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1、第三節(jié)3、球面坐標系三重積分的計算 第十章 2、柱面坐標系1、直角坐標系1. 利用直角坐標計算三重積分方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次積分法 先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù) , 方法:方法1. 投影法 (“先一后二” ) 該物體的質(zhì)量為細長柱體微元的質(zhì)量為微元線密度記作方法2. 截面法 (“先二后一”)為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度記作投影法方法3. 三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果 ,把二重積分化成二次積分即得:小結(jié): 三重

2、積分的計算方法方法1. “先一后二”方法2. “先二后一”方法3. “三次積分”具體計算時應(yīng)根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇. 其中 為三個坐標例1. 計算三重積分所圍成的閉區(qū)域 .解:面及平面例3. 計算三重積分解: 用“先二后一 ” 2. 利用柱坐標計算三重積分 就稱為點M 的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關(guān)系:坐標面分別為圓柱面半平面平面其中 為例3. 計算三重積分所解: 在柱面坐標系下及平面由柱面圍成半圓柱體.例4. 計算三重積分解: 在柱面坐標系下所圍成 .與平面其中 由拋物面原式 =如圖所示, 在球面坐標系中體積元素為因此有其中適用范圍:1) 積

3、分域表面用球面坐標表示時方程簡單;2) 被積函數(shù)用球面坐標表示時變量互相分離.例5. 計算三重積分解: 在球面坐標系下所圍立體.其中 與球面例6.求曲面所圍立體體積.解: 由曲面方程可知, 立體位于xOy面上部,利用對稱性, 所求立體體積為yOz面對稱, 并與xOy面相切, 故在球坐標系下所圍立體為且關(guān)于 xOz 內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系* 說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成 ;思考題1. 將用三次積分表示,其中 由所提示:思考與練習(xí)六個平面圍成 ,3. 設(shè) 由錐面和球面所圍成 , 計算提示:利用對稱性用球坐標 備用題 1. 計算所圍成. 其

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