哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)能支持?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)在論嗎

1、哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)能支持?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)在論嗎?摘要：哥德爾綱領(lǐng)是由哥德爾提出的一個旨在解決集合論獨(dú)立性問題的研究方略，它對最近半個世紀(jì)的集 合論研究產(chǎn)生了巨大的影響。當(dāng)代集合論的一些最新成果顯示，這個綱領(lǐng)有可能面臨一個完美的實(shí)現(xiàn)。很多 人認(rèn)為，這將有力地支持?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)在論。但更深入的分析表明，哥德爾綱領(lǐng)的真正基礎(chǔ)是集合的迭代概念，而非 實(shí)在論；并且，集合的迭代概念以及踐行哥德爾綱領(lǐng)所使用的外在的公理辯護(hù)方法，實(shí)際上與實(shí)在論的立場有 潛在的沖突,反倒與反實(shí)在論的圖景更為契合。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)哲學(xué);哥德爾綱領(lǐng)；數(shù)學(xué)實(shí)在論哥德爾早早預(yù)見到了連續(xù)統(tǒng)問題對通常的集合論公理系統(tǒng)ZFC的獨(dú)立性,并提出了一個解決它(以 及其他

2、類似的獨(dú)立性問題)的研究方略，即尋找新公理加強(qiáng)ZFC，從而確定連續(xù)統(tǒng)基數(shù)的大小，后人稱之 為“哥德爾綱領(lǐng)”(G6delsProgram)E。這個綱領(lǐng)指引了 20世紀(jì)70年代以來集合論中的一大批實(shí)踐，特 別是以武丁(Hugh Woodin)、斯蒂爾(John Steel)等人為代表的集合論加州學(xué)派的一系列重要工作和成 果。在這些成果的激勵下，今天有很多人甚至認(rèn)為，“集合論已經(jīng)發(fā)展到了這樣的階段，我們有可能面臨 著哥德爾綱領(lǐng)的徹底實(shí)現(xiàn)”283。哥德爾綱領(lǐng)能否實(shí)現(xiàn)，以及眼下它是否已經(jīng)接近實(shí)現(xiàn)，我們當(dāng)然應(yīng)尊重集合論學(xué)家們的意見。對于 這類問題，數(shù)學(xué)共同體內(nèi)部有其一定的標(biāo)準(zhǔn)，可容哲學(xué)家置喙的余地不多。但

3、擁護(hù)哥德爾綱領(lǐng)的人，包 括加州學(xué)派的集合論學(xué)家和一些數(shù)學(xué)哲學(xué)家，通常并不把哥德爾綱領(lǐng)視為一個單純的數(shù)學(xué)研究綱領(lǐng)，而 是賦予它豐富的哲學(xué)意蘊(yùn)，特別是認(rèn)為，它的實(shí)現(xiàn)將有力地支持哥德爾式的數(shù)學(xué)實(shí)在論或柏拉圖主義。 本文所關(guān)心的，正是這個問題。基于麥蒂(Penelope Maddy)對數(shù)學(xué)方法論的自然主義刻畫，以及哥德爾本人的一些論述，本文試 圖論證，哥德爾綱領(lǐng)與數(shù)學(xué)實(shí)在論之間并沒有人們通常想象的那種緊密聯(lián)系，反實(shí)在論框架一樣可 以容納它。不僅如此，通過反思集合論實(shí)踐中表現(xiàn)出的若干原則和思想，我們發(fā)現(xiàn)它們與實(shí)在論有 深刻的沖突，反倒更契合反實(shí)在論的圖景，這包括與哥德爾綱領(lǐng)密切相關(guān)的集合的迭代概念和哥德

4、爾 歸納法等。哥德爾在證明了他的兩個著名的不完全性結(jié)果之后，逐漸將注意力轉(zhuǎn)向集合論，而吸引他的第一個 問題，就是著名的連續(xù)統(tǒng)問題。自康托爾用對角線法證明連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)嚴(yán)格大于自然數(shù)全集的基數(shù)后， 確定連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)究竟是多少，就成了集合論的一個重要課題。康托爾的猜想是,連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)恰好是 第二個無窮基數(shù)，亦即第一個不可數(shù)基數(shù)，用公式表達(dá)就是:2=R。這就是所謂的“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)” (CH)。 它相當(dāng)于是說，不存在實(shí)數(shù)的子集，其大小嚴(yán)格介于自然數(shù)全集和實(shí)數(shù)全集之間?？低袪栠M(jìn)一步證明 了，對于實(shí)數(shù)的解析子集而言，CH是成立的。但自此以后，集合論中圍繞連續(xù)統(tǒng)問題的研究幾乎毫無進(jìn) 展，直到哥德爾的相關(guān)工作出現(xiàn)

