專題16 截長補短問題-2021年中考數(shù)學二輪復習經(jīng)典問題專題訓練

1、專題 截長補短題“截長短”是幾何明題中分重要的方，通常來證明幾條段的數(shù) 關(guān)系，若題目條件結(jié)論中有“ a”的條件，需要加輔助時可以 考慮“長補短”的法。在較長線段上截取條線段于較短線段再設(shè)法明較長線段剩余線 等于另的較短線段延長短線段中的條，使長出來的線等于另的較短線段然后證 兩線段和等于較長段。即長 得到 b，證：b延長短線段中的條，使長后的線段于較長段，然后證延長出 的部分于另一條較線段。延長 a，得 c，證：例 （廣大附中八級考如，在 中，AD 平 BAC ， ， ， CD ，則 AC 的長（ ）AB 11 D【案C【分析】在 AC 上取 AE=AB，接 DE證 ，得 ，證明 ， 進而代入

2、數(shù)值解答即可【詳解】在 AC 上取 AE=AB，接 DE 平 ， 和 中 ， （ ， = ， CD 6， =AE+CE=AB+CD = 故選：【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)；利用了全等三角形中常用輔助-截長補短法構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形解題，這是解決線段和差問題最常用的方法，注意掌握例 （2021 上海年專練）圖 ABC 中 在 BC 上D 在 BA 上過 E 作 AB于 ， 1+ AB，BF， AD 的為_【答案】【分析】在 上一點 ，使得 ，連接 ，在 CB 上一點 ，使得 ，連接 辦法 證明 ，出 ，出 BT=AD 即解決問題【詳解】在 FA 取一點 T，得 =BF，連

3、接 ET，在 CB 上取一點 K，得 CK=，連接 DK =ET， eq oac(, )=， eq oac(, )= eq oac(, )AET=CD，=CK， eq oac(, )AET eq oac(, )DCKSAS，= =，=， =DK，=，=，=2BF=，=，故答案為：【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)腰三角形的判定和性質(zhì)等知識點題鍵在于學會 添加常用輔助線，構(gòu)造出全等三角形例 （湖武市八級末如 ABC 為等三形直 l 過點 C， l 上 位 C 右側(cè)的 D 滿BDC（1）圖 1， l 位 C 點側(cè)一 E， 60，求 CDB；（2）圖 2， F、G 在線 l 上， AF，在 l

4、上方作AFH 120， AFHF，HGF ，證：CF；（3）（）的件，當 A、B 于線 l 兩側(cè)其條不時如 3線 HG、 CF、 的量系 【案1）明見解析）證明見解）HG=CF+BD【分析】（）利用角和差證 eq oac(,明)，后用 AAS 即證 （） 上 點側(cè)取一 E， ，接 AE依次證 即可得出結(jié)論；（） 上位于 C 點側(cè)取一點 ， ，接 AE，在 l 上一點 ，使 ， 依次證 即得出結(jié)論【詳解】解）證明 是邊角形， ACE=120 ，EAC=120 中 EAC,AC （）明：如 ， 上 C 點左側(cè)取一點 ， 連接 AE 由（） ， ， ， AEF=120 AF=FH， （ （）：，理由

5、是：如圖 l 上于 C 點側(cè)取一 E， 連接 AE l 上一點 BM=BD， 是邊三角形， ， （ 由（） （故答案為：【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定等三角形的性質(zhì)和判斷三角形外角的性質(zhì)等掌握一線三等角的模型，能借助一線三等角證明對應角相等是解題關(guān)鍵一單題1（2020濟南新第實學校年期）圖在 Rt 中 ACB ， ， BC ， AD 分 CAB 交于 D 點，E， 分別 AD 上動，CE 的小為 ）ABC D125【案D【分析】利用角平分線構(gòu)造全等，使兩線段可以合二為一，則 EC+EF 的小即為點 C 到 AB 的垂線 段長度【詳解】在 AB 上取一點 ， AF 中 ，3，BC4 （）

6、，求 CE+EF 的小值即為求 CE+EG 的小值，故當 、G 三點共線時，符合要求，此時，作 CH 于 點則 CH 的即為 CE+EG 的小值，此時， ，AC 12= ，BC 5即：CE+EF 的小值為125，故選：【點睛】本題考查了角平分線構(gòu)造全等以及線段和差極值問題，靈活構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵2（2019 湖黃岡 八年級中如，知邊 ABCD 中，AD DAB 的平分線AE 交 于 E連 BE，且 BE 恰好分， AB 的與 AD+BC 的小系（ ）AABAD+BCBAD+BC AD+BC D法定【案C【分析】在 AB 上截取 AD連接 EF，易 再 利全等 三角形對應邊相等即可得出三條線段

