初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)第2章一元二次方程-整合提升密碼

1、解碼專訓(xùn)一：巧用一元二次方程定義及相關(guān)概念求字母或代數(shù)式的值名師點(diǎn)金：巧用一元二次方程定義及相關(guān)概念求值主要體現(xiàn)在：利用定義或項(xiàng)的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代數(shù)式的值，利用根的概念解決探究性問(wèn)題等 利用一元二次方程的定義確定字母的值或取值范圍1已知(m3)x2eq r(m2)x1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是()Am3 Bm3Cm2 Dm2且m32已知關(guān)于x的方程(m1)xm21(m2)x10.(1)m取何值時(shí)，它是一元二次方程？并寫出這個(gè)方程(2)m取何值時(shí)，它是一元一次方程？ 利用一元二次方程的項(xiàng)的概念求字母的值3若一元二次方程(2a4)x2(3a6)xa80沒有一次項(xiàng)

2、，則a的值為_4已知關(guān)于x的一元二次方程(m1)x25xm210的常數(shù)項(xiàng)為0，求m的值 利用一元二次方程的根的概念求字母或代數(shù)式的值5已知關(guān)于x的方程x2bxa0的一個(gè)根是a(a0)，則ab的值為()A1 B0 C1 D26已知關(guān)于x的一元二次方程(k4)x23xk23k40的一個(gè)根為0，求k的值7已知實(shí)數(shù)a是一元二次方程x22 015x10的根，求代數(shù)式a22 014aeq f(a21,2 015)的值 利用一元二次方程根的概念解決探究性問(wèn)題8已知m，n是方程x22x10的兩個(gè)根，是否存在實(shí)數(shù)a使(7m214ma)(3n26n7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解碼專訓(xùn)二

3、：一元二次方程的解法歸類名師點(diǎn)金：解一元二次方程時(shí)，主要考慮降次，其解法有開平方法、因式分解法、配方法和公式法等，在具體的解題過(guò)程中，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適的方法，往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果 形如(xm)2n(n0)的一元二次方程適合用開平方法求解1方程4x2250的解為()Axeq f(2,5) Bxeq f(5,2) Cxeq f(5,2) Dxeq f(2,5)2用開平方法解下列一元二次方程，其中無(wú)解的方程為()Ax255 B3x20Cx240 D(x1)203用開平方法解下列方程：(1)9x2121；(2)(x3)220. 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，用配方法求解較方便4(中

4、考蘭州)一元二次方程x28x10配方后可變形為()A(x4)217 B(x4)215C(x4)217 D(x4)2155解方程：x24x20.6已知x210 xy216y890，求eq f(x,y)的值 能化成形如(xa)(xb)0的一元二次方程適合用因式分解法求解7(中考寧夏)一元二次方程x(x2)2x的根是()A1B0C1和2D1和28解下列一元二次方程：(1)x22x0；(2)16x290；(3)4x24x1. 如果一個(gè)一元二次方程易化為一般式，則可用公式法來(lái)求它的解9用公式法解一元二次方程x2eq f(1,4)2x，方程的解應(yīng)是()Axeq f(2r(5),2) Bxeq f(2r(5

5、),2)Cxeq f(1r(5),2) Dxeq f(1r(3),2)10解下列方程：(1)x26x5；(2)x24x10. 如果在方程中出現(xiàn)一些相同的代數(shù)式，把它們用某一個(gè)字母代替后能形成一個(gè)較簡(jiǎn)單的一元二次方程，這樣的方程可用換元法來(lái)求解11若(ab)(ab2)80，則ab的值為()A4或2 B3或eq f(3,2)C2或4 D3或212解方程：(x2)23(x2)20.解碼專訓(xùn)三：特殊一元二次方程的解法技巧名師點(diǎn)金：一元二次方程的解法是本章的重點(diǎn)，也是解決其他問(wèn)題的根本，只有熟悉各種解法的特點(diǎn)，才能準(zhǔn)確地找出所給方程的最佳解法除了常見的幾種一元二次方程的解法外，對(duì)于特殊類型的方程，可采用