5、。哥德爾1938年構(gòu)造了所謂的“可構(gòu)成集類”(L),證明它是ZFC的一個模型，并且CH在其中也滿足。 這意味著，ZFC不能證明CH是假的，即CH對ZFC具有相對一致性。但哥德爾并沒有因此認(rèn)為CH為 真,而是推測它很可能是獨(dú)立于ZFC的。在他于1947年應(yīng)美國數(shù)學(xué)月刊之邀所寫的關(guān)于連續(xù)統(tǒng)問題 的一篇文章中，哥德爾深入探討了這種可能性,并指出，我們可以通過合理地?cái)U(kuò)充ZFC，比如增加一些 大基數(shù)公理，來最終判定CH的真假。哥德爾關(guān)于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)獨(dú)立性的預(yù)言于1963年被科恩(Paul Cohen)實(shí)現(xiàn)。用他自己發(fā)明的力迫 法，科恩證明，ZFC也不能證明CH是真的。與哥德爾的結(jié)果合在一起，這完成了 CH

6、獨(dú)立性的證明?？?恩力迫法是一種十分強(qiáng)大的方法,借助它，更多的獨(dú)立性現(xiàn)象被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)，比如關(guān)于實(shí)數(shù)投影子集的一 些問題：它們是否都是勒貝格可測(Lebesgue measurable)的，是否都具有完美集性質(zhì)(perfect set property), 等等。然而，一個自然的問題是，獨(dú)立性究竟意味著什么？它是否意味著相關(guān)問題沒有數(shù)學(xué)意義？對于這個問題，科恩本人傾向于一種形式主義的立場。他認(rèn)為ZFC并不是對某種客觀實(shí)在的描述, 而是一個形式系統(tǒng);一個集合論語句是真的，當(dāng)且僅當(dāng)它是ZFC的定理。根據(jù)這種立場，連續(xù)統(tǒng)問題沒 有意義，因?yàn)镃H及其否定都不是ZFC的定理，也就沒有真值。但正如我們已經(jīng)提到

7、的,哥德爾在更早的 時(shí)候已經(jīng)預(yù)見到了 CH的獨(dú)立性，同時(shí)卻沒有放棄謀求它的解決，更不用說就此宣稱連續(xù)統(tǒng)問題沒有意 義。哥德爾的這一做法與他關(guān)于數(shù)學(xué)的哲學(xué)立場密切相關(guān),比如,他寫道:“基于此處采取的立場, 一個從已接受的集合論公理出發(fā)對康托爾猜想的不可判定性的證明(與一個對江的超越性的證明完全 不同)，絕不是問題的解決集合論概念和定理描述了一個完全確定的實(shí)在，在其中康托爾猜想一 定是或真或假。因此，源于今天已接受公理的對它的不可判定性，只能意味著這些公理沒有完備地描 述那個實(shí)在?！?260也就是說,在數(shù)學(xué)哲學(xué)上，哥德爾持一種與科恩形式主義完全不同的立場,即實(shí)在論 或柏拉圖主義的立場，并且正是基于

8、這一立場，哥德爾認(rèn)為，連續(xù)統(tǒng)問題仍有意義，即便CH被證明是獨(dú) 立于ZFC的。更重要的是，哥德爾指出，上述信念“絕非空想，因?yàn)橛锌赡苤赋鲆恍┓较?，沿著它們能得到對一?問題的判定,而這些問題對于通常的公理是不可判定的”3260。哥德爾在這里所說的“方向”主要是指大 基數(shù)公理。在哥德爾看來，它們是我們一般接受的ZFC公理的自然延續(xù)，因?yàn)樗鼈償嘌砸恍┓浅４蟮幕?數(shù)的存在，而這些大基數(shù)與比它們小的基數(shù)之間的關(guān)系,好比是第一個無窮基數(shù)與有窮數(shù)(即自然數(shù))之 間的關(guān)系;大基數(shù)公理就相當(dāng)于更強(qiáng)的無窮公理。并且,哥德爾指出,雖然大基數(shù)公理“只直接涉及非常 大的超窮序數(shù)，但可以證明，由它們產(chǎn)生的推論遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出序數(shù)

