直線與平面的位置關(guān)系知識點歸納

1、）直線與平面的位置關(guān)系第二章 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 平面含義：平面是無限延展的 12 平面的畫法及表示 0 且橫邊畫成鄰平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形， 銳角畫成 45，（ 1） 倍長（如圖）邊的 2 等，也可以用表示平面的、平面2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面（等。、平面 ABCD平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面 AC 三個公理： 3：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)）公理 1（ 1 符號表示為 C DL A A L = LB BA L A B 1 作用：判斷直線是否在平面內(nèi)公理 2

2、：過不在一條直線上的三點，有且只 有一個平面。 （ 2）公理 BA C ， = 有且只有一個平面符號表示為：A、 B、C三點不共線 。使 A、B、 C 公理 2作用：確定一個平面的依據(jù)。 ：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么 它們有且只有一條過該點的公共）公理3（ 3 直線。 LP = =L，且符號表示為： P 3 作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)公理 PL 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 2.1.2空間的兩條直線有如下三種關(guān)系： 1 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點； 共面直線 平行直線：同一平面 內(nèi)，沒有公共點； 異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。 2 公理 4：平

3、行于同一條直線的兩條直線互相平行。 、是三條直線 b、c 符號表示為：設(shè) ab a c=a bc 平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。4 強調(diào)：公理實質(zhì)上是說 4 作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。公理 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個 角相等或互補 3注意點： 4O、b的相互位置來確定，與的選擇無關(guān)，為簡便，點Oa a 與 b 所成的角的大小只由 一般取在兩直線中的一條上； ）（0 ，； 兩條異面直線所成的角 2 當(dāng)兩條異面直線所成的角 是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作；a b 兩條直線互相垂直， 有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中， 通常把

4、兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。 已知兩條異面直）bbaa我們把 b, a, 所成的銳角（或直角）叫作直線a ， b，經(jīng)過空間任一點 O與線 90 b所成的角。（注意：異面直線所成的角不大于） 。做異面直線 a 與 2.1.4 空間中直線與平面、平面 與平面之間的位置關(guān)系 2.1.3 1 、直線與平面有三種位置關(guān)系： 有無數(shù)個公共點 1）直線在平面內(nèi) （ 有且只有一個公 共點 2）直線與平面相交（ 沒有公共點）直線在平面平行 （ 3 指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用 a 來表示直線與平面平行的判定 . 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)、直線與平

5、面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與 1 此 平面平行。 簡記為：線線平行，則線面平行。 符號表示： a = ab ab平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理： 一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行， 則這兩個平面平行符號表示：a b a b = Pa b2、判斷兩平面平行的方法有三種：1）用定義；2）判定定理；3）垂直于同一條直線的兩個平面平行 2.2.4 直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：）a b a 作用：利用該定理可解決直線

6、間的平行問題。2 、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。 符號表示： = aa b = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1 直線與平面垂直的判定1、定義如果直線 L 與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直， 我們就說直線 L 與平面互相垂直， 記作 L， 直線 L 叫做平面的垂線，平面叫做直線 L 的垂面。如圖，直線與平面垂直時 , 它們唯一公共 點 P 叫做垂足。Lp2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直注意點： a） 定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b） 定理體現(xiàn)了“直線與平面垂

7、直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2 平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A梭 l B2、二面角的記法：二面角 -l- 或 -AB- 3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直） 2.3.4 直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì) 1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2 性質(zhì)定理： 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直 本章知識結(jié)構(gòu)框圖平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4）空間直線、平面的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系）. 平行

8、BA 相交 . 以上三基礎(chǔ)練習(xí) 一 選擇題.ab ab . 的位置關(guān)系是、 （都和平面 ）平行,1 則直線若直線、 .者都有可能 DC 異面ab. 【解析】可以畫出直線的三種位置關(guān)系的圖形、 【答案】 D. 給出下列結(jié)論 : 2 l l aaa;在平面直線平行于平面 ,內(nèi)的無數(shù)條直線 ,則外則 ;若直線若直線 bbaabba. 其中結(jié)論正確則 ,就平行于平面 ?;內(nèi)的無數(shù)條直線若直線 , , 則直線 ?, . ）的個數(shù)為 （A .1 B. 2C. 3D. 4l 錯誤 ; 內(nèi),【解析】所以直線還可能在平面a錯誤; 相交 ,直線所以還可能與平面 a錯誤 ; 內(nèi)直線 ,還可能在平面所以 ba. ,與

