《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題答案

1、2 1 1 2 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2 21 2 1 1 2 機(jī)械優(yōu)化計(jì)復(fù)習(xí)題答一、填題1、用最速降法求 f(X)=100(x - x 2 2+(1- x ) 最優(yōu)解時(shí)，設(shè) X0 步迭代的搜索方向?yàn)?-47,-50T。-0.5,0.5 T，第一2、機(jī)械優(yōu)設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是找搜索方向，二是計(jì)算最優(yōu)步長(zhǎng) 3、當(dāng)優(yōu)化題是凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)法來(lái)確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和 終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成 高低高 趨勢(shì)。5、包 n 設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問(wèn)題，稱(chēng)為n維優(yōu)化問(wèn)題。16、函數(shù) 2HX X 的梯度為 B。7

2、、設(shè) G nn 對(duì)稱(chēng)正定矩陣，若 維空間中有兩個(gè)非零向量 d0，d，滿足(d0T1=0，則 d1 之間存在共軛關(guān)系。8、 設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9、對(duì)于無(wú)約束二元函數(shù) f ( x x ) 若在 x ( x ) 點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是1 2 10 20，充分條件是 ( 正定 。10 條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11 、 分 一 元 函 數(shù) f ( ) x 的 極 小 點(diǎn) ， 初 始 搜 索 區(qū) 間 10,10 ，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)為 -2.36 。12優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變

3、量目標(biāo)函數(shù)、約束條件。13牛頓法的搜索方 k=g其計(jì)算量大 且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn) 附近 位置。14 、 函 數(shù) +x 2 x -4x +60 表 成X T 的 。15存在矩陣 ，向量 d ，向量 d ，當(dāng)滿 d T =0向量 和向量 是關(guān)于 H 共 軛。16采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因 子 r 數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點(diǎn)。17采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即最2 1 1 1 1 11 1 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1 優(yōu)步長(zhǎng)。二、選題1、下 C 法需要求海賽矩陣。A、最速降法B、共軛梯度法C、牛頓型法D、D

4、FP 2、對(duì)于約問(wèn)題min f 1 2 g 1 2g 2 1g 3 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷 X T 為 ， X , 為 。DA內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)B. 外點(diǎn)；外點(diǎn)C. 內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)D. 外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3、內(nèi)點(diǎn)懲函數(shù)法可用于求解 B 優(yōu)化問(wèn)題。A 無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題B 含有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題C 只含有等式的優(yōu)化問(wèn)題D 含有不等式和等式約束的優(yōu)化問(wèn)題4對(duì)于一維搜索搜索區(qū)間為b中間插入兩個(gè)點(diǎn) a a b 計(jì)算出 f(a )f(b )， 則縮短后的搜索區(qū)間為 D。A ， B ，bC ，bD a，b 5、D 不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。k kk k 1 1 1 k kk k 1 1 1 1 A 設(shè)計(jì)變量

5、 B 束條件 C 目標(biāo)函數(shù) D 最佳步長(zhǎng)6變尺度法的迭代公式為 xk+1=xk- f(xk下列不屬于 H 必須滿足的條件的是 C 。 H 之間有簡(jiǎn)單的迭代形式B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交D.對(duì)稱(chēng)正定7、函數(shù) f ( ) 在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn) A。A、最速升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四無(wú)約束優(yōu)化方法中， D 在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒(méi)有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二 階導(dǎo)數(shù)。A 梯度法B 牛頓法C 變尺度法D 坐標(biāo)輪換法9、設(shè) f ( ) 為定義在凸集 R 上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)， f ( X ) R 上為凸函數(shù)的 充分必要條件是海塞矩陣 G(X)在 上處處 B。A

6、正定B 半正定C負(fù)定D 半負(fù)定10下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是 ，假設(shè)要 求在區(qū)間b入兩點(diǎn) 、 ，且 r 是一個(gè)減的正值數(shù)rCr(k-1)， 因此 罰函數(shù)為：0 9、已知目函數(shù)為 f(X)=( x +(x +2)2受約束于：g -x -10g (X)=2-x -x 0g 0g 0試寫(xiě)出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解法同上10如圖，有一塊邊長(zhǎng)為 6m 正方形鋁板，四角截去相等的邊長(zhǎng)為 的方塊并折轉(zhuǎn)， 造一個(gè)無(wú)蓋的箱子，問(wèn)如何截法（x 取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫(xiě)出這一優(yōu) 化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB 件求解的程序。11某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為 的平底無(wú)蓋的圓柱形容器，要求