7、之間的關(guān).【詳解】解：如圖所示，在 上截取 AF，接 EFDAB=180 平 ， 平 12 =90， ， 和 中FAEAE=AE SAS所 90 90，所 和 中，CBE= BE=BE （所以 BC，所以 ；故選：【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，截長補短是證明線段和差關(guān)系的常用方二填題3山西年期如，是邊角 BCD 180BD ，CD ， AD _【案6【分析】在線段 BD 上取一點 E，得 ，連接 AE ，A B, C , D四點共圓得ABE ACD，再證明 ACDADE 是邊三角形，得 ，由線段的和差關(guān)系可得結(jié)論【詳解】解：在線段 上一點 ，使得 BE=CD，連接 AE， BCD ,

8、 B, C , D四點共圓，ABD 是等邊三角形， AC ， ， ， CAF 60， ， 60 DAE ， eq oac(, )ADE 是邊三角形， AD ， CD ，DE CD ， AD 【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及四點共圓的判定，證 是解答此題的關(guān)鍵42020 無市尖學年月如四形 ABCD 中 120 90，在 BCCD 上分找點 MN使AMN 周長小， AMNANM 的數(shù)_【案120【分析】延長 得 AB=BE長 AD得 AD=DF接 BC 相于 M使 的周長最小，則三角形的三邊要共線，根 的角和是 180即列出方 程求解【詳解】解：延長 AB，使得 AB=BE，長

9、 AD，使得 ，連接 EF，與 ， 相于 M， 如圖所示，此 的周長最小 和 中 BE MB MB 同理可得 x y 120 解得：x y 故答案為：120【點睛】本題主要考查的是三角形周長最小的條件及到的知識點為全等三角形的判定及性質(zhì) 角形內(nèi)角和的應用，正確添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵三解題5（2021安徽肥八級末如，中AC ， 平 CAB （1）圖 1， ，證 CD；（2）圖 2， AB BD ， 度數(shù)（3）圖 3， 100求證 AB CD 【案1）詳解）108見詳解【分析】（）圖 ，過 作 ，由 CA， 是腰直角三角形根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到 CDMD 根全等三角形的性質(zhì)得到 AC， 于是

10、得到結(jié)論；（）圖 2， ， 12，在 AB 上取 AKAC，連結(jié) ，據(jù)角平分線的定義得 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得 ，據(jù) 角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（）圖 3， AB 上截取 ，接 ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得 40，根據(jù)角平分線的定義得 ， ，在 AB 上截取，接 DK，根據(jù)全等角形的性質(zhì)得 100，據(jù)等腰三 角形的性質(zhì)得到 DH，是得到論【詳解】（）圖 1， 作 ，中，AC ，45，90 是角平分線， MD 45， ， ，在 RT 中，ADAD HL ， ，即 ；（） ， 9012，在 AB 上截取 AC連結(jié) ，圖 2， ACBD，AB=AK+BK BD， 是平分線， 和 中AKADAD （ ，

11、BD， 中，18090 eq oac(, )，；12，（）圖 3， AB 上截取 ，接 ，BC， 40， 是平分線， ， 80，在 AB 上截取 AC連接 ，由（） ， 100CD， 80 ， DHCD，40 eq oac(,-) ， ， CD， ， AD【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)腰三角形的性質(zhì)角平分線的定義三角形的內(nèi)角 和，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵6（ 全國九級時習如，、P、B、C 是O 上點 APC=CPB=60（1）斷ABC 形并明的論（2）點 位什位時四形 PBOA 是形并明由（3）證+PB【案 是等邊三角形，證明見解析當 P 位中點時，四邊形 是菱形，理由見解析證見解析【分析】（用圓周角理可 則可 從而可判 的形狀；（）點 P 位于中點時，四邊形 是形，通過證 均為等邊三角形，得到 OA=AP=OB=BP 即得證；（） PC 上截取 PD=AP 是等邊角形，然后證 ，明 BP=CD 即 得證結(jié)論【詳解】（） 是等邊三角形證明如下： 中 eq oac(, ) 是 所對的圓周角 是 AC所對的圓周角，= =，=60 eq oac(, )ABC=60， eq oac(, ) 為等邊三角形；（）點 P 位于 AB 中點時，四邊形 是形， 如圖 ，接 ，P 是 的點， eq oac(, )AOP=60=OB，