9、直線所以平行的直線都與直線正確平面平行 內(nèi)【答案】 A.P-ABC . ）的六條棱所在的直線中 ,異面直線共有 3在三棱錐如圖所示 ,（.2對 BA1對. 4 對D C3對APBCCPABBPAC,對. 分別為 ,與 ,與與 3【解析】根據(jù)異面直線的定義可知共【答案】）4 過一點與已知直線垂直的直線有 （ ）. 兩條 一條 A B . 無法確定 無數(shù)條 C D . 包括相交垂直 和異面垂直【解析】過一點與已知直線垂直的直線有無數(shù)條 ,【答案】 C. 在兩個平面內(nèi)分別取一條直線 ,若這兩條直線互相平行 , 則這兩個平面的公共點個數(shù)5 . ）（. . 無限個有限個 AB. 沒有或無限個 CD 沒有

10、 . 因此這兩個平面沒有公共點或有無 限個公共點【解析】兩平面相交或者平行 ,【答案】 D. . ,則這兩個平面 （6）一個平面內(nèi)不共線的三點到另一個平面的距離相等且不為零. 相交BA 平行. 平行或相交 D 平行或重合 C. 則兩平面相交 ;若三點在平面的異側(cè) ,【解析】若三點 在平面的同側(cè)則兩平面平行【答案】 D. . （7）下列說法中 ,正確的個數(shù)是 . 平行于同一平面的兩條直線平行 aba. ,那么直線直 線平面平行于平面內(nèi)的一條直線 . 相交相交 ,若兩平行直線中的一條與平面那么另一條也與平面 aa. 在平面與平面 , 內(nèi)的無數(shù)條直線相交那么直線內(nèi)直線. . . 32B0A1DC.

11、正確【解析】只有 ）【答案】 B.ab 是一個平面 , 給出下列三個命題 ,: 是兩條直線 ,8abba; ?如果 ,那么abab;如果 ,那么abab. 如果,那么 ,其中真命題有 （）A.0 個 B.1 個 C.2 個 D.3 個a 不正確 ;平行于同一個平面的兩條直線不一定平行故中,有可能在平面故內(nèi)【解析】 ,b . A 綜上可知內(nèi) ,故 ,不正確 ;不正確中 ,選有可能在平面【答案】 A. a,下列四個命題中 ?:9平面 ,直線滿足a a a內(nèi)的任何一條直線都不相交與;與內(nèi)的無數(shù)條直線平行內(nèi)的所有直線平行;與a . 與無公共點 . ）其中正確命題的個數(shù)是 （. . . .412CADB

12、3 aa . 其他均正確錯與 ,【解析】因為內(nèi)的直線平行或異面,直線 ?由此可知 ,所以【答案】 C.ABCDABCDAC=EAD=FBD=GBC、,、四點不共面 ,且平面 ,平面 , ,10 已知=HEFGH . 則四邊形是 （）,.矩形 BA 平行四邊形 . 正方形 菱形 DC【答案】 A）. a . 的取值范圍是與平面 （所成的角為 ）,11 則若平面外的直線 D. 0, 0,）C. （A. （0,） 0B. a =a =a的取值范圍是 ,0,）,斜交時 0;當(dāng) ,時,綜上的取值范圍是 【解析】 當(dāng);時 ,（和. ,0【答案】 D.PABCPAPBP兩C兩垂直 ,則下列命題、 :、12為

13、 所在平面外的一點 ,且 PABCPBACPCABABBC. ; . 其中正確的個數(shù)是 （）A.0 B.1 C.2D.3PAPBPAPCPAPB,C平面 , 【解析】 ,PABC . ,同理可證得 ,即正確正確【答案】 D. . ）,在地面上總有這樣的直線 , 它與直尺所在的直線 （13 無論怎么樣放置室內(nèi)有一根直尺,. . . 垂直 A 異面 DCB平行相交 D【答案】. . 則（14若平面 ）、互相垂直 ,. 中的任意一條直線都垂直于A. B 中有且只有一條直線垂直于 . C 平行于的直線垂直于 . D 內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于D【答案】 ）.ABCD-ABCDAAB的D距離為則點到截面