7、設(shè)計(jì)此容器消耗原材 料最少，試寫(xiě)出這一優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB 件求解的程序。2 1 2 1 12一根長(zhǎng) l 鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問(wèn)應(yīng)以怎樣的比例 截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以 及用 MATLAB 件求解的程序。13求表面積 2 的體積最大的圓柱體體積試寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 以及用 MATLAB 件求解的程序。14薄鐵板寬 ，折成梯形槽 ，求梯形側(cè)邊多長(zhǎng)及底角多大，才會(huì)使槽的斷面 積最大寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型并用 matlab 軟件的優(yōu)化工具箱求（寫(xiě)出 M 文件和求解命令15已知梯形截面管

8、道的參數(shù)是：底邊長(zhǎng)度為 ，高度為 ，面積 2斜邊 與底邊的夾角為 圖 1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長(zhǎng) s 的倒數(shù)成比例關(guān)系 （s 包括底邊和兩側(cè)邊，不計(jì)頂邊按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)寫(xiě)出 這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。并用 軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫(xiě)出 M 文件和求 解命令16某電線電纜車(chē)間生產(chǎn)力纜和話纜兩種產(chǎn)品。力纜每米需用材料 ，3 個(gè)工時(shí)，消 耗電能 4kWh，可得利 60 ；話纜每米需用材料 4kg， 個(gè)工時(shí)，消耗電能 5kWh， 可得利潤(rùn) 120 。若每天材料可供應(yīng) 360kg，有 300 個(gè)工時(shí)消耗電能 200kWh 可利用。 如要獲得最大利潤(rùn)，每天應(yīng)生產(chǎn)力纜、話纜各多少

9、米？寫(xiě)出該優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及 用 MATLAB 件求解的程序。機(jī)械優(yōu)化計(jì)復(fù)習(xí)題答案一、填題1、用最速降法求 f(X)=100(x - x 2 步迭代的搜索方向?yàn)?47;-50)2 x )2的最優(yōu)解時(shí)，設(shè) X 。-0.5,0.5T，第一2 、機(jī)械優(yōu)設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法 , 核心一是建立搜索方向二是計(jì)算最佳步長(zhǎng)因子 。3、當(dāng)優(yōu)化題是_凸規(guī)劃_情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)法來(lái)確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和 終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成 高-低高 趨勢(shì)。5、包 n 設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問(wèn)題，稱(chēng)為n維優(yōu)化問(wèn)題。6、函數(shù)12X T HX X 的梯度為。7、設(shè) G n

10、n 對(duì)稱(chēng)正定矩陣，若 維空間中有兩個(gè)非零向量 d0，d，滿足(d0T1=0，則 d1 之間存在共軛_系。8、設(shè)計(jì)變量 、約束條件 、目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)化1 1 2 1 21 2 1 2 1 1 2 1 21 2 1 2 設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9對(duì)于無(wú)約束二元函數(shù) ( x x 若 x , x 點(diǎn)處取得極小值其必要條件是1 2 度為零 ，充分條件是 海塞矩陣正定 。梯10 庫(kù)恩-塔克條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。 11 、 分 一 元 函 數(shù) f ( x) 2 36 極 小 點(diǎn) ， 初 始 搜 索 區(qū) 間 , 10,10 ，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新

11、區(qū)間為 -2.36,2.36。12化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量 束條件 目標(biāo)函數(shù) 、13法的搜索方向 dk 置。計(jì)算量 大 要求初始在極小點(diǎn) 逼近位14 、 將 函 數(shù) 2+x 2-x x 1表 示 成 2T BT 的 形式 。15存在矩陣 H向量 d 向量 d 當(dāng)滿足 是關(guān)于 H 共軛。向量 和向量 d16采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子 r 數(shù)列，具有由小到大趨于無(wú)窮特點(diǎn)。17 、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即 求 。二、選題1、下面A、最速降法 B、共軛梯度法 C、牛頓型法 D、DFP 2、對(duì)于約

12、問(wèn)題方法需要求海賽矩陣。 f x 1 2 1 2 3 2根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷1,1T為 ， 5 1 , 2 2為 。1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 k kk k A內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)B. 外點(diǎn)；外點(diǎn)C. 內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)D. 外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3、內(nèi)點(diǎn)懲函數(shù)法可用于求解_優(yōu)化問(wèn)題。A 無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題B 含有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題C 只含有等式的優(yōu)化問(wèn)題D 含有不等式和等式約束的優(yōu)化問(wèn)題4對(duì)于一維搜索搜索區(qū)間為b中間插入兩個(gè)點(diǎn) a a b 計(jì)算出 f(a )f(b )， 則縮短后的搜索區(qū)間為_(kāi)。A ， B ，bC ，bD a，b 5、不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A