9、理論的范圍;在相容性的假定下可以證明， 每條（現(xiàn)在已經(jīng)知道的）大基數(shù)公理都能判定更多的屬于丟番圖方程領(lǐng)域的命題”邱61。這就為借助大基 數(shù)公理解決連續(xù)統(tǒng)問題提供了希望。此外，哥德爾同時(shí)強(qiáng)調(diào)，除了大基數(shù)公理,還可能存在其他一些、尚 未為人所知的集合論公理，“這些公理隱含在邏輯和數(shù)學(xué)背后的一些概念之中，或許在對這些概念有了 更為精深的理解之后，我們才能發(fā)現(xiàn)它們”邱61?？贫骱透绲聽枌H獨(dú)立性的態(tài)度，分別代表了之后的集合論實(shí)踐中的兩個主要陣營。而隸屬于哥 德爾主義陣營的集合論學(xué)者，主要是加州學(xué)派的成員，他們按照哥德爾綱領(lǐng)展開了一系列的研究，并且 成果卓著?？偟膩碚f，加州學(xué)派圍繞連續(xù)統(tǒng)問題的工作主要

10、有兩方面:其一是一個相對局部的策略，通 過為三階算術(shù)尋找一個“經(jīng)驗(yàn)完全”的理論來判定CH的真值;其二是所謂的“內(nèi)模型計(jì)劃”，該計(jì)劃試圖 為集合論尋找一個終極模型或終極理論，它可以回答包括連續(xù)統(tǒng)問題在內(nèi)的幾乎所有獨(dú)立性問題。下 面我們對這兩個方向分別做簡略的介紹。第一個方向上的工作基于這樣的事實(shí)和想法:連續(xù)統(tǒng)問題是一個三階算術(shù)問題，而對于一階算術(shù)和 二階算術(shù)，我們都能找到經(jīng)驗(yàn)完全的理論;如果我們能將這類工作推廣到三階算術(shù)上，或許就能解決連 續(xù)統(tǒng)問題。這里稱連續(xù)統(tǒng)問題為三階算術(shù)問題，是因?yàn)樗穯柕氖菍?shí)數(shù)子集的大小，其相關(guān)命題以實(shí)數(shù) 子集為概括對象，而由于每個實(shí)數(shù)相當(dāng)于一個自然數(shù)子集，連續(xù)統(tǒng)問題所談

11、論的對象就成了全體自然數(shù) 子集所構(gòu)成的集合的子集。如果稱直接概括自然數(shù)的算術(shù)為一階算術(shù)，以自然數(shù)子集或?qū)崝?shù)為概括對 象的算術(shù)為二階算術(shù)，那么連續(xù)統(tǒng)問題就屬于三階算術(shù)。由于哥德爾不完全性定理，我們注定無法獲得 一個關(guān)于一階算術(shù)結(jié)構(gòu)的完全的理論。但如果不考慮哥德爾句這種生造的算術(shù)語句，僅考慮那些在數(shù) 學(xué)實(shí)踐中有實(shí)際趣味的算術(shù)問題，那么我們確實(shí)擁有一個接近完全的理論，即ZFC，它能判定今天已知 的關(guān)于一階算術(shù)結(jié)構(gòu)的所有有趣問題。這樣的理論，我們稱之為經(jīng)驗(yàn)完全的。而加州學(xué)派的一個重要 工作是，不僅對一階算術(shù)結(jié)構(gòu)，我們有經(jīng)驗(yàn)完全的理論，對二階算術(shù)結(jié)構(gòu)，我們也能找到一個經(jīng)驗(yàn)完全的 理論,那就是ZFC+PD

12、。其中,PD指投影決定性公理，它斷言實(shí)數(shù)的投影子集都是可決定的。在假定PD 的情況下，已知的關(guān)于二階算術(shù)結(jié)構(gòu)的有趣的獨(dú)立性問題都可得到解答。不僅如此，加州學(xué)派進(jìn)一步的 研究表明，類似的情形也有希望在三階算術(shù)結(jié)構(gòu)上發(fā)生:如果某些高度似真的假設(shè)成立,則存在關(guān)于二 階算術(shù)結(jié)構(gòu)的一個高度完全的理論，并且它包含CH的否定。相比于第一個方向上的工作，加州學(xué)派在第二個方向，亦即內(nèi)模型計(jì)劃方向上的工作與本文的主旨 更為相關(guān)，后者也更符合哥德爾關(guān)于連續(xù)統(tǒng)問題求解的原始設(shè)想。哥德爾的可構(gòu)成集類L具有良好的 結(jié)構(gòu)性質(zhì),并且可以判定CH,但它對集合宇宙限制過甚，不能容納可測基數(shù)及其以上的大基數(shù)，因而不 適合作為新公理