14、 15的正方形在長方體 ,高為 4,中,底面是邊長為 21111111 . ）（A.B. C. D.A-ABD= = hh=. 的體積變換 :解得 ,則 62【解析】 利用三棱錐 ,4111【答案】 C.PABCPAABCPA=ABCBC=5,A,底B=邊 ,8,16 在點是等腰三角形 6 所在平面外一點 ,中平面 PBC的距離為 （則 ）到 A.4 B.5C.3 D.2ADBCDPDPDBCPD的PB距C離 ,易證的長即為作【解析】 ,于故,連接到 ,AD=PD= .44 ,易求得【答案】A.mn 表示三個不同的平面 ,給出下列三個命題表示兩條不同的直線,:17,已知 ,mnnmn. .)其

15、中推理正確的個數(shù)為 ;(2)?(;(3)(1)?. 3D C.2 A.0 B.1mnnnmn,即命題 (3)2)不正確 ;即命題 (1)正確 ;若則若則或 ?即命題 ,若則【解析】 (,. 故選 C. 正確【答案】 C. lABCCABA18. =l Bl=DC ,如圖平面平面 ,則平面 , ),與平面 ,的交線是 ,(,?AB AC B. 直線直線 A. BCCD直線直線 D.C. . lDl D 【解析】平面 ,?,平面 ) )DABABABCDABC,平面 , ?平面 DABC. 在平面的交線上與平面 CABCC C ABC的交 線上 ,且平面在平面 , 平面與平面 ,ABC=CD. 平

16、面平面【答案】 C填空題1.ABCDEFABCDEF=AD=BC=A所D成BC,又則、 6分別是,、與的中點 ,且85在空間四邊形 ,中,. 角 的大小為FGEGACG中點 ,連接【解析】取 ,EF=FG=AD=FGADEFGEGBCE G5=又BC知=,34,在中 , .ADBCEGF= 與 90 ,所成角為 90 90 【答案】 .DBCACBDBDBDABCD.ABC分D-別A是正方形中 ,2 和 如圖 ,在正方體的對角線和 1111111111DBC ; (1) 的兩邊與的兩邊分別對應(yīng)平行且方向相同.DBC的兩邊與 2)的兩邊分別對應(yīng)平行且方向相反 (CBDDBCBCCBDB的D兩B邊

17、分別對應(yīng)的兩邊與所以并且方向相同 1【解析】 (), , 1111111 . 平行且方向相同 )DBBDDABCDBCB的D兩A邊分別對應(yīng)平行且所以 ,的兩邊與 ,(2)并且方向相反 ,1111111 . 方向相反 DBCBDA(1)(2)【答案】 111111.abab. 與?3 的位置關(guān)系是若 ,?則,abab. 即 ,且與【解析】可能異面 ,也可能存在平面 ?,使仍可以在同一平面內(nèi) ?,【答案】平行、相交 或異面.ABCD-ABCDEFBCCDEFB的BD位D置關(guān)系 ,中, 的中點、 則分別是棱與平面 4、在正方體 11111111 . 是OB.OFBOD的中點 ,【解析】如圖 ,取,連

18、接 11CBEBOFBC,1111BO.EFBEOFEBOF,四邊形為 平行四邊形 DDDBOBBEFBBD,?平面平面 1111D.DEFBB 平面 11 【答案】平行 ABC . ABC則這兩 ,內(nèi)和 ,分別在平面和平面 5 若對應(yīng)頂點的連線共點平面平面, .個三角形ABAB 則共面與 ,【解析】由于對應(yīng)頂點的連線共點ABAB ,由面與面平行的性質(zhì)知 .BCBCACAC ,故兩個三角形相似同理 , 【答案】相似 )）.條 ;平行 6 垂面有過平面外一點作該平面的垂線有個;平行線有條 ;. 個平面有 一無數(shù)無數(shù) 【答案】 一 .AHHEFHEEFAE,AF 連接 ,且則圖中直角三角形的個數(shù)

