固定收益證券:第七章 利率期限結(jié)構(gòu):動(dòng)態(tài)模型_第1頁(yè)
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1、第七章 利率期限結(jié)構(gòu):動(dòng)態(tài)模型 利率期限結(jié)構(gòu):動(dòng)態(tài)模型動(dòng)態(tài)利率模型概述仿射利率期限結(jié)構(gòu)模型HJM分析框架與無(wú)套利模型動(dòng)態(tài)利率模型參數(shù)的估計(jì)與校準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo):在學(xué)習(xí)完本章之后,你應(yīng)該能夠理解和掌握動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型的基本原理仿射模型基本框架及常見(jiàn)的仿射模型HJM模型分析框架及常見(jiàn)的無(wú)套利動(dòng)態(tài)利率模型LIBOR市場(chǎng)模型動(dòng)態(tài)利率模型的參數(shù)估計(jì)與校準(zhǔn) 動(dòng)態(tài)利率模型概述動(dòng)態(tài)利率模型的基本框架動(dòng)態(tài)利率模型的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)利率模型的分類(lèi)與演進(jìn)動(dòng)態(tài)利率模型的基本框架動(dòng)態(tài)利率模型的建模對(duì)象瞬時(shí)利率:貨幣市場(chǎng)賬戶(hù):貼現(xiàn)因子(零息票債券)瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率與到期收益率:動(dòng)態(tài)利率模型的基本框架動(dòng)態(tài)利率模型的建模隨機(jī)微分方程動(dòng)

2、態(tài)利率模型的基本框架動(dòng)態(tài)利率模型的建模偏微分方程法(無(wú)套利法)用兩個(gè)債券構(gòu)造組合W權(quán)重W1、 W2使得動(dòng)態(tài)利率模型的基本框架偏微分方程法(無(wú)套利法)組合W的隨機(jī)過(guò)程整理可得到瞬時(shí)利率的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格由于債券是任意選取的,因此對(duì)于任意債券有動(dòng)態(tài)利率模型的基本框架等價(jià)鞅測(cè)度法存在一個(gè)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值使得不同世界的風(fēng)險(xiǎn)源滿(mǎn)足 則風(fēng)險(xiǎn)中性世界的債券價(jià)格滿(mǎn)足 動(dòng)態(tài)利率模型的基本框架動(dòng)態(tài)利率模型與靜態(tài)利率模型的比較信息含量擬合度建模對(duì)象輸入信息輸出信息動(dòng)態(tài)利率模型的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)利率模型的評(píng)價(jià)利率的均值回歸特征:長(zhǎng)期來(lái)看,利率總圍繞一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的長(zhǎng)期水平上下波動(dòng)利率的分布特征:現(xiàn)實(shí)中的利率分布通常具有肥尾、非對(duì)稱(chēng)

3、分布等特征。利率期限結(jié)構(gòu)長(zhǎng)短端變動(dòng)不一致的特征:現(xiàn)實(shí)中的長(zhǎng)期、短期利率出現(xiàn)幅度、甚至是方向不一的變化。利率波動(dòng)率的特征:利率的波動(dòng)率與利率水平有關(guān)動(dòng)態(tài)利率模型隱含的利率波動(dòng)率曲線(xiàn)是否合理也是模型優(yōu)劣的判斷標(biāo)準(zhǔn)之一。動(dòng)態(tài)利率模型的分類(lèi)與演進(jìn)均衡模型Merton模型Vasicek模型CIR模型等無(wú)套利模型(HJM框架)Ho-Lee模型Hull-White模型等 仿射利率期限結(jié)構(gòu)模型引例:最簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)利率模型Vasicek模型及其擴(kuò)展CIR模型及其擴(kuò)展仿射模型的一般形式引例:最簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)利率模型Merton模型風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下零息債價(jià)格Vasicek模型及其擴(kuò)展Vasicek模型風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下零息票債

