng) M 在 左側(cè)、N 在 O 右側(cè)時(shí)，不可能OMN 如圖 4當(dāng) 、N 都在 O 左側(cè)時(shí)，如果OBA，那么 所以t t 6解得 t218 / a aa a圖 2圖 3（3）如圖 2 OM t OH tNH ON (6 t (1t ) ， 3(1 t )圖 4如圖 3 OM

21、 OH ， t NH ON OH (6 t ) (2t t如圖 4 OM OH ， t NH ON t 6) t綜合、，22NH2 t t )t t 28 t 所以當(dāng) t 時(shí)，甲、乙兩人的最小距離為 米 答】【思路分析】(1)因?yàn)辄c(diǎn) x 軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且ACB保持不變，所以由 圓周角的性質(zhì)得，點(diǎn) C 必在以 AB 為直徑的圓上，所以以 AB 為直徑畫圓，與 x 軸相交于兩點(diǎn)，除點(diǎn) C 的另一點(diǎn)就是所求(2)因?yàn)锳CB，AOC ， 所以過點(diǎn) B BE 軸，垂足 E，則構(gòu)造了一“K字型的基本圖形，再由相似三角的性質(zhì)得出比例式，化簡(jiǎn)后得 m25m20，問題得證由(2)中的證明過程可知，一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為 1 的一元二次方程，一次項(xiàng)系數(shù)是點(diǎn) A 的橫坐 標(biāo)與點(diǎn) B 橫坐標(biāo)的和的相反數(shù)數(shù)項(xiàng)是點(diǎn)