19、7已知、 Rt,所在的平面. 是AHEAHFHEFEFHEEFAHE,F平A面EH ,為直角三角形 ,又因為 ,【解析】易知 ,所以 EFAEAEF. 圖中直角三角形個數(shù)為也是直角三角形 4 所以綜上所述即 , ,【答案】 4BABCD-A.BCDCDC所D成的角為與平面在正方體中 , 直線 8111111CDCDBCDBCBCB所CO成B,根據(jù)直線 ,可得直線【解析】連接與平面交于點平面111111 CD=DBCODCOCDC=OD所C成OD的C因此直線與平面可得30 , 在的角為 ,Rt 中根據(jù) 2111111130 角為 【答案】 30 ）. 正四棱錐 （ 頂點在底面的射影是底面正方形的

20、中心）的體積為 12,底面對角線的長為 29,求側(cè) . 面與底面所成的二面角 =. ,所以【解析】易求得底面邊長為2,高為 3,tan60.ABCD-ABCDAB=EADFCD.EF,若AB,在C 正方體如圖 ,點則在中 ,上 2,點為平面的中點 10 11111 EF線段的長度等于ACCEFEFAB可知平面 , ,由【解析】 1=.EF=AC= 所以 2 強化練習(xí) 選擇題一）下列命題中，正確的有 （ 1 如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這 個平面垂直 垂直P，有且僅有一個平面與 l過直線 l 外一點 如果三條共點直線兩兩垂直， 那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面

21、垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三 邊 的平面內(nèi)垂直于 a垂直于直線過點 Aa 的所有直線都在過點 AB3個A2個個 5DC 4 個 C 答案 正確，中當(dāng)這無數(shù)條直線都平行時，結(jié)論不成立解析 ） ，平面 2設(shè)直線 l、m、，下列條件能得出的是 （ m m?，且 l，?Al， ，且?l m，Bl? m m Cl ， m，且 l Dl m，且 l， mC 答案 ，其中可舉反例如圖，可舉反例，如圖排除法， 解析 A（1）B（2） l ，都平行于與 maC.（3）D 可舉反例，如圖，故選 ）與 1，則 BCD ABC 中， AB平面 BBDD 所成角的正弦值為 （116 A.352 B.515 C.5

22、10 D.5D答案 D 中，中點 BDO ，在長方體 ABCD ABC 解析 取 111111，CD，OBCABB21111111DBBD，C又COBB，O平面 11111所成的角， DC CBO 為直線 B 與平面 BBD 111122CC， 5BCO Rt 在 BOC 中， C， 2BC 111110. sinOBC CN， CNC 中， CCN 60， CC1，在 Rt 11122. CCM 45， CC 1， CM 在 RtCMC 中， 1112133222 ， OCNM ， 2 22213 2OOC 中，C 在，1 Rt C 11 221.三棱柱高為 2上有兩個動 BD 1，線段 C

23、如圖，正方體 ABCD ABD 的棱長為 6（09寧夏 海南文 ）1111112） ，則下列結(jié)論中錯誤的是 （ 點 E，F(xiàn)，且 EF2 BEACA ABCD EF平面 B BEF 的體積為定值 C 三棱錐 A 的面積與 BEF 的面積相等 D AEF5APAABCDEF 的底面是正六邊形， P平面 ABC ，如圖，已知六棱錐四川文 4（09）P（ ） 2AB ，則下列結(jié)論正確的是 ）ADPB A PBCAB 平面 B平面 P PAEC直線 BC平面 所成的角為 45 D直線 PD 與 平面 ABC D 答案 ，AB 得 PA 2A解析 設(shè) AB 長為 1，由 P 2 ，又 ABCDEF 是正六

