彈性力學(xué) 第四章

1、彈性力學(xué) 第四章第1頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三復(fù)習(xí)典型軸對(duì)稱問題解法：（1）圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫吔鐥l件：位移單值條件B=0第2頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三（2）壓力隧洞rrRRr六個(gè)條件位移單值條件光滑接觸邊界條件第3頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三工程結(jié)構(gòu)中常開設(shè)孔口，最簡(jiǎn)單的為圓孔。 本節(jié)研究小孔口問題，應(yīng)符合:（1）孔口尺寸彈性體尺寸，故孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)局限于小范圍內(nèi)。（2）孔邊距邊界較遠(yuǎn)（1.5倍孔口尺寸）孔口與邊界不相互干擾。48 圓孔的孔口應(yīng)力集中第4頁，共41頁，2022年，5月20日，2

2、2點(diǎn)52分，星期三當(dāng)彈性體開孔時(shí)，在小孔口附近，將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。第5頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三1.帶小圓孔的矩形板，四邊受均布拉力q，圖(a)。將外邊界改造成為圓邊界，作圓 則圓邊界上點(diǎn)的應(yīng)力與無孔時(shí)相同，即A的直角坐標(biāo)應(yīng)力：由直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式，得A點(diǎn)的極坐標(biāo)應(yīng)力第6頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三yxjrq令q1=0, q2= -q，且取 r/R=0有問題簡(jiǎn)化為：第7頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三2. 左右受q拉，上下受q壓 對(duì)三角形單元體有由公式(4-7)，有A點(diǎn)(圓周)的應(yīng)力(邊界條件)

3、應(yīng)力分量推測(cè)第8頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三將函數(shù)帶入相容方程可得：即：做Euler變換：第9頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三寫出特征方程一實(shí)根r對(duì)應(yīng)解的一項(xiàng)： 一對(duì)相等的實(shí)根r對(duì)應(yīng)解的兩項(xiàng)： 一對(duì)共軛復(fù)根 對(duì)應(yīng)解的兩項(xiàng)： 第10頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三得應(yīng)力分量：代入得應(yīng)力函數(shù)代入(4-5)第11頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三求得系數(shù)邊界條件：第12頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三將A、B、C、D帶入式，得:(418)3. 左右受q1拉，上下受q2拉

4、 第13頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三第14頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三特例：?jiǎn)蜗蚴芾澹ㄩL(zhǎng)柱體）令q1=q, q2= 0 基爾斯（G. Kirsch）解第15頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三討論：（1）孔邊應(yīng)力， 最大應(yīng)力 3q ，最小應(yīng)力-q。第16頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三（2) y 軸 上應(yīng)力，可見，距孔邊1.5D處 ，由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)5%。第17頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三（3） x 軸 上應(yīng)力，同樣，距孔邊1.5D處 ，由于孔口引起

5、的應(yīng)力擾動(dòng)遠(yuǎn)處的應(yīng)力，孔口附近應(yīng)力無孔時(shí)的應(yīng)力。（2）局部性應(yīng)力集中區(qū)域很小，約在距孔邊1.5倍孔徑（D）范圍內(nèi)。此區(qū)域外的應(yīng)力擾動(dòng)，一般5%。第19頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三（3）凹角的角點(diǎn)應(yīng)力高度集中，曲率半徑愈小，應(yīng)力愈大。因此，工程上應(yīng)盡量避免接近直角的凹角出現(xiàn)。 如正方孔 的角點(diǎn)，角點(diǎn)曲率半徑第20頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三5.一般小孔口問題的分析： 45相應(yīng)于孔中心的應(yīng)力 45孔附近應(yīng)力附近應(yīng)力主應(yīng)力第21頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三任意形狀薄板（或長(zhǎng)柱）受面力 作用，在距邊界較遠(yuǎn)處有一小

6、孔，只要知道無孔的應(yīng)力，就可計(jì)算孔邊的應(yīng)力 （1）假設(shè)無孔，求出結(jié)構(gòu)在孔心處的 、 、 。（2）求出孔心處主應(yīng)力（3）在遠(yuǎn)處的均勻應(yīng)力場(chǎng) 作用下，求 出孔口附近的應(yīng)力。注：以上近似方法雖然并非嚴(yán)格的力學(xué)推導(dǎo)，但實(shí)驗(yàn)證實(shí)是可行的。第22頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三例：在薄板內(nèi)距邊界較遠(yuǎn)的某一點(diǎn)處，應(yīng)力分量sx=sy=0, txy=q, 如果該處有一個(gè)小圓孔，試求孔邊的最大正應(yīng)力。解：該點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力為：則該問題可轉(zhuǎn)化為：第23頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三由4-18式:孔邊只有環(huán)向正應(yīng)力第24頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)5

7、2分，星期三在薄板內(nèi)距邊界較遠(yuǎn)的某一點(diǎn)處，應(yīng)力分量sx=sy=txy=q, 如果該處有一個(gè)小圓孔，試求孔邊的最大正應(yīng)力。 解：該點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力為：則該問題可轉(zhuǎn)化為：第25頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三由基爾斯（G. Kirsch）解答得：孔邊只有環(huán)向正應(yīng)力第26頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三4-9 半平面體在邊界上受集中力1. 應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力采用半逆解法如圖所示，無限大半平面體，在其邊界上受集中力F（實(shí)際為沿厚度方向的分布力，單位是N/m，量綱為MT-2）。求其應(yīng)力和位移。用量綱分析法，由于F的量綱為MT -2，應(yīng)力的量綱為L(zhǎng)-1MT -

8、2，r為長(zhǎng)度量綱, b、 j無量綱，因此應(yīng)力可能取為F/r乘以j 的某一函數(shù)的形式。 Fxyo第27頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三代入相容方程： 解得： 第28頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三由于 不影響應(yīng)力，可以略去。 所以?。?對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為：第29頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三應(yīng)力邊界條件為：xbFy顯然滿足。 第30頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三xbFy由圣維南原理，在原點(diǎn)附近應(yīng)有：應(yīng)力的合力等于F。 為此如圖繞P點(diǎn)作任意小半徑r的半圓，則： 第31頁，共41頁，2022年，5月

9、20日，22點(diǎn)52分，星期三由此解得： 應(yīng)力分量得解答為： 第32頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的應(yīng)力轉(zhuǎn)換式（4-7），可求得 （4-23）或?qū)⑵涓臑橹苯亲鴺?biāo)表示，有 （4-24）第33頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三代入物理方程： 當(dāng)F垂直作用時(shí)：2. 豎直力作用下的位移FxyO第34頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三再代入幾何方程：(a)(b)(c)第35頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三積分式（a）得，(d)將式（d）代入式（b），有積分上式，得(e)第36頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三將式（d）(e) 代入式（c） 得，(d)(e)(c)第37頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三要使上式成立，須有：以上方程求解參見4-5第38頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三可解得：第39頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)52分，星期三由于問題的對(duì)稱性，所以有： 可得： 即H=K=0所以位移解答為：其中的I無法再由邊界條件確定，它實(shí)際上代表的是物體的剛體位