13、 設(shè)計(jì)變量B 束條件C 目標(biāo)函數(shù)D 最佳步長(zhǎng)6、變尺法的迭代公式為 x _。k+1=xkH f(xk) ，下列不屬于 H 必須滿足的條件的是 H 之間有簡(jiǎn)單的迭代形式B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交D.對(duì)稱(chēng)正定7、函數(shù) ( ) 在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的 。 A、最速升方向B、上升方向C、最速下降方向1 21 21 1 1 21 21 1 D、下降方向8、下面四無(wú)約束優(yōu)化方法中 _在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒(méi)有使用到目標(biāo)函數(shù)的 一階或二階導(dǎo)數(shù)。A 梯度法B 牛頓法C 變尺度法D 坐標(biāo)輪換法9、設(shè) f X ) 為定義在凸集 R 且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)， f ( ) R 上為凸函數(shù)的 充分必要條件是海

14、塞矩陣 G(X)在 上處處 。A 正定B 半正定C負(fù)定D 半負(fù)定10下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是 ， 假設(shè)要求在區(qū)間b插入兩點(diǎn) 、 ，且 。B、 =b-（）C、 =a+（b-a）D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 上升 降 方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 下 不變 方向。A、上升B、下降C、不變D、為零12二維目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極小點(diǎn)就是 。 A、等值族的一個(gè)共同中心B、梯度為 0 點(diǎn)C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點(diǎn)13最速下降法相鄰兩搜索方向 dk和 k+1必為向量。A 相切B 正交C成銳角

15、D 共軛14下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是 。 A 可用來(lái)求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問(wèn)題。 B 懲罰因子是不斷遞減的正值C 初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。D 初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)15通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是A 牛頓法B 梯度法 C 共軛梯度法D 變尺度法16一維搜索試探方法黃金分割法比二次插值法的收斂速度A、 B、快 C、一樣 、不確定17下列關(guān)于共軛梯度法的敘述，錯(cuò)誤的是 。 A 需要求海賽矩陣B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度 二次收斂性D 第一步迭代的搜索方向?yàn)槌跏键c(diǎn)的負(fù)梯度三、問(wèn)題1、試述兩一維搜索方法的原理，它們之間有何

16、區(qū)答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理C 共軛梯度法具有區(qū)別 探法：給定的規(guī)定來(lái)確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間 的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法（2值法：沒(méi)有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù) 的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來(lái)函數(shù)的近似值。這種方法 稱(chēng)為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2、懲罰函法求解約束優(yōu)化問(wèn)題的基本原理是什么？答，基本原理是將優(yōu)化問(wèn)題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過(guò)加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù) 結(jié)合形成新的目標(biāo)函數(shù)懲罰函數(shù) 求解該新目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極值以期得到原 題的約束最優(yōu)解3、試述數(shù)解法求最佳步長(zhǎng)因子的基本思路

17、。答 主要用數(shù)值解法，利用計(jì)算機(jī)通過(guò)反復(fù)迭代計(jì)算求得最 佳步長(zhǎng)因子的近似值1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 11 1 1 24、試述求無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。答：最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是直接、簡(jiǎn)單，頭幾步下降速度快。缺點(diǎn)是收斂速度慢， 越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快，對(duì)二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點(diǎn)是每 次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時(shí)及數(shù)量比較大。5、寫(xiě)出用學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)值迭代公式，并說(shuō)明公式中各變量的意義， 并說(shuō)明迭代公式的意義。四、解題2 21 2- x x -2x 的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn) x=-2，4,代精度 （迭代一步2、試用牛法求

18、 f( X )=(x +(x -2x )2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn) x=2,1T。3、設(shè)有函 2 -2x x ，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。4、求目標(biāo)數(shù) f( X )=x2 x 的極值和極值點(diǎn)。1 2 3 1 2 3 21 2 1 2 x2 1 23 1 4 5、試證明數(shù) f( X 2 +x 2+2x x x -6x +3 在點(diǎn)1，-2T處具有極小值。6、給定約優(yōu)化問(wèn)題min f(X)=(x -3)2+(x -2)2s.t. x1 250g x 2x 40 g (X)= g 0驗(yàn)證在點(diǎn) ，T 件成立。7、設(shè)非線規(guī)劃問(wèn)題min f ( X ) 2 2st . g ) g ( ) 2g ( ) 1 2 用 件驗(yàn)證 *點(diǎn)。10如圖，有一塊邊長(zhǎng)為 6m 正方形鋁板，四角截去相等的邊長(zhǎng)為 的方塊并折轉(zhuǎn)， 造一個(gè)無(wú)蓋的箱子，問(wèn)如何截法（x 取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫(xiě)出這一優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB 件求解的程序。11某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為 的平底無(wú)蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫(xiě)出這一優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB 件求解的程序。12一根長(zhǎng) 的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問(wèn)應(yīng)以怎樣的比例 截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為