24、邊形，所以 AD 長 也為 2 ，所以 PAAD 又 PA平面 ABC P 所以 AD 為直角三角形 ， PDA 45， PAAD D.ABC 所成的角為 45 ，故選 PD與平面 BCC ， 60BAC 中，ACB 90， ACC 5（09湖 北文）如圖，在三棱柱 ABC 11111）45，側(cè)棱 CC 的長為 1，則該三棱柱的高等于 （ 121 B. A.2233 D.C. 32A 答案 ，底面 ABC 于 O 解析 作 CO1. ，連 CMCB 作 OM于 M1.CNAC 于 N，連作 ON 1BC，易知 ON ACOM ，為矩形，又 ACB RtONCMOCMN ） ）D答案 B， AC

25、 BABCDABCD ABCD 得，BB 平面由正方體 解析 111111 ，?面BDDBBDD BD，AC面 B，BE又AC1111 正確 BE，故 AAC BD ，得， ABCDBD 由正方體ABCD 111111ABCD ，ABCD 平面， BD ?平面 BD?11 ABCD ， BD 平面 11 B平面 ABCD 正確， EF 2， d 的距離 A 到平面 BDDB 1121 VSd BEFBEFA 3111. BBDd S111232 ）正確的體積為定值，故 C三棱錐 A BEF2 、 F是線段 BD 上兩個動點，且 EF，因 E112 EF 的距離不相等移動時， FA 到 EF 的

26、距離與 B 到在 E， D錯 AEF 的面積與 BEF 的面積不相等， 故 ABCAB BCAA，ABC7如 圖所示，在三棱柱 ABC ABC 中，AA 底面， 11111）和 BC 所成的角是 （ 分別是棱 90，點 E、FAB 、BB 的中點，則直線 EF1160 B A45120D 90CB答案 GHC ，易知 連結(jié) ABAB EF，連結(jié) B 交BC 于點 G，取 ACH ，則的中點 解析 1111. EF AB 12212，故 BGHB a，a GHC 設(shè) ABBC AAa ，在中，易知 GHAB a， 112222. 兩直線所成的角為 HGB 60BC 作方法外還可以在平面 BCCB

27、 內(nèi)過 FFDGH 點評除可用上述將 EF平移到 111EFD 內(nèi)求解等如果再補上一個三棱柱成正方體則結(jié)論就更明顯了， C 交 B 于 D 考慮在 11 的位置關(guān)系為BDACADBCCDABABCD 8 在空間四邊形中，若，則對角線與）（相交但不垂直 A 垂直但不相交 B 不相交也不垂直 C 無法判斷 DB答案 ，于 O解析 作AO平面 BCD M，DC于N，連 DO并延長交 BC于連 BO 并延長交，連 CO 并延長交 BD 于 H ADBCAO，BC 為 BDC 的垂心， CH BDO BC平面 AOD ， BCDM ，同理 BN CD， BD， BD平面 AOC，又 AO.ACBD 的正

28、 BDADC ABCD 中，截面 ABD 與底面 ABCD 所成二面角 A9 正方體 AB 111111)( 切值等于 23B. A.233D. C.2C答案 ，平面 AAOAC，BDAA ，BDO 設(shè)解析 AC、BD 交于 O，連 A， BD111 AO ，BD為二面角的平面角 AOA 1AA 1C.，選 AOA 2tan1AOBC ，6于C，若AB BC l中，A，AB平面于 B，平面 10 在二面角 ）（l3，則二面角的平面角的大小為6030 A B ）C 30或 150 D 60或 120答案 D解析 如圖， AB ， AB l， BC ， BC l， l平面 ABC，BC3AB 6

29、，（ 11（2010 重慶文，D， l設(shè)平面 ABC 的平面角或補角， l則 ADB 為二面角 ADB 60 BAC 30， .120二面角大小為 60或 ） 到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點9） 3 個 B 個 1 恰有 A 只有 D有無窮多個 C恰有 4 個答案角直線上所 45 過兩條互相垂直的異面直線的公垂線段中點且與兩條直線都成解析 D.有點到兩條直線的距離都相等，故選的中點，則為CD C，E 12ABCD 是正方形，以 BD 為棱把它折成直二面角 ABD ）AED 的大小為 ( B30 A 4590 D60 CD答案 BDCFF 解析設(shè)BD 中點為，則 AF BD，BCD ， A

