固定收益證券：第七章 利率期限結構：動態(tài)模型

1、第七章 利率期限結構：動態(tài)模型 利率期限結構：動態(tài)模型動態(tài)利率模型概述仿射利率期限結構模型HJM分析框架與無套利模型動態(tài)利率模型參數(shù)的估計與校準學習目標：在學習完本章之后，你應該能夠理解和掌握動態(tài)利率期限結構模型的基本原理仿射模型基本框架及常見的仿射模型HJM模型分析框架及常見的無套利動態(tài)利率模型LIBOR市場模型動態(tài)利率模型的參數(shù)估計與校準 動態(tài)利率模型概述動態(tài)利率模型的基本框架動態(tài)利率模型的評價標準動態(tài)利率模型的分類與演進動態(tài)利率模型的基本框架動態(tài)利率模型的建模對象瞬時利率：貨幣市場賬戶：貼現(xiàn)因子（零息票債券）瞬時遠期利率與到期收益率：動態(tài)利率模型的基本框架動態(tài)利率模型的建模隨機微分方程動

2、態(tài)利率模型的基本框架動態(tài)利率模型的建模偏微分方程法（無套利法）用兩個債券構造組合W權重W1、 W2使得動態(tài)利率模型的基本框架偏微分方程法（無套利法）組合W的隨機過程整理可得到瞬時利率的市場風險價格由于債券是任意選取的，因此對于任意債券有動態(tài)利率模型的基本框架等價鞅測度法存在一個市場風險價值使得不同世界的風險源滿足 則風險中性世界的債券價格滿足 動態(tài)利率模型的基本框架動態(tài)利率模型與靜態(tài)利率模型的比較信息含量擬合度建模對象輸入信息輸出信息動態(tài)利率模型的評價標準動態(tài)利率模型的評價利率的均值回歸特征：長期來看，利率總圍繞一個相對穩(wěn)定的長期水平上下波動利率的分布特征：現(xiàn)實中的利率分布通常具有肥尾、非對稱

3、分布等特征。利率期限結構長短端變動不一致的特征：現(xiàn)實中的長期、短期利率出現(xiàn)幅度、甚至是方向不一的變化。利率波動率的特征：利率的波動率與利率水平有關動態(tài)利率模型隱含的利率波動率曲線是否合理也是模型優(yōu)劣的判斷標準之一。動態(tài)利率模型的分類與演進均衡模型Merton模型Vasicek模型CIR模型等無套利模型（HJM框架）Ho-Lee模型Hull-White模型等 仿射利率期限結構模型引例：最簡單的動態(tài)利率模型Vasicek模型及其擴展CIR模型及其擴展仿射模型的一般形式引例：最簡單的動態(tài)利率模型Merton模型風險中性測度下零息債價格Vasicek模型及其擴展Vasicek模型風險中性測度下零息票債

4、券價格Vasicek模型及其擴展Vasicek模型債券期權價格Vasicek模型及其擴展Vasicek模型的基本性質(zhì)均值回復，回復速度長期利率收斂短期利率波動率大于長期可能出現(xiàn)負利率無法刻畫駝峰狀利率波動率曲線Vasicek模型及其擴展Hull-White 單因子模型風險中性 其中 是模型與利率期限結構的接口，能夠滿足任何利率期限結構的形狀Vasicek模型及其擴展Hull-White 單因子模型零息票債券價格特點繼承了Vasicek大部分的優(yōu)缺點，但是可以完全擬合利率期限結構Vasicek模型及其擴展Hull-White雙因子模型風險中性世界其中 是和利率期限結構模型的接口Vasicek模型

5、及其擴展Hull-White雙因子模型其中Vasicek模型及其擴展Hull-White雙因子模型零息票債券價格Vasicek模型及其擴展Hull-White雙因子模型零息票債券價格Vasicek模型及其擴展Hull-White雙因子模型零息票債券價格Vasicek模型及其擴展Hull-White雙因子模型的性質(zhì)兩個風險源對利率波動率期限結構的擬合效果增加長短期利率不再完全相關校準出模型的參數(shù)非常復雜CIR模型及其擴展CIR模型風險中性世界中其中 、 和 均為常數(shù)且大于0，且與Vasicek不同之處不會出現(xiàn)負利率波動率與利率水平成正比CIR模型及其擴展CIR模型CIR模型零息票債券的價格其中C