4、券價(jià)格Vasicek模型及其擴(kuò)展Vasicek模型債券期權(quán)價(jià)格Vasicek模型及其擴(kuò)展Vasicek模型的基本性質(zhì)均值回復(fù),回復(fù)速度長(zhǎng)期利率收斂短期利率波動(dòng)率大于長(zhǎng)期可能出現(xiàn)負(fù)利率無(wú)法刻畫(huà)駝峰狀利率波動(dòng)率曲線(xiàn)Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White 單因子模型風(fēng)險(xiǎn)中性 其中 是模型與利率期限結(jié)構(gòu)的接口,能夠滿(mǎn)足任何利率期限結(jié)構(gòu)的形狀Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White 單因子模型零息票債券價(jià)格特點(diǎn)繼承了Vasicek大部分的優(yōu)缺點(diǎn),但是可以完全擬合利率期限結(jié)構(gòu)Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White雙因子模型風(fēng)險(xiǎn)中性世界其中 是和利率期限結(jié)構(gòu)模型的接口Vasicek模型

5、及其擴(kuò)展Hull-White雙因子模型其中Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White雙因子模型零息票債券價(jià)格Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White雙因子模型零息票債券價(jià)格Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White雙因子模型零息票債券價(jià)格Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White雙因子模型的性質(zhì)兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)源對(duì)利率波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)的擬合效果增加長(zhǎng)短期利率不再完全相關(guān)校準(zhǔn)出模型的參數(shù)非常復(fù)雜CIR模型及其擴(kuò)展CIR模型風(fēng)險(xiǎn)中性世界中其中 、 和 均為常數(shù)且大于0,且與Vasicek不同之處不會(huì)出現(xiàn)負(fù)利率波動(dòng)率與利率水平成正比CIR模型及其擴(kuò)展CIR模型CIR模型零息票債券的價(jià)格其中C

6、IR模型及其擴(kuò)展CIR模型CIR模型零息票債券期權(quán)的價(jià)格其中CIR模型及其擴(kuò)展CIR模型的特點(diǎn) 利率非負(fù)均值回歸較為合理的利率波動(dòng)率特征難以充分?jǐn)M合實(shí)際的利率期限結(jié)構(gòu)難以刻畫(huà)短期利率與長(zhǎng)期利率的不同變動(dòng)仿射模型的一般形式Longstaff-Schwartz模型狀態(tài)變量所服從的隨機(jī)過(guò)程利率與波動(dòng)率與狀態(tài)變量的關(guān)系仿射模型的一般形式LS模型利率與波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)過(guò)程仿射模型的一般形式一般的仿射模型利率與狀態(tài)變量關(guān)系狀態(tài)變量所服從的過(guò)程其中仿射模型的一般形式仿射模型下零息票債券的價(jià)格其中參數(shù)滿(mǎn)足該常微分方程組的初始條件為:仿射模型仿射模型的優(yōu)勢(shì)給定瞬時(shí)利率的隨機(jī)過(guò)程,我們并不需要求解偏微分方程或公式,而

7、直接通過(guò)求解式就可以很方便地得到債券價(jià)格的解析解,極大地降低了模型分析的工作量。仿射模型的不足之處仿射模型采用線(xiàn)性形式,而對(duì)仿射模型定價(jià)誤差的研究表明,仿射模型定價(jià)誤差的存在可能是由于忽略了一些非線(xiàn)性因素。這也引發(fā)了研究人員考慮更復(fù)雜的模型形式,例如二次模型,或者考慮更多的風(fēng)險(xiǎn)源,例如跳躍模型等。 HJM分析框架與無(wú)套利模型HJM分析框架無(wú)套利模型LIBOR市場(chǎng)模型HJM分析框架與無(wú)套利模型HJM分析框架瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率在現(xiàn)實(shí)測(cè)度下積分可得并且HJM分析框架與無(wú)套利模型HJM分析框架根據(jù)之前遠(yuǎn)期利率與零息票債券的關(guān)系其中HJM分析框架與無(wú)套利模型HJM分析框架根據(jù)伊藤引理,以及上式對(duì)t求偏可得經(jīng)過(guò)

8、測(cè)度變換則,在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中有HJM分析框架與無(wú)套利模型HJM分析框架注意到在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中零息票債券的漂移了必須為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,因此 必須為0,則HJM分析框架與無(wú)套利模型HJM分析框架將上市代回遠(yuǎn)期利率的等式其中所以風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下HJM分析框架與無(wú)套利模型HJM分析框架該式反映了它在無(wú)套利條件下,風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的漂移項(xiàng)是波動(dòng)項(xiàng)的函數(shù),由于這里假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度和現(xiàn)實(shí)測(cè)度下的波動(dòng)項(xiàng)是相同的。因此,在HJM框架下,市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的設(shè)定并不影響瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率和瞬時(shí)利率在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的漂移項(xiàng),從而也就不會(huì)對(duì)資產(chǎn)定價(jià)產(chǎn)生影響無(wú)套利模型連續(xù)時(shí)間的無(wú)套利模型HJM框架下的波動(dòng)率為常數(shù)的模型零息票債