6、特殊的解法 構(gòu)造法1解方程：6x219x100. 換元法2解方程：(x1)(x2)(x3)(x4)48.3解方程：6x435x362x235x60. 配方法4若m，n，p滿足mn8，mnp2160，求mnp的值 特殊解法5解方程：(x2 013)(x2 014)2 0152 016.解碼專訓(xùn)四：巧用根的判別式名師點(diǎn)金：對(duì)于一元二次方程ax2bxc0(a0)，式子b24ac的值決定了一元二次方程的根的情況，利用根的判別式可以不解方程判斷方程根的情況，反過(guò)來(lái)，利用方程根的情況可以確定方程中待定系數(shù)的值或取值范圍 利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況1(中考濰坊)已知關(guān)于x的方程kx2(1k)x1

7、0，下列說(shuō)法正確的是()A當(dāng)k0時(shí)，方程無(wú)解B當(dāng)k1時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解C當(dāng)k1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解D當(dāng)k0時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解2已知方程x22xm0沒有實(shí)數(shù)根，其中m是常數(shù)，試判斷方程x22mxm(m1)0有無(wú)實(shí)數(shù)根 利用根的判別式求字母的值或取值范圍3(中考北京)已知關(guān)于x的一元二次方程x22x2k40有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(1)求k的取值范圍；(2)若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值 利用根的判別式求代數(shù)式的值4已知關(guān)于x的一元二次方程mx2nx20(m0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求eq f(mn2,（m4）2n216)的值 利用根的判別式確定三角形的形狀5已知a，b

8、，c是三角形的三邊長(zhǎng)，且關(guān)于x的一元二次方程(bc)x22(ab)xba0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷此三角形的形狀解碼專訓(xùn)五：根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用名師點(diǎn)金：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以不解方程，僅通過(guò)系數(shù)就反映出方程兩根的特征在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，必須注意b24ac0這個(gè)前提，而應(yīng)用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)a0.因此，解題時(shí)要注意分析題目中有沒有隱含條件b24ac0和a0. 利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值1設(shè)方程4x27x30的兩根為x1，x2，不解方程求下列各式的值：(1)(x13)(x23)；(2)eq f(x2,x11)eq f(x1,x21)；(3)x1

9、x2. 利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程2構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程5x22x30兩根的負(fù)倒數(shù) 利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值或取值范圍3(中考梅州)已知關(guān)于x的方程x22xa20.(1)若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若該方程的一個(gè)根為1，求a的值及該方程的另一根 巧用根與系數(shù)的關(guān)系確定字母參數(shù)的存在性4已知x1，x2是一元二次方程4kx24kxk10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)(x12x2)eq f(3,2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解碼專訓(xùn)六：常見熱點(diǎn)考題名師點(diǎn)金：本章主要考查一元二次方程的解法、根的判別式、根

10、與系數(shù)的關(guān)系、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等，考查形式多以選擇題、填空題、解答題形式出現(xiàn)，一元二次方程是中考的熱點(diǎn)之一 解方程問(wèn)題1用配方法解方程x22x10時(shí)，配方后所得的方程為()A(x1)20 B(x1)20C(x1)22 D(x1)222一元二次方程x22x30的解是()Ax11，x23 Bx11，x23Cx11，x23 Dx11，x233(中考山西)解方程：(2x1)2x(3x2)7. 根的判別式的問(wèn)題4下列關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的是()Ax210 Bx2x10Cx2x10 Dx2x105已知關(guān)于x的一元二次方程(x1)2m0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是()Ameq f(3,4) Bm0Cm