30、F 面 AFC 90 BD 的中點，、 E、 F分別為 CD BC， EF CDEF ， BCCD ， D.故選 .，平面，又 AFCDCDAEFCDAE ），有下列四個命題：，m 13已知 l? ；?lm ?lm; . m?； l m l ? )其中正確的命題是 （B與 A與DC與 D 答案 解析 m ?mB，ml，正確否定 A 、?l?又 m ?l mlD. ，故選，正確否定C? l?SO 上，的球面上，球心O在 AB 14已知三棱錐S ABC 的各頂點都在一個半徑為r)r，則球的體積與三棱錐體積之比是C(底面 ABC， AC 2B2 AD 4 3D 答案 2，三棱錐的底面易知為等r 所在

31、大圓面積為 解析此三棱錐的高為球的半徑，ABC43r 3V1 球 22，球體積 4， rr 腰直角三角形 腰長為 2，所以三棱錐底面面積為 （2） r12V 3錐 r3D.，故選與三棱錐體積之比為 4 m B. ?l m l m C. nm ? n ? D. 是銳角三角形，那么必有 BCDAD ，且 BDAD 在空間四邊形 ABCD 中， BC ，15）（ 平面 ADCABD A 平面 ） ）B 平面 ABD 平面 ABCC平面 ADC 平面 BCDD平面 ABC 平面 BCD答案 C16已知 m、 l 是直線，、是平面，給出下列命題：若 l 垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則l ；若 l 平行于，則

32、 l 平行于內(nèi)的所有直線；若 m?， l?，且 l m，則；若 l?，且 l ，則；若 m?， l?，且，則 m l.其中正確命題的序號是 （ ）A BD CC答案 由直線與平面垂直的判定定理知，正確； 解析 ml 與可能平行，也可能是異面直線，故不正確；對于，若l ， m?，則 、有可能平行或相交，也有可能垂直，故是錯誤的；對于，滿足題設(shè)的平面 由面面垂直的判定定 理知，是正確的； . 與 l 可能平行，也可能是異面直線，故是錯誤的故正確的命題是、 對于， m 表示平面， 17若 a、 b 表示直線， ； a， ab，則 b ，則， a bb； a b，則 b； a a， . a?，則 b，

33、 a b） 上述命題中正確的是 （ B AD CC答案或 bb 解析 或 ? b b 、正確，或 b?C.選 ） 、 ，下面四個命題中，正確的是 （、，三個平面、 、已知三條直線 18mnl A. ? ）答案 D解析 對于 A ，與可以平行，也可以相交；對于B，l 與可以垂直，也可以斜交或平行；對于 C，m 與n 可以平行，可以相交，也可以異面19若兩直線 a 與 b 異面，則過 a 且與 b 垂直的平面 （ ） A有且只有一個B可能存在也可能不存在C有無數(shù)多個D一定不存在答案 B解析 當(dāng) ab時，有且只有一個當(dāng) a與 b 不垂直時，不存在20（08安徽）已知 m、n 是兩條不同直線， 、是三

34、個不同平面 下列命題中正確的是 （ ） A若 m， n，則 m nB 若，則C若 m ， m，則D若 m， n，則 m n答案 D21如圖，正方體 ABCD ABCD 中，點 P 在側(cè)面 BCCB 及其邊界上運動，并且總 111111是保持 AP BD ，則動點 P 的軌跡是 （ ）1B線段 CA1 線段 BCB1 中點連成的線段 BB 中點與 CCC 11C 中點與 B 中點連成的線段 BCD11 ）n?C m?，則 C若 mn，n， ，則， D若 m nm， 答案. 得，由 對于 Cmn，n m 解析 C. 又 m?，可得 . 應(yīng)選 ）（，則 ABC 的形狀為 ABCABD 24 如圖已知

