社會統(tǒng)計學(xué)-第五章-離中趨勢測量法

1、第五章 離中趨勢測量法 主要內(nèi)容：（1）變異指標(biāo)； （2）全距和四分位差； （3）平均差、標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)分； （4）絕對離勢和相對離勢；（5）偏度（及峰度） 所謂離中趨勢，是指數(shù)列中各變量值之間的差距和離散程度。離勢小，平均數(shù)的代表性高；離勢大，平均數(shù)代表性低。 例如有A、B、C、D四組學(xué)生各5人的成績?nèi)缦拢?A組：60 ，60，60，60，60 B組：58，59，60，61，62 C組：40，50，60，70，80 D組：80，80，80，80，80 數(shù)據(jù)顯示，平均數(shù)相同，離勢可能不同；平均數(shù)不同，離勢可能相同。 變異指標(biāo)如按數(shù)量關(guān)系來分有以下兩類；凡用絕對數(shù)來表達(dá)的變異指標(biāo)，統(tǒng)稱絕對離勢;凡

2、用相對數(shù)來表達(dá)的變異指標(biāo)，統(tǒng)稱相對離勢;主要有極差、平均差、四分位差、標(biāo)準(zhǔn)差等。主要有異眾比率、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)、平均差系數(shù)和一些常用的偏態(tài)系數(shù)。 變異指標(biāo)用以反映總體各單位標(biāo)志值的變動范圍或參差程度，與平均指標(biāo)相對應(yīng)，從另一個側(cè)面反映了總體的特征。 第一節(jié) 全距與四分位差1.全距(Range) R =Xmax - Xmin 例 求74，84，69，91，87，74，69這些數(shù)字的全距。 解 把數(shù)字按順序重新排列：69，69，74，74，84，87，91，顯然有 R =Xmax - Xmin91 - 6922全距（R）：最大值和最小值之差。也叫 極差。全距越大，表示變動越大。 運用上述方法計算左邊數(shù)

3、列的全距對分組資料，不能確知最大值和最小值，求全距： （1）用組值最大組的組中值減去最小組的組中值 （2）用組值最大組的上限減去最小組的下限 （3）用組值最大組的組中值減去最小組的下限；或最大組的上限減去最小組的組中值優(yōu)點：缺點：計算簡單、直觀。 （1）受極端值影響大； （2） 沒有量度中間各個單位間的差異性，數(shù)據(jù)利用率低，信息喪失嚴(yán)重； （3）受抽樣變動影響大，大樣本全距比小樣本全距大。2.四分位差(Quartile deviation) 第三四分位數(shù)和第一四分位數(shù)的半距。避免全距受極端值影響大的缺點。 求下列兩組成績的四分位差：A: 78 80 82 85 89 87 90 86 79 8

4、8 84 81B: 55 68 78 88 99 100 98 90 85 83 84 81 請大家計算一下，看能否算對第二節(jié) 平均差(Mean absolute deviation) 要測定變量值的離中趨勢，尤其是要測定各變量值相對于平均數(shù)的差異情況，一個很自然的想法就是計算各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差。平均差是離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)。（mean deviation)1.對于未分組資料 A D= 2.對于分組資料 A D=3.平均差的性質(zhì) 在受抽樣變動、極端值影響，處理不確定組距方面均同于算術(shù)平均數(shù)；不適于代數(shù)運算，其理論意義不易闡述。 例1 試分別以算術(shù)平均數(shù)為基準(zhǔn)，求85，69，69，74

5、，87，91，74這些數(shù)字的平均差。 例2 試以算術(shù)平均數(shù)為基準(zhǔn)，求下表所示數(shù)據(jù)的平均差。 計算左邊數(shù)列的平均差第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation) 各變量值對其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，均方差，又稱用S表示。 即克服平均差帶有絕對值的缺點，又保留其綜合平均的優(yōu)點。1. 對于未分組資科 求72、81、86、69、57這些數(shù)字的標(biāo)準(zhǔn)差。2. 對于分組資料 計算左邊數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體各單位標(biāo)志值的離散狀況和差異程度的最佳測度。 （1）以算術(shù)平均數(shù)為基準(zhǔn)計算的標(biāo)準(zhǔn)差比以其他任何數(shù)值為基準(zhǔn)計算的標(biāo)準(zhǔn)差要小?！白钚《朔健毙再|(zhì)各變量值對算術(shù)平均數(shù)的離差的平方