11、1 Dm2 根與系數(shù)的關(guān)系6已知方程x23eq r(2)x10，構(gòu)造個(gè)一元二次方程使它的根分別是原方程兩根的倒數(shù)，則這個(gè)一元二次方程是()Ax23eq r(2)x10 Bx23eq r(2)x10Cx23eq r(2)x10 Dx23eq r(2)x10 實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題7(中考泉州)某校為培養(yǎng)青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動(dòng)漫制作活動(dòng)，小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)圖形，如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)A，B出發(fā)，以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng)甲運(yùn)動(dòng)的路程l(cm)與時(shí)間t(s)滿足關(guān)系：leq f(1,2)t2eq f(3,2)t(t0)，乙以4 cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長(zhǎng)度為21

12、 cm.(1)甲運(yùn)動(dòng)4 s后的路程是多少？(2)甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？(3)甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？(第7題)8如圖，某海關(guān)緝私艇在C處發(fā)現(xiàn)正北方向30海里的A處有一艘可疑船只，測(cè)得它正以60海里/時(shí)的速度向正東方向航行緝私艇隨即調(diào)整方向，以75海里/時(shí)的速度航行，這樣可同時(shí)到達(dá)B處進(jìn)行攔截緝私艇從C處到達(dá)B處航行了多少小時(shí)？(第8題) 新定義問(wèn)題9(中考廈門)若x1，x2是關(guān)于x的方程x2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|x1|x2|2|k|(k是整數(shù))，則稱方程x2bxc0為“偶系二次方程”如方程x26x270，x22x80，x23xeq

13、f(27,4)0，x26x270，x24x40都是“偶系二次方程”判斷方程x2x120是否是“偶系二次方程”，并說(shuō)明理由解碼專訓(xùn)七：常見題型薈萃名師點(diǎn)金：一元二次方程題的類型非常豐富，常見的有一元二次方程的概念，一元二次方程的解法，一元二次方程根的情況，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的應(yīng)用等，只要我們掌握了不同類型題的解法特點(diǎn)，就可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了 一元二次方程的概念1方程mx23xx220是關(guān)于x的一元二次方程的條件是()Am1 Bm1Cm0 Dm為任意實(shí)數(shù) 一元二次方程的解法2選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(x1)22x(x1)0；(2)x26x60；(3)6 000(1x

14、)24 860；(4)(10 x)(50 x)800. 一元二次方程根的情況3在等腰三角形ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c.其中a5，若關(guān)于x的方程x2(b2)x(6b)0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求ABC的周長(zhǎng) 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系4設(shè)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x22mxm24m20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)，x12x22有最小值？最小值是多少？ 一元二次方程的應(yīng)用5當(dāng)x取何值時(shí)，多項(xiàng)式x23x與多項(xiàng)式5x15的值相等？6在一塊長(zhǎng)16 m，寬12 m的長(zhǎng)方形荒地上，要建造一個(gè)花園，要求花園面積是荒地面積的一半，下面分別是小華與小芳的設(shè)計(jì)方案(第6題)(1)同學(xué)們都認(rèn)為小華的方案是正確的

15、，但對(duì)小芳的方案是否符合條件有不同意見，你認(rèn)為小芳的方案符合條件嗎？若不符合，請(qǐng)用方程的方法說(shuō)明理由；(2)你還有其他的設(shè)計(jì)方案嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你所設(shè)計(jì)的草圖，將花園部分涂上陰影，并加以說(shuō)明答案解碼專訓(xùn)一1D點(diǎn)撥：由題意，得eq blc(avs4alco1(m30，,m20，)解得m2且m3.2解：(1)當(dāng)eq blc(avs4alco1(m212，,m10)時(shí)，它是一元二次方程解得m1.當(dāng)m1時(shí)，原方程可化為2x2x10.(2)當(dāng)eq blc(avs4alco1(m20，,m10)或當(dāng)m1(m2)0且m211時(shí)，它是一元一次方程解得m1或m0.故當(dāng)m1或m0時(shí)，它是一元一次方程32點(diǎn)撥：由題

