板的變分法精品課件

1、板的變分法第1頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四第一節(jié) 變形能與最小勢能原理第二節(jié) 位移變分法 里滋方法第三節(jié) 伽遼金方法第2頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四 設(shè)彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態(tài)，發(fā)生的真實位移為u,v,w，它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條件和用位移表示的應(yīng)力邊界條件。彈性體受力后，發(fā)生變形，外力作功，外力功轉(zhuǎn)化為變形能，儲存在彈性體內(nèi)，單元體內(nèi)的變形能為第九章 變分法第一節(jié) 變形能與最小勢能原理整個彈性體內(nèi)的變形能為第3頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四 在薄板的小撓度彎曲問題中，按照計算

2、假定，只考慮下述分量，其它分量不計第4頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四得到變形能的位移表達式這里 w=w(x,y) 注意上式括號中的各項都不隨 z 而變，將上式的右邊對 z 進行積分，從t2到t2，并引入彎曲剛D，即得 式中的彎曲剛度D，在變厚度的情況下，將是x和y的函數(shù)，因為t是x和y的函數(shù)。第5頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四在等厚度的薄板中，D是常量，上式可以改寫為 式中的第二個積分可以變換成為 第6頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四其中右邊的線積分是沿薄板的邊界進行的。根據(jù)格林公式于是由上式可得第7頁，共20頁，20

3、22年，5月20日，4點42分，星期四如果薄板的全部邊界都是固支邊，則不論邊界的形狀如何，在邊界上都有 于是式 右邊成為零，左邊也就等于零。第8頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四而式 簡化為 第9頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四如果一個矩形薄板沒有自由邊，而只有固支邊和簡支邊，則在x為常量的邊界上有 在y為常量的邊界上有 于是前式的右邊，于是左邊也就等于零，而仍然得到前面的簡化式。 第10頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四 按照薄板小撓度彎曲問題中的計算假定及幾何方程，位移分量u，v可以用撓度w表示，不必取為基本未知函數(shù)(也不

4、應(yīng)取為基本未知函數(shù))，因而只有w這唯一的基本未知函數(shù)。 現(xiàn)在，把w的表達式設(shè)定為其中的為互不依賴的m個待定系數(shù) wm為滿足薄板位移邊界條件(即約束條件)的設(shè)定函數(shù)。這樣，不論Cm如何取值，上式所示的撓度w總能滿足位移邊界條件。注意，撓度w的變分只是由系數(shù)Cm的變分來實現(xiàn)；至于設(shè)定的函數(shù)wm，則僅隨坐標而變，與上述變分完全無關(guān)。 第二節(jié) 位移變分法第11頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四在瑞次法中，為了決定系數(shù)Cm，須應(yīng)用 注意，在薄板的彎曲問題中，橫向體力歸入了橫向面力，而兩者又一并歸入橫向荷載q因此有Fbz0，pzq，再注意在板面上有dSdxdy，可見上式成為 由此可以

5、得出Cm的m個線性方程，用來確定Cm，從而得出撓度w，再從而求得薄板的內(nèi)力。 第12頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四 為了計算圓形薄板，須將上列公式改用極坐標表示。為此，除了把微分面積dxdy改用rddr表示以外，還須用極坐標一章中的方法將w的各個二階導數(shù)向極坐標中變換。這樣，U將變換成為 關(guān)于等厚度薄板的形變勢能公式，將變換成為 第13頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四 wm應(yīng)表示成為r和的函數(shù)，而變分方程變換成為 在圓形薄板的軸對稱問題中，橫向荷載及撓度都只是r的函數(shù)，于是形變勢能的表達式簡化為 第14頁，共20頁，2022年，5月20日，4點

6、42分，星期四變分方程則簡化為 當圓板的全部邊界均為夾支邊時，對于外半徑為a，而內(nèi)半徑為b的圓板我們有 于是公式簡化為 第15頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四 在用瑞次法計算薄板問題時，必須把邊界條件明確區(qū)分為位移邊界條件和內(nèi)力邊界條件。 固支邊上已知撓度的條件和已知法向斜率的條件，兩者都是位移邊界條件。 自由邊上已知彎矩和已知分布剪力的條件，兩者都是內(nèi)力邊界條件。 在簡支邊上已知撓度的條件是位移邊界條件，但已知彎矩的條件則是內(nèi)力邊界條件。 應(yīng)用瑞次法時，只要求設(shè)定的撓度表達式滿足位移邊界條件，而不一定要滿足內(nèi)力邊界條件。 第16頁，共20頁，2022年，5月20日，4

7、點42分，星期四 但是，如果也能滿足一部分或全部內(nèi)力邊界條件，則往往可以提高計算成果的精度。 同時也應(yīng)指出：在設(shè)定撓度表達式時，應(yīng)當盡可能不要使它在任一邊界滿足某種實際上本存在的邊界條件。例如，不要使得固支邊上的彎矩或反力等于零，不要使得簡支邊上的法向斜率或反力等于零，也不要使得自由邊上的撓度或法向斜率等于零。如果這種條件在其一邊界上沒有被遵守，則該邊界附近的位移和內(nèi)力將有較大的誤差。第17頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四第三節(jié) 伽遼金方法 里滋方法要求位移函數(shù)滿足位移邊界條件，如果進一步要求根據(jù)位移函數(shù)求得的應(yīng)力還滿足應(yīng)力邊界條件，公式還可以簡化，這種方法稱為伽遼金方法。 現(xiàn)在，把w的表達式仍設(shè)定為其中的為互不依賴的m個待定系數(shù) 但這里wm不僅是滿足薄板位移邊界條件(即約束條件)的設(shè)定函數(shù)，位移函數(shù)求得的應(yīng)力還滿足內(nèi)力邊界條件。應(yīng)注意不要使它在任一邊界滿足某種實際上本存在的邊界條件或內(nèi)力邊界條件。第18頁，共20頁，2022年，5月20日，4點42分，星期四根據(jù)伽遼金方法的變分方程在薄板的彎曲問題中，橫向體力歸入了橫向面力，而兩者又一并歸入橫向荷載q因此有Fbz0，以位移表示應(yīng)力，并經(jīng)過化簡后得到由此可以得出Cm的m個線性方程，用來確定Cm，從而得出撓度w，