6、和，必定小于他們對任何其他數(shù)偏差的平方和。 （2）它將總體中各單位標(biāo)志值的差異全包括在內(nèi)，受抽樣變動影響小。但在受極端值影響以及處理不確定組距方面，缺點同算術(shù)平均數(shù)。 值得注意的是，在推論統(tǒng)計中我們將發(fā)現(xiàn)，方差是比標(biāo)準(zhǔn)差更有理論價值的概念。所謂方差，即標(biāo)準(zhǔn)差的平方，它直接寫成 。 也常被稱為變異數(shù)。 3. 標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)4.標(biāo)準(zhǔn)分(standard score) 以離差和標(biāo)準(zhǔn)差的比值來測定變量 與 的相對位置。使原來不能直接比較的離差標(biāo)準(zhǔn)化，可以相互比較，加、減、平均。 （1）Z是和X一一對應(yīng)的變量值； （2）Z分?jǐn)?shù)沒有單位，是一個不受原資料單位影響的相對數(shù)，所以可以用于不同單位資料的比較； （

7、3）Z分?jǐn)?shù)實際表達(dá)了變量值距總體均值有幾個標(biāo)準(zhǔn)差。 Z分?jǐn)?shù)也有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量之稱。按Z值大小編制出的正態(tài)分布表，其用途十分廣泛。 Z分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：Z分?jǐn)?shù)之和等于0Z分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均數(shù)等于0Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于1，方差也等于1第四節(jié) 相對離勢 上述各種反映離中趨勢的變異指標(biāo)，都具有和原資料相同的計算單位，稱絕對離勢。但欲比較具有不同單位的資料的參差程度，或比較單位雖相同而均值不相同的資料的參差程度，離勢的絕對指標(biāo)則很可能導(dǎo)致某些錯誤結(jié)論。所以，我們還得了解和學(xué)習(xí)相對離勢。 1. 變異系數(shù) 絕對離勢統(tǒng)計量與其算術(shù)平均數(shù)的比率，用V表示。變異系數(shù)是最具有代表性的相對離勢。全距系數(shù) 全距系數(shù)是眾數(shù)據(jù)的全距與其

8、算術(shù)平均數(shù)之比，其計算公式是平均差系數(shù) 平均差系數(shù)是眾數(shù)據(jù)的平均差與其算術(shù)平均數(shù)之比，其計算公式是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是眾數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)之比，其計算公式是 2. 異眾比率 所謂異眾比率，是指非眾數(shù)的頻數(shù)與總體單位數(shù)的比值，用V R來表示 其中： 為眾數(shù)的頻數(shù)； 是總體單位數(shù) 異眾比率能表明眾數(shù)所不能代表的那一部分變量值在總體中的比重。 例1：某項調(diào)查發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)今三口之家的家庭最多（32%），求異眾比率。某開發(fā)商根據(jù)這一報導(dǎo)，將房屋的戶型大部分都設(shè)計為適合三口之家居住的樣式和面積，你認(rèn)為如何呢？ 例2：設(shè)為測體重，得到成人組和嬰兒組各100人的兩個抽樣總體。成人組平均體重為65千克，全距為10千克；嬰兒組平均體重為4千克，全距為2.5千克。能否認(rèn)為成人組體重的離勢比嬰兒組體重的離勢大？ 例3：對一個群體測量身高和體重，平均身高為170.2厘米，身高標(biāo)準(zhǔn)差為5.30厘米；平均體重為70千克，體重標(biāo)準(zhǔn)差為4.77千克。比較身高和體重的離散程度。3. 偏態(tài)系數(shù) 我們在前面討論統(tǒng)計圖時已經(jīng)對頻數(shù)分布的正態(tài)和偏態(tài)有所認(rèn)識。我們又看到了算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)之間存在的關(guān)系：當(dāng)總體呈對稱分布時，、三者完全相等；當(dāng)總體呈不對稱的偏態(tài)分布時，它們之間存在著數(shù)量(位置)的差異。因此，偏態(tài)可由與的差來表示，即 為了使不同數(shù)列的偏態(tài)值可比，同樣可計算偏