6、IR模型及其擴展CIR模型CIR模型零息票債券期權的價格其中CIR模型及其擴展CIR模型的特點 利率非負均值回歸較為合理的利率波動率特征難以充分擬合實際的利率期限結構難以刻畫短期利率與長期利率的不同變動仿射模型的一般形式Longstaff-Schwartz模型狀態(tài)變量所服從的隨機過程利率與波動率與狀態(tài)變量的關系仿射模型的一般形式LS模型利率與波動率的動態(tài)過程仿射模型的一般形式一般的仿射模型利率與狀態(tài)變量關系狀態(tài)變量所服從的過程其中仿射模型的一般形式仿射模型下零息票債券的價格其中參數(shù)滿足該常微分方程組的初始條件為：仿射模型仿射模型的優(yōu)勢給定瞬時利率的隨機過程，我們并不需要求解偏微分方程或公式，而

7、直接通過求解式就可以很方便地得到債券價格的解析解，極大地降低了模型分析的工作量。仿射模型的不足之處仿射模型采用線性形式，而對仿射模型定價誤差的研究表明，仿射模型定價誤差的存在可能是由于忽略了一些非線性因素。這也引發(fā)了研究人員考慮更復雜的模型形式，例如二次模型，或者考慮更多的風險源，例如跳躍模型等。 HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架無套利模型LIBOR市場模型HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架瞬時遠期利率在現(xiàn)實測度下積分可得并且HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架根據(jù)之前遠期利率與零息票債券的關系其中HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架根據(jù)伊藤引理，以及上式對t求偏可得經(jīng)過

8、測度變換則，在風險中性世界中有HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架注意到在風險中性世界中零息票債券的漂移了必須為無風險利率，因此 必須為0，則HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架將上市代回遠期利率的等式其中所以風險中性測度下HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架該式反映了它在無套利條件下，風險中性測度下瞬時遠期利率的漂移項是波動項的函數(shù)，由于這里假設風險中性測度和現(xiàn)實測度下的波動項是相同的。因此，在HJM框架下，市場風險價格的設定并不影響瞬時遠期利率和瞬時利率在風險中性測度下的漂移項，從而也就不會對資產(chǎn)定價產(chǎn)生影響無套利模型連續(xù)時間的無套利模型HJM框架下的波動率為常數(shù)的模型零息票債

9、券的價格無套利模型連續(xù)時間的無套利模型單一風險源且波動項為時間的函數(shù)此時瞬時遠期利率的過程可以寫成瞬時利率的過程可以寫成無套利模型離散時間的無套利模型Ho-Lee模型其中無套利模型離散時間的無套利模型Ho-Lee模型對應的債券無套利模型BDT離散模型利率樹債券樹圖無套利模型BDT利率樹圖如何到債券樹圖？即期利率樹圖與波動率曲線算出到期收益率樹圖波動率滿足波動率期限結構節(jié)點重合通過到期收益率轉化成債券價格無套利模型其他的無套利模型BDT的連續(xù)形式BK模型LIBOR市場模型基本原理我們可以找到某些測度，其對應的計價單位是市場中人們熟悉的資產(chǎn)，而在這些測度下，某些特定變量服從鞅過程，為某些金融資產(chǎn)定

10、價非常便利。LIBOR市場模型正是為了給市場上的不同產(chǎn)品定價將測度轉換到方便定價的各個世界中。風險中性測度：以貨幣市場賬戶作為計價單位遠期測度：以零息票債券價格作為記賬單位互換測度：以年金現(xiàn)值因子作為計價單位LIBOR市場模型LFM在LFM中遠期利率服從鞅過程其中 為 遠期測度下的標準布朗運動LIBOR市場模型LSM在互換測度下，遠期互換利率的隨機過程LIBOR市場模型LFM與LSM的異同相似性：都給出了某一測度下某種利率遵循的鞅過程，并通過假設某種測度下的波動率為時間的確定性函數(shù)得到該利率的分布，并可由此得出相應產(chǎn)品價格的解析解。其中的漂移項都是波動項的函數(shù)，波動項完全決定了整個隨機過程。不同之處：兩者研究的是不同測度下不同利率的變化過程。LFM模型考察的是遠期測度下的遠期利率過程，其結論是遠期利率在該測度下服從對數(shù)正態(tài)分布LSM模型考察的是互換測度下的遠期互換利率過程，并得出遠期互換利率在該測度下服從對數(shù)正態(tài)分布的結論LFM模型和LSM模型存在內(nèi)在的矛盾。第四節(jié)動態(tài)利率模型參數(shù)的估計與校準 動態(tài)利率模型的參數(shù)估計與校準動態(tài)利率模型的參數(shù)估計動態(tài)利率模型的參數(shù)校準動態(tài)利率模型的參數(shù)估計極大似然估計以CKLS為例首先離散化之后計算似