9、券的價(jià)格無(wú)套利模型連續(xù)時(shí)間的無(wú)套利模型單一風(fēng)險(xiǎn)源且波動(dòng)項(xiàng)為時(shí)間的函數(shù)此時(shí)瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的過(guò)程可以寫(xiě)成瞬時(shí)利率的過(guò)程可以寫(xiě)成無(wú)套利模型離散時(shí)間的無(wú)套利模型Ho-Lee模型其中無(wú)套利模型離散時(shí)間的無(wú)套利模型Ho-Lee模型對(duì)應(yīng)的債券無(wú)套利模型BDT離散模型利率樹(shù)債券樹(shù)圖無(wú)套利模型BDT利率樹(shù)圖如何到債券樹(shù)圖?即期利率樹(shù)圖與波動(dòng)率曲線(xiàn)算出到期收益率樹(shù)圖波動(dòng)率滿(mǎn)足波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)重合通過(guò)到期收益率轉(zhuǎn)化成債券價(jià)格無(wú)套利模型其他的無(wú)套利模型BDT的連續(xù)形式BK模型LIBOR市場(chǎng)模型基本原理我們可以找到某些測(cè)度,其對(duì)應(yīng)的計(jì)價(jià)單位是市場(chǎng)中人們熟悉的資產(chǎn),而在這些測(cè)度下,某些特定變量服從鞅過(guò)程,為某些金融資產(chǎn)定

10、價(jià)非常便利。LIBOR市場(chǎng)模型正是為了給市場(chǎng)上的不同產(chǎn)品定價(jià)將測(cè)度轉(zhuǎn)換到方便定價(jià)的各個(gè)世界中。風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度:以貨幣市場(chǎng)賬戶(hù)作為計(jì)價(jià)單位遠(yuǎn)期測(cè)度:以零息票債券價(jià)格作為記賬單位互換測(cè)度:以年金現(xiàn)值因子作為計(jì)價(jià)單位LIBOR市場(chǎng)模型LFM在LFM中遠(yuǎn)期利率服從鞅過(guò)程其中 為 遠(yuǎn)期測(cè)度下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)LIBOR市場(chǎng)模型LSM在互換測(cè)度下,遠(yuǎn)期互換利率的隨機(jī)過(guò)程LIBOR市場(chǎng)模型LFM與LSM的異同相似性:都給出了某一測(cè)度下某種利率遵循的鞅過(guò)程,并通過(guò)假設(shè)某種測(cè)度下的波動(dòng)率為時(shí)間的確定性函數(shù)得到該利率的分布,并可由此得出相應(yīng)產(chǎn)品價(jià)格的解析解。其中的漂移項(xiàng)都是波動(dòng)項(xiàng)的函數(shù),波動(dòng)項(xiàng)完全決定了整個(gè)隨機(jī)過(guò)程。不同之處:兩者研究的是不同測(cè)度下不同利率的變化過(guò)程。LFM模型考察的是遠(yuǎn)期測(cè)度下的遠(yuǎn)期利率過(guò)程,其結(jié)論是遠(yuǎn)期利率在該測(cè)度下服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布LSM模型考察的是互換測(cè)度下的遠(yuǎn)期互換利率過(guò)程,并得出遠(yuǎn)期互換利率在該測(cè)度下服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論LFM模型和LSM模型存在內(nèi)在的矛盾。第四節(jié)動(dòng)態(tài)利率模型參數(shù)的估計(jì)與校準(zhǔn) 動(dòng)態(tài)利率模型的參數(shù)估計(jì)與校準(zhǔn)動(dòng)態(tài)利率模型的參數(shù)估計(jì)動(dòng)態(tài)利率模型的參數(shù)校準(zhǔn)動(dòng)態(tài)利率模型的參數(shù)估計(jì)極大似然估計(jì)以CKLS為例首先離散化之后計(jì)算似

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