35、平面 CBD 平面，且 DA 平面銳角三角形 A 直角三角形 B 鈍角三角形 C 不能確定 DB答案 ，DAABCDABCAEDBCAEDBAEA解析過作， 則平面， ，又平面 ）BC， BC平面 DAB ，又 DA AE A ， AB， ABC 為直角三角形 BC BAF 在棱 BCD 的棱長為 2，動點 E， （2010 25北京理， 8）如圖，正方體 ABCD A 111111，大于零 ）（x，y， zy1，AEx，DQ，DPz、上，動點 P，Q 分別在棱 ADCD 上，若 EF1）的體積則四面體PEFQ（x，y，z都有關(guān) A與 有關(guān)，與 y，z無關(guān)與 Bx 有關(guān)，與 x，z無關(guān) C與

36、y 無關(guān) x，yD與 z 有關(guān)，與 D答案的風(fēng)格，即在變化中尋找不變，從圖中8,14,20 這道題目延續(xù)了北京高考近年 解析 1）z變化面積的 ABCD ，而當(dāng) P點變化（即可以分析出， EFQ的面積永遠(yuǎn)不變，為矩形114 CD 的距離是變化的，因此會導(dǎo)致四面體體積的變化時，它到平面AB 11邊上 4，P是 AB 30，AB 8， B， PC平面 ABC ，PC90ABC26在中， C）PP 的最小值為 （ 動點，則 7 B. A 219C 27 D. 答案ABPCP 解析 作 AB ，垂足為，則易知 PP，PP為所求最小值 得， AB 8B30中，由在 RtABC ，3CP 2 ）， PC平

37、面 ABC 又 ， P C PC 27.， PP PC427已知直線 l平面，直線 m?平面，有下列四個命題： ?l m； ?l m；l m?；lm? .其中正確的兩個命題是 （ ）A BD CD答案 ） 山東文， 4）在空間，下列命題正確的是 （28（2010 A平行直線的平行投影重合平行于同一直線的兩個平面平行 B 垂直于同一平面的兩個平面平行 C 垂直于同一平面的兩條 直線平行 DD答案 內(nèi)的平行投影為兩個點，當(dāng)兩平行當(dāng)兩平行直線都與投影面垂直時，其在解析錯；在正方 A 相交但不垂直時，其在內(nèi)的平行投影可平行，故直線所在平面與投影面 B 都 平行，但平面 BCC 及平面 ABCDABCD

38、 中，直線 AA 與平面 BCCBCDDC 體 11111111111及平面 BB錯；同樣，在正方體 ABCD ABCD 中，平面 BCC 相交，故與平面 CDDC 11111111正 CDDC 都 與平面 ABCD 垂直，但此二平面相交，故 C 錯；由線面垂直的性質(zhì)定理知D11 確 ） 、，下列命題中，正確命題的個數(shù)為（29對于直線 m、n 和平面、 m，則 n若 m， n n若 m， nm，則 若，則， m?，則 m若B 2A14 3 DCA答案 錯，正確 解析 ）給定下列四個命題：廣東文 （0930 若一個平面內(nèi)的兩 條直線與另一個平面都平行， 那么這兩個平面相互平行； 若一個平面經(jīng)過另

39、一個平面的垂線， 那么這兩個平面相互垂直； ）垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直 其中為真命題的是 （ ）A 和B和D和 C和D 答案 ） 是一條直線， 以下命題正確的是 （ ，31（09浙江文 ） 設(shè)是兩個不同的平面， l ， 則 l?A若 l， l?，則 B若 l， lC若 l， 則 l若 l ，則 DC 答案 A 錯； l或 l?， 解析 l， ? 錯；或 l?， B，l ?l 正確； ?l， Cl， ，則 l 與位置關(guān)系不確定， D 錯 l 若， ，為不重合 的平面，給出下列 4個命題：32a、b為不重合的直線

40、， ； ?b且 a a b ；b a且 ab? ； ?a且 a bb. a a且 ?） 其中正確命題的個數(shù)為 （ B1A03 DC2A 答案a?b或解析 b? ；aba?b或b?；aba?a或a? . 33如圖， BC 是 Rt ABC 的斜邊， AP平面 ABC ，PD BC 于 D ，則圖中共有 個直角三角形 （ ） TOC o 1-5 h z B A 875D6C A答案共 8個 PDB PAC， PAD ， PAB， PDC， CDA， BDA ， CAB 解析 、 A 與兩平面， A， B ， AB 、所成的角分別為和 .過34 如圖，平面平面64)B 分別作兩平面交線的垂線，垂足為