16、意得eq blc(avs4alco1(3a60，,2a40.)解得a2.4解：由題意，得eq blc(avs4alco1(m210，,m10.)解得m1.5A點(diǎn)撥：關(guān)于x的方程x2bxa0的一個(gè)根是a(a0)，a2aba0.a(ab1)0.a0，ab10.ab1.6解：把x0代入(k4)x23xk23k40，得k23k40.解得k11，k24.k40，k4，k1.7解：實(shí)數(shù)a是一元二次方程x22 015x10的根，a22 015a10.a212 015a，a22 015a1.a22 014aeq f(a21,2 015)a22 014aeq f(2 015a,2 015)a22 014aaa2

17、2 015a1.8解：由題意可知，m22m10，n22n10，(7m214ma)(3n26n7)7(m22m)a3(n22n)7(7a)(37)4(7a)，由4(7a)8得a9，故存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，且a的值等于9.解碼專訓(xùn)二1C3解：(1)9x2121.(2)(x3)220. 3x11. (x3)22.x1eq f(11,3)，x2eq f(11,3). x13eq r(2)，x23eq r(2).4C5解：x24x20.x24x2.(x2)26.x2eq r(6).x12eq r(6)，x22eq r(6).6解：x210 xy216y890.(x210 x25)(y216y64)0.(

18、x5)2(y8)20.x5，y8.eq f(x,y)eq f(5,8).7D8解：(1)x22x0，x(x2)0，x10，x22.(2)16x290，(4x3)(4x3)0，x1eq f(3,4)，x2eq f(3,4).(3)4x24x1，4x24x10，(2x1)20，x1x2eq f(1,2).9B10解：(1)x26x50，a1，b6，c5，b24ac(6)241516，xeq f(6r(16),21).x15，x21.(2)x24x10，a1，b4，c1，b24ac(4)241112.xeq f(4r(12),2)eq f(42r(3),2)2eq r(3).x12eq r(3)，x

19、22eq r(3).11A12解：(x2)23(x2)20.設(shè)x2y，原方程化為y23y20，解得y11，y22.當(dāng)y1時(shí)，x21，x3，當(dāng)y2時(shí)，x22，x4.原方程的解為x13，x24.解碼專訓(xùn)三1解：將原方程兩邊同乘以6，得(6x)219(6x)600.解得6x15或6x4.x1eq f(5,2)，x2eq f(2,3).2解：原方程即(x1)(x4)(x2)(x3)48，即(x25x4)(x25x6)48.設(shè)yx25x5，則原方程變?yōu)?y1)(y1)48.解得y17，y27.當(dāng)x25x57時(shí)，解得x1eq f(5r(33),2)，x2eq f(5r(33),2)；當(dāng)x25x57時(shí)，b2

20、4ac(5)24112230，方程無(wú)實(shí)數(shù)根原方程的根為x1eq f(5r(33),2)，x2eq f(5r(33),2).3解：經(jīng)驗(yàn)證，x0不是方程的根，原方程兩邊同除以x2，得6x235x62eq f(35,x)eq f(6,x2)0，即6eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,x2)35eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)620.設(shè)yxeq f(1,x)，則x2eq f(1,x2)y22，原方程可變?yōu)?(y22)35y620.解得y1eq f(5,2)，y2eq f(10,3).當(dāng)xeq f(1,x)eq f(5,2)時(shí)，解得x12，x2eq f(1,2)

21、；當(dāng)xeq f(1,x)eq f(10,3)時(shí)，解得x33，x4eq f(1,3).經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意原方程的解為x12，x2eq f(1,2)，x33，x4eq f(1,3).4解：因?yàn)閙n8，所以mn8.將mn8代入mnp2160中，得n(n8)p2160，所以n28n16p20，即(n4)2p20.又因?yàn)?n4)20，p20，所以eq blc(avs4alco1(n40，,p0，)解得eq blc(avs4alco1(n4，,p0.)所以mn84，所以mnp4(4)00.5解：方程組eq blc(avs4alco1(x2 0132 016，,x2 0142 015)的解一定是原方程的解，

