定積分的換元法市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、定積分換元法 上一節(jié)我們建立了積分學(xué)兩類(lèi)基本問(wèn)題之間聯(lián)系微積分基本公式，利用這個(gè)公式計(jì)算定積分關(guān)鍵是求出不定積分，而換元法和分部積分法是求不定積分兩種基本辦法，假如能把這兩種辦法直接應(yīng)用到定積分計(jì)算，相信定能使得定積分計(jì)算簡(jiǎn)化，下面我們就來(lái)建立定積分換元積分公式和分部積分公式。第1頁(yè)第1頁(yè)先來(lái)看一個(gè)例子例1換元求不定積分令則故第2頁(yè)第2頁(yè)為去掉根號(hào)令則 當(dāng) x 從0連續(xù)地增長(zhǎng)到4時(shí)，t 相應(yīng)地從1連續(xù)地增長(zhǎng)到3于是嘗試一下直接換元求定積分第3頁(yè)第3頁(yè)將上例普通化就得到定積分換元積分公式 由此可見(jiàn)，定積分也能夠象不定積分一樣進(jìn)行換元，所不同是不定積分換元時(shí)要回代原積分變量，而對(duì)定積分則只需將其上

2、、下限換成新變量上、下限即可計(jì)算出定積分，而無(wú)須回代原積分變量第4頁(yè)第4頁(yè)一、換元公式第5頁(yè)第5頁(yè)證第6頁(yè)第6頁(yè)第7頁(yè)第7頁(yè)應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）第8頁(yè)第8頁(yè)計(jì)算解1由定積分幾何意義等于圓周第一象限部分面積解2 故o例2第9頁(yè)第9頁(yè)令解4令仍可得到上述結(jié)果解3第10頁(yè)第10頁(yè)解令 例3 計(jì)算第11頁(yè)第11頁(yè)定積分換元積分公式也能夠反過(guò)來(lái)使用為以便計(jì)將換元公式左、右兩邊對(duì)調(diào)同時(shí)把 x 換成 t ， t 換成 x這闡明可用 引入新變量但須注意如明確引入新變量，則必須換限如沒(méi)有明確引入新變量，而只是把整體視為新變量，則不必?fù)Q限注第12頁(yè)第12頁(yè)例4 計(jì)算解第13頁(yè)第13頁(yè)例5 計(jì)算解原式

3、第14頁(yè)第14頁(yè)例6 計(jì)算解一令原式第15頁(yè)第15頁(yè)解二接解一對(duì)令則第16頁(yè)第16頁(yè)證第17頁(yè)第17頁(yè)即： 奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上積分等于0 偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上積分等于對(duì)稱(chēng) 部分區(qū)間上積分兩倍 由定積分幾何意義，這個(gè)結(jié)論也是比較明顯第18頁(yè)第18頁(yè)例8 計(jì)算解原式偶函數(shù)奇函數(shù)四分之一單位圓面積第19頁(yè)第19頁(yè)第20頁(yè)第20頁(yè)（1）設(shè)（2）設(shè)證第21頁(yè)第21頁(yè)第22頁(yè)第22頁(yè)另證 將上式改寫(xiě)為奇函數(shù)第23頁(yè)第23頁(yè)例10 設(shè) f(x) 是以L為周期連續(xù)函數(shù)，證實(shí)證實(shí)與 a 值無(wú)關(guān)第24頁(yè)第24頁(yè)例11 設(shè) f(x) 連續(xù)，常數(shù) a 0 證實(shí)證實(shí)比較等式兩邊被積函數(shù)知，第25頁(yè)第25頁(yè)第26頁(yè)第26頁(yè)例12 設(shè) f ( x ) 連續(xù)解第27頁(yè)第27頁(yè)第28頁(yè)第28頁(yè)第29頁(yè)第29頁(yè)定積分換元法幾種特殊積分、定積分幾種等式 二、小結(jié)第30頁(yè)第30頁(yè)思考題解令第31頁(yè)第31頁(yè) 思考題解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤.正確解法是第32頁(yè)第