41、A 、 ABA B等于 （B，則B3A 23 C3 D4A 答案解析 由已知條件可知 BAB 4 ，設(shè) AB 2a， ABA 6 a，cosa 則 BB 2asin2，A B2a364中，得在 RtBB AA B a， ABA B下列條件中，是平面， 能得出直線 a平面的是 b35已知 a、c 是直線， 、 ?b?，caA ac， b，其中 b， bBa ，a C b Dab，D 答案 可平行、可相與 b 時， a，可知相交的條件；如圖與中缺解析 A bc （1）b a 錯；B 交，相交時也可垂直，故 ）錯 AB ，故 C 可以是，直線 aAC ，也可以是如圖 （2）是一個正方體，滿足的中點，

42、下面 四個結(jié)論中 CA 、BC 、D、E、F分別是 AB 36在正四面體 PABC 中，） 的是（ 不成立 BC 平面 PDFA 平面 PAEB DF PDF平面 ABC C平面 AE平面 ABC D平面 PC 答案. BCAB 、 CA中點， DF解析 D、F分別為 A 正確 BC平面 PDF，故 ABC 為正四面體， 又P. DF.PO內(nèi)的射影 O在 AE 上PO平面 ABCP 在底面 ABC . DF， AEE為BC 中點， AEBC 又 ，故 B正確 O， DF平面 PAE又 POAE，AE，PO平面 ABC ?又 PO面 PD面 ABC ，故正確面 PAEC.四個結(jié)論中不成立的是 二

43、 填空題所垂直于圓 OA、B 的圓周上的任意一點， PA是異于是圓1如圖， ABO 的直徑， C 所成角的正弦值為 PB5，則直線與平面 PAC AB 4A，在的平面， AC3P，414 答案 41 ） ）， A PBC解析 PA平面 ABC ， BC 平面 PAC 又 BCAC所成的角為直線 PB與平面 PAC BPC 41，PB，PAB 中，A4，AB5在 RtP 4， 5， BC ABC 中， AC3，ABRt 在 414BC .sin BPC41PB，則 PBPC，PDP 在?ABCD 所在平面外，且 PA2?ABCD 的對角線交點為 O，點 與平面 ABCD 的位置關(guān)系是 PO 垂直

44、答案. ACAC 的中點，POAPC，O是解析 P ， BD OBD . AC 同理可得 PO.ABCD PO平面到對角線 P1，則點 ABCD ，且 PA， AB 3，BC4PA平面中， 3在矩 形 ABCD 的距離是 BD 13 答案5平面 PABD，連接 PE， BD 5，過 A 作AE 解析 因為 AB 3， BC 4，所以 BD ， PAABCD ， ，PEBD，BD平面 PAE， A P AE A121312 22 PE 在 ABD 中， AE ，所以 1 .5553 的幾何體的三視圖， 20cm 如圖中的三個直角三角形是一個體積（2010 湖南文， 13）4則h cm.4答案 1

45、 該幾何體是一個底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐如圖，V解析 31 56h20， h4 cm.2 ）的平面截球面 OAM 且垂直于為球 O 的半徑，過 OA 的中點 5 （09全國文 ）已知 OA 的表 面積等于 的面積為 3，則球 O得到圓 M，若圓 M 16 答案 ，截面圓的半徑為 r設(shè)球的半徑為 R解析2r3 則有 R 222R r22 16.S2，球 O 的表ABCD 是正方形，面積 4 R 解得 R .ABaA平面 ABCD ，且 PA 6如圖，的度數(shù)為 ； （1）二面角 APDC 的度數(shù)為 ；BPAD（2）二面角 的度數(shù)為；PAC（3）二面角 B PC D 的度數(shù)為 B

46、（4）二面角 ；12090；90； 45答案 CDP A解析 （1）PA平面 ABCD ，CD 平面 PAD 又 ABCD 為正方形， CD AD ， ， AD 平面 PCD 又 CD?平面 PCD，平面 P.C為 90二面角 APD PAPA，AD（2）PA平面 ABCD