13、。但能否找到一個類似于L、可自下而上地定義的集合論模型，它同時(shí)能容納可測基數(shù) 以及更大的大基數(shù),這就是內(nèi)模型計(jì)劃的動機(jī)。此處所謂“內(nèi)模型”是相對于力迫法的擴(kuò)張模型而言，后 者是通過對集合宇宙進(jìn)行擴(kuò)張得到，前者則是對集合宇宙進(jìn)行收縮限制。內(nèi)模型計(jì)劃的早期工作在20 世紀(jì)70年代就已開始，并逐步取得了相當(dāng)?shù)某晒?，找到了一系列能容納越來越大的大基數(shù)的集合論內(nèi)模 型。但是，這個計(jì)劃長期面臨一個根本的難題:“每個為滿足某一特定大基數(shù)公理的挑戰(zhàn)而新構(gòu)造的對L 的擴(kuò)張都伴隨著一個定理，這個定理說沒有更強(qiáng)的大基數(shù)公理在這個擴(kuò)張中成立。由于不太可能存在 一個最強(qiáng)的大基數(shù)公理,這種方法似乎由其本性就不能成功地為澄

14、清集合宇宙概念而提供所需的新公 理。”田然而,這種狀況在最近得到改變。這源于武丁的一個革命性發(fā)現(xiàn):如果存在一個內(nèi)模型，它能容納 一個超緊基數(shù)，則目前已知的所有大基數(shù)性質(zhì)都能“反映”到這個模型中，也就是說，它可以容納所有已 知的大基數(shù)。武丁稱這樣的一個內(nèi)模型為“終極L”。而一旦能證明終極L確實(shí)存在，那無疑將是哥德爾 綱領(lǐng)的一個完美實(shí)現(xiàn)，連續(xù)統(tǒng)問題也將隨之而解（武丁證明，終極L的存在蘊(yùn)涵CH成立）?，F(xiàn)在，一個關(guān)鍵的問題是終極L是否存在。武丁猜想它存在，但只給出了一些間接的證據(jù),至少目 前在數(shù)學(xué)上還不能真正確定武丁的猜想成立。不過，這本質(zhì)上是一個數(shù)學(xué)問題，應(yīng)該交由數(shù)學(xué)家們?nèi)パ?究、爭論和裁定。哲學(xué)上

15、重要的是，如果數(shù)學(xué)家最終表明終極L確實(shí)存在，哥德爾綱領(lǐng)從而得以實(shí)現(xiàn)，這 是否就意味著數(shù)學(xué)實(shí)在論獲得了巨大的支持,甚至決定性的勝利？本文關(guān)心的是這個問題。將哥德爾綱領(lǐng)與數(shù)學(xué)實(shí)在論相聯(lián)系是十分自然的，畢竟哥德爾本人就是這么做的。如同前文談到 的，正是由于相信集合論是對某種客觀實(shí)在的描述，哥德爾才堅(jiān)持認(rèn)為，獨(dú)立性證明并不是對連續(xù)統(tǒng)問 題的解決,CH仍有確定的意義和真值。因此，人們一般習(xí)慣性地以為，哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)必定會有力地 支持?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)在論。事實(shí)上，有些學(xué)者甚至對我們前面提到的關(guān)于哥德爾綱領(lǐng)內(nèi)容的那種常見表述不滿 意,主張將哥德爾的實(shí)在論思想也包含其中。比如，郝兆寬就將哥德爾綱領(lǐng)總結(jié)為如下四個命題2

16、80：（1）數(shù)學(xué)既不是人類心靈的創(chuàng)造物，也不是純粹符號的游戲，而是對客觀世界的認(rèn)識和描述。（2）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是獨(dú)立的并不是對連續(xù)統(tǒng)問題的解決，而是說明ZFC遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有完全刻畫“集合”這個概念。（3）集合論學(xué)家的主要任務(wù)是不斷加深對集合這個概念的理解，并將這種更深入的理解總結(jié)為新的公理。任何獨(dú)立 性問題，包括CH,最終會以這種方式得到解決。（4）對新公理的辯護(hù)既可以是內(nèi)在的，也可以是外在的。如果對哥德爾綱領(lǐng)作這樣的理解，那么它與實(shí)在論的相互支持關(guān)系當(dāng)然是不言而喻的。但在本文 中，我們不進(jìn)行這種延伸式解讀,而是按照一般的做法，視哥德爾綱領(lǐng)為一個就其內(nèi)容本身而言相對純 粹的數(shù)學(xué)研究綱領(lǐng):尋求ZFC的

17、合理擴(kuò)張，以判定ZFC本身無法判定的命題。在這樣假設(shè)的基礎(chǔ)上，我 們探討它與實(shí)在論的關(guān)系。認(rèn)為哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)能有力支持實(shí)在論立場的一個顯然的理由是，從實(shí)在論的假設(shè)出發(fā),我們必 然地會走向哥德爾綱領(lǐng)一既然集合論描述客觀實(shí)在,CH之類命題的不可判定性當(dāng)然不意味著它們無 意義，我們應(yīng)該做的是深化對集合宇宙的理解,尋求新公理以判定它們一而根據(jù)假說推理原則,哥德 爾綱領(lǐng)的成功反過來就能支持實(shí)在論。這與科學(xué)推理中的情況類似:我們根據(jù)特定的假設(shè)預(yù)測一個期 望得到的觀察，而所預(yù)測的觀察一旦出現(xiàn)，則反過來對那些假設(shè)構(gòu)成確證。應(yīng)該說,這個理由也正是人 們心中暗暗持有的主要理由。但一個關(guān)鍵的問題是，盡管實(shí)在論可以