22、解得x4 029.方程組eq blc(avs4alco1(x2 0132 015，,x2 0142 016)的解也一定是原方程的解，解得x2.原方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，原方程的解為x14 029，x22.點(diǎn)撥：解本題也可采用換元法設(shè)x2 014t，則x2 013t1，原方程可化為t(t1)2 0152 016，先求出t，進(jìn)而求出x.解碼專訓(xùn)四1C點(diǎn)撥：當(dāng)k0時(shí)，方程為一元一次方程，解為x1；當(dāng)k0時(shí)，因?yàn)閎24ac(1k)24k(1)k22k1(k1)20，所以當(dāng)k1時(shí)，b24ac4，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)k1時(shí)，b24ac0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)k0時(shí)，b24ac0，方程總有兩個(gè)實(shí)

23、數(shù)解故選C.2解：x22xm0沒有實(shí)數(shù)根，(2)24(m)44m0，即m4，方程x22mxm(m1)0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根3解：(1)根據(jù)題意得b24ac44(2k4)208k0，解得k0，解得a3.a的取值范圍是a3.(2)設(shè)方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq blc(avs4alco1(1x12，,1x1a2，)解得eq blc(avs4alco1(a1，,x13.)4解：不存在理由如下：一元二次方程4kx24kxk10有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，k0，且b24ac(4k)244k(k1)16k0，k0.x1，x2是方程4kx24kxk10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x1x21，x1x2eq f(k1,4k)

24、.(2x1x2)(x12x2)2(x1x2)29x1x2eq f(k9,4k).(2x1x2)(x12x2)eq f(3,2)，eq f(k9,4k)eq f(3,2)，keq f(9,5).又k0，不存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)(x12x2)eq f(3,2)成立解碼專訓(xùn)六1D3解：(2x1)2x(3x2)7.4x24x13x22x7.x26x80.x12，x24.4D6C點(diǎn)撥：設(shè)方程x23eq r(2)x10的兩根分別為x1，x2，新方程為x2bxc0，新方程兩根分別為x1，x2，則x1x23eq r(2)，x1x21，b(x1x2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x1)

25、f(1,x2)eq f(x1x2,x1x2)3eq r(2)，cx1x2eq f(1,x1)eq f(1,x2)eq f(1,x1x2)1.7解：(1)當(dāng)t4時(shí)，leq f(1,2)t2eq f(3,2)teq f(1,2)42eq f(3,2)414.答：甲運(yùn)動(dòng)4 s后的路程是14 cm.(2)設(shè)它們運(yùn)動(dòng)了m s，根據(jù)題意，得eq f(1,2)m2eq f(3,2)m4m21.解得：m13，m214(不合題意，舍去)答：甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了3 s.(3)設(shè)它們運(yùn)動(dòng)了n s后第二次相遇，根據(jù)題意，得eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n2f(3,2)n)

26、4n213.解得n17，n218(不合題意，舍去)答：甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了7 s.8解：設(shè)緝私艇航行了x小時(shí)到達(dá)B處根據(jù)題意，得302(60 x)2(75x)2，解得x1eq f(2,3)，x2eq f(2,3)(不符合題意，舍去)答：緝私艇從C處到達(dá)B處航行了eq f(2,3)小時(shí)點(diǎn)撥：本題是根據(jù)速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系和勾股定理等有關(guān)知識(shí)列方程解答，把幾何知識(shí)、代數(shù)知識(shí)有機(jī)結(jié)合來(lái)進(jìn)行解答9解：不是，理由如下：解方程x2x120，得x14，x23.|x1|x2|432|.不是整數(shù)，方程x2x120不是“偶系二次方程”解碼專訓(xùn)七1B2解：(1)(x1)22x(x1)0.(x1