18、自然地導(dǎo)向哥德爾綱領(lǐng)不假，但反 實(shí)在論是否就不能與它相容呢？作為一個數(shù)學(xué)研究綱領(lǐng),哥德爾綱領(lǐng)本質(zhì)上涉及的是數(shù)學(xué)方法論問題:數(shù)學(xué)研究應(yīng)如何進(jìn)行,獨(dú) 立性結(jié)果下的集合論實(shí)踐該去往何方？這與關(guān)于數(shù)學(xué)的哲學(xué)問題一數(shù)學(xué)對象是什么，我們?nèi)绾文?認(rèn)識它們一還有一定的距離。特別地，當(dāng)代自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)的一個著名代表麥蒂甚至主張，數(shù) 學(xué)方法論問題應(yīng)與數(shù)學(xué)哲學(xué)問題徹底分離。就本文的目的而言，這是一個十分重要的觀點(diǎn)，在此值 得更詳細(xì)的介紹。麥蒂認(rèn)為，數(shù)學(xué)在方法論上是高度自治的，與實(shí)在論或反實(shí)在論的哲學(xué)立場無緊密關(guān)系。為了表明 這一點(diǎn)，麥蒂仔細(xì)考察了歷史上的數(shù)學(xué)實(shí)踐，特別是康托爾以來的集合論實(shí)踐，審視了人們在引入集合

19、 實(shí)體、為某個集合論公理或某種集合論實(shí)踐辯護(hù)時(shí)所慣常援引的理由。例如,她指出，康托爾引入導(dǎo)集 的概念是為了推廣一個關(guān)于函數(shù)的三角級數(shù)表示的定理;戴德金引入戴德金切割之類的無窮集是為了 嚴(yán)格刻畫連續(xù)統(tǒng)，從而為分析提供基礎(chǔ)；策梅洛在為他的集合論公理辯護(hù)時(shí)，除了指出它們在直觀上 的顯明性，主要訴諸它們在數(shù)學(xué)上的豐富性和前景，強(qiáng)調(diào)它們對于保存康托爾、戴德金以來的集合論 結(jié)果是充分且必要的，同時(shí)又不會產(chǎn)生羅素悖論之類的集合論悖論;20世紀(jì)70年代以來的很多集合論 學(xué)家傾向于接受投影決定性公理為一條新公理，理由是它具有種種數(shù)學(xué)上的優(yōu)點(diǎn),特別是它能為關(guān)于實(shí) 數(shù)可定義子集的經(jīng)典理論提供一個豐富、深刻的擴(kuò)張。麥

20、蒂強(qiáng)調(diào)，這些理由都不是哲學(xué)的，而是來自數(shù) 學(xué)內(nèi)部，指向明確的數(shù)學(xué)目標(biāo)，“從相對局部的問題求解,到提供基礎(chǔ),再到對有前景的數(shù)學(xué)道路的更開 放的追求沖2。另一方面，麥蒂也承認(rèn)，在數(shù)學(xué)家們的實(shí)際討論中，確實(shí)摻雜了一些哲學(xué)思辨味十足的文字，比如戴 德金曾說，數(shù)是人類心靈的自由創(chuàng)造。但考慮到數(shù)學(xué)家們對這些問題往往持有廣泛不同的意見,很難設(shè) 想最終接受集合論的他們會認(rèn)同一個關(guān)于集合之哲學(xué)本性的單一概念。更恰當(dāng)?shù)淖龇ㄊ牵瑢⑦@些文字 視為“花哨有趣的旁白或啟發(fā)式的輔助，而非該學(xué)科之證據(jù)結(jié)構(gòu)的一部分”耶3。作為歷史事實(shí)判斷，麥蒂的上述觀點(diǎn)在細(xì)節(jié)上未必完全準(zhǔn)確，因?yàn)樗婕皬?fù)雜具體的歷史和作為主 觀個人的數(shù)學(xué)家。但

21、可以確定的是，它至少揭示了一種理論詮釋上的高度可能性,即將數(shù)學(xué)方法論問題 與關(guān)于數(shù)學(xué)的哲學(xué)立場相分離。麥蒂由此提出要為數(shù)學(xué)實(shí)踐所展現(xiàn)出的方法論提供一個自然主義的刻 畫,按照這個刻畫，數(shù)學(xué)所追蹤的是某種無關(guān)乎本體論問題的數(shù)學(xué)深刻性（mathematical depth）。而就本 文的范圍而言，麥蒂的這一思想啟發(fā)我們將哥德爾綱領(lǐng)與實(shí)在論解綁：即使不假設(shè)實(shí)在論的本體論立 場，我們也可以在方法論上接受哥德爾綱領(lǐng),并完全基于數(shù)學(xué)內(nèi)部的理由為之辯護(hù)。事實(shí)上，哥德爾本人的一些論述已經(jīng)暗示了這一點(diǎn)。盡管如前文談到的，哥德爾確實(shí)從實(shí)在論的角 度為CH的有意義性做了辯護(hù)，但他同時(shí)又說，對于CH是否有意義這個問題，

22、數(shù)學(xué)對象客觀存在與否不 是決定性的。實(shí)際上，單憑一個心理事實(shí)就足以賦予CH之類的命題以意義,這個事實(shí)就是:“存在一種 足夠清晰的直覺,它能產(chǎn)生集合論的公理以及它們的擴(kuò)張的一個開放序列。”邱68在哥德爾看來，“集合論 公理遠(yuǎn)沒有形成一個自我封閉的系統(tǒng);恰恰相反，作為這些公理基礎(chǔ)的集合概念自身暗示著還可以添加 新的公理來擴(kuò)張這個系統(tǒng),這些新公理斷言我們?nèi)匀豢梢赃M(jìn)一步迭代的集合這一運(yùn)算?！鼻?0哥德爾這里的意思是，從我們關(guān)于集合的直覺（或直觀）概念看，集合論公理能夠以數(shù)學(xué)上自然的方 式被不斷擴(kuò)張，形成一個沒有終點(diǎn)的無限序列。哥德爾心目中的集合概念,就是已被人們普遍接受的集 合迭代概念:集合宇宙是從空

23、集（或一些本身不是集合的個體對象）出發(fā),不斷應(yīng)用“的集合”運(yùn)算得 到的。在這個過程中，需要使用愈來愈強(qiáng)的無窮公理斷定愈來愈大的無窮集的存在。ZFC只包含一條 無窮公理，但從上述集合迭代概念看，增加更強(qiáng)的無窮公理（即大基數(shù)公理）來擴(kuò)張ZFC,是十分自然的。 在這樣的圖景下,CH對ZFC的獨(dú)立性就絕不是問題的結(jié)束,因?yàn)槲覀兛梢云诖?合理擴(kuò)張后的ZFC能夠 最終判定CH。這就是說,不必援引實(shí)在論立場,僅從純粹數(shù)學(xué)的考慮出發(fā),從我們關(guān)于集合的直覺概念出發(fā)，一個 集合論學(xué)家也能自然地接受哥德爾綱領(lǐng),投身于尋求新公理的事業(yè)。真正關(guān)鍵的實(shí)際上不是本體論立 場，而是我們心靈中關(guān)于集合的直覺概念具有怎樣的特征這

24、樣的心理事實(shí),是我們的集合概念本身的開 放性決定了哥德爾綱領(lǐng)的自然性和合理性。即使一個人持一種反實(shí)在論的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn),比如把數(shù)學(xué)理 解成一種概念想象活動，他也可以自然地接受哥德爾綱領(lǐng)，只要他按照集合的迭代概念那樣去想象集合。當(dāng)然，與實(shí)在論者將集合的直覺概念神秘地對應(yīng)于某種心靈之外的數(shù)學(xué)實(shí)在不同，反實(shí)在論者認(rèn) 為，它是心靈的創(chuàng)造,或者更確切地說，是人類大腦的創(chuàng)造（至少對物理主義者而言是如此）。而這可能 會立即招致一種反駁，因?yàn)檎劦綌?shù)學(xué)是心靈的創(chuàng)造，人們總會聯(lián)想到布勞威爾的直覺主義，進(jìn)而想到他 對排中律和實(shí)無窮概念的拒斥。但應(yīng)該說明的是,今天的反實(shí)在論者很少在布勞威爾的意義上談?wù)摗皵?shù) 學(xué)創(chuàng)造”和“

25、數(shù)學(xué)直覺”。在當(dāng)代的更具包容性和更具自然主義精神的反實(shí)在論哲學(xué)中，排中律和實(shí)無窮 概念可以是我們的經(jīng)典數(shù)學(xué)想象的一部分，而數(shù)學(xué)直覺和創(chuàng)造也能得到一種基于當(dāng)代認(rèn)知科學(xué)研究成 果的自然化說明。不過，限于本文的篇幅和目的，這里不可能也不必詳細(xì)闡述這種反實(shí)在論數(shù)學(xué)哲學(xué)。 接下來，我們?nèi)匀痪o扣哥德爾綱領(lǐng)的直觀概念基礎(chǔ)和它引發(fā)的實(shí)踐，討論它與實(shí)在論的關(guān)系。根據(jù)前面的分析,從集合的迭代概念看，哥德爾綱領(lǐng)自有其數(shù)學(xué)上的合理性，無須借助于實(shí)在論或 柏拉圖主義。但實(shí)在論者或許會反駁說，盡管集合的迭代概念為擴(kuò)張ZFC提供了一定的動機(jī)和理由，但 它并不像實(shí)在論那樣必然要求這種擴(kuò)張。特別地，科恩等形式主義者甚至反對這種

26、擴(kuò)張,主張?jiān)赯FC中 工作，雖然他們顯然接受集合的迭代概念。這或許表示,哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)還是更有利于實(shí)在論。確實(shí)，如果一個人持反實(shí)在論的立場，他當(dāng)然可以選擇不再擴(kuò)張自己的數(shù)學(xué)想象。實(shí)際上，他甚至 可以選擇收縮已有的想象，比如在ZF中工作，或拋棄無窮公理，等等。但無論他自己喜歡在怎樣的假設(shè) 下工作，他總不能否認(rèn)別人在不同的假設(shè)下一無論擴(kuò)張還是收縮一所做工作的意義，因?yàn)檫@些工作 都能理解為是在證明一些假言命題，或者說發(fā)現(xiàn)了某個推理鏈條和邏輯關(guān)系。事實(shí)上，自力迫法誕生以 來，集合論學(xué)家們已經(jīng)逐漸習(xí)慣于在各自偏好的不同假設(shè)（如V=L、PD和各種大基數(shù)公理，甚至CH和 -CH）下工作，同時(shí)又彼此承認(rèn)對方

27、工作的意義，以至于一些人開始支持和論證一種被稱為“集合論多宇 宙觀”（multiverse view of set theory）的立場。比如，哈姆金斯（J. D. Hamkins）就認(rèn)為，集合論發(fā)展的現(xiàn) 實(shí)表明，實(shí)在論者所期望的連續(xù)統(tǒng)問題的理想解決方案已經(jīng)不可能了，當(dāng)前的集合論研究更應(yīng)該著眼于 探求各種獨(dú)立性命題在哪些集合論宇宙中是如何成立的，以及這些集合論宇宙之間的關(guān)系6。集合論的這種現(xiàn)實(shí)狀況符合反實(shí)在論的基本精神。事實(shí)上，在反實(shí)在論圖景下，擴(kuò)張ZFC與否，更 多地是個語言表述問題，因?yàn)樵陬~外假設(shè)下所做的集合論工作總可以解釋成是ZFC之中的工作，即在 ZFC中證明一些假言命題。這也讓我們再

28、次想到麥蒂的那個論點(diǎn)：隱藏在數(shù)學(xué)實(shí)踐中的客觀性是一種 無關(guān)乎抽象對象的數(shù)學(xué)深刻性。這里的“深刻性”，可以部分地理解成邏輯蘊(yùn)涵關(guān)系上的深刻性。至于 科恩等基于ZFC的形式主義者，他們以一種近乎實(shí)在論的態(tài)度特殊化地對待ZFC，視ZFC中可證的命題 為字面真理，而對擴(kuò)張ZFC則表現(xiàn)出敵意，反映了一種不徹底的形式主義立場。實(shí)際上，作為工作數(shù)學(xué) 家，這些人往往對本體論、認(rèn)識論等哲學(xué)問題不太關(guān)心，也沒有充分、融貫的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場。他們的形式 主義，通常僅僅是一種比較具體的數(shù)學(xué)工作態(tài)度的表達(dá)，比如，相比于尋找新公理判定CH，證明CH以及 其他一些命題相對于ZFC的獨(dú)立性,在他們看來更有意義。然而，針對以上的回

29、答，實(shí)在論者可以進(jìn)一步加強(qiáng)自己的反駁:與反實(shí)在論相比，實(shí)在論真正的優(yōu)勢 不在于要求ZFC的擴(kuò)張，而在于要求ZFC的唯一的擴(kuò)張（因?yàn)槟莻€實(shí)在的集合宇宙是唯一的），而哥德爾 綱領(lǐng)當(dāng)前所面臨的可能的實(shí)現(xiàn)，亦即終極L的愿景，恰恰印證了這種唯一性的要求。我們之前談到，主 張哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)能支持實(shí)在論的一個理由是基于假說推理原則，而這里的論證則為我們引出了第 二個重要理由，那就是終極L模型的特殊性。終極L可以容納所有已知的大基數(shù)，且具有良好的結(jié)構(gòu)性 質(zhì)，能夠判定所有已知的自然的獨(dú)立性問題;并且,它對通常的獨(dú)立性證明方法（即力迫法）是免疫的。 基于此,實(shí)在論者提出了一個對自身立場的辯護(hù)，比如，郝兆寬說:“

30、終極L的這種特殊性自然需要哲學(xué) 上的解釋。武丁多次強(qiáng)調(diào)，這種特殊性源自它十分接近V,那個真實(shí)的集合論宇宙。除了這種柏拉圖主 義的解釋，我們暫時(shí)看不到任何其他的哲學(xué)立場能夠做到這一點(diǎn)。叩171這里,終極L模型的特殊性可以等效地理解成相應(yīng)理論ZFC+V=終極L的特殊性。說終極 L十分接近V,相當(dāng)于說ZFC+V=終極L是對ZFC的一個近似的完備化。而上述論證的一般形式可總結(jié) 為：因?yàn)槟硞€理論具有如此這般的“好性質(zhì)”，所以它是對某種客觀實(shí)在的（近似）描述。但這樣一種論證，顯然是有問題的。因?yàn)?，“好性質(zhì)”反映的是人們的主觀理論偏好,而實(shí)在之為實(shí) 在，恰恰在于它很可能背離我們的偏好。比如，在物理學(xué)中，經(jīng)典

31、力學(xué)的確定性對我們來說是一個顯著 的“好性質(zhì)”，但對微觀事物的精細(xì)觀察表明，它與實(shí)在不符。在數(shù)學(xué)中，也有類似的例子，比如歐幾里得 幾何理論，它具有種種好性質(zhì)一直觀上的顯明性、完備性等，但自非歐幾何流行以來，恐怕很少有人會 認(rèn)為,歐氏幾何模型的這種特殊性源自它完美地接近點(diǎn)、線、面等幾何對象的客觀宇宙。并且，設(shè)若訴諸 終極L特殊性的論證有效，那么為了一般地支持實(shí)在論的數(shù)學(xué)本體論立場，我們也將完全沒必要訴諸 它，因?yàn)橄啾扔谶@個存在與否尚不確定的模型，我們有太多理論優(yōu)點(diǎn)顯著的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可資利用，如自然 數(shù)結(jié)構(gòu)、連續(xù)統(tǒng)結(jié)構(gòu)等。這些結(jié)構(gòu)是經(jīng)典數(shù)學(xué)的核心部分，被數(shù)學(xué)共同體普遍接受，不僅帶來好的理論 結(jié)果,直觀

32、上也十分自然。如果這些特征只能用“完美近似于抽象對象的客觀宇宙”來解釋，那么不必考 慮關(guān)于終極L的那些復(fù)雜深奧的數(shù)學(xué)結(jié)果，柏拉圖主義就已經(jīng)能夠得到確立。誠然，應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，在集合論實(shí)踐中,數(shù)學(xué)家們經(jīng)常利用公理的某些理論優(yōu)點(diǎn)為公理做辯護(hù)。加州學(xué) 派為投影決定性公理所做的辯護(hù)就是一個例證。而它不過是對哥德爾關(guān)于公理的外在辯護(hù)方法或“哥 德爾歸納法”的經(jīng)典論述的一個回響。哥德爾指出，即使一個新公理沒有內(nèi)在的必然性（直觀上的顯明 性,或包含在集合的概念之中），我們也可以通過歸納研究它的“成功”,對其真值作出裁定。這里的成功 指后承的豐富性，“或許存在這樣一些公理，它們的可驗(yàn)證后承是如此豐富,它們對一個領(lǐng)域

33、的闡釋是如 此清晰，它們提供的解決問題的方法是如此強(qiáng)大（甚至能最大限度地以構(gòu)造性的方式解決它們），以至于 無論它們自身是否是內(nèi)在必然的，它們都必須被接受”滬1。但是，在集合論方法論上接受這種辯護(hù)策略和方法論原則,與支持實(shí)在論的哲學(xué)立場完全是兩回 事。特別地，麥蒂在她關(guān)于集合論方法論的研究中著重指出了集合論實(shí)踐的上述事實(shí)，但她接著強(qiáng)調(diào)， 集合論學(xué)家接受的這種方法論實(shí)際上與柏拉圖主義不相容。一個理論具有數(shù)學(xué)家偏愛的某些性質(zhì)，滿 足某種數(shù)學(xué)目的，如何就能保證它為真？如果實(shí)在論者將集合論看作對某種客觀獨(dú)立的實(shí)在的描述,那 么“實(shí)在完全可以令人悲傷地拒絕合作”耶8。關(guān)于集合論方法論與實(shí)在論哲學(xué)觀點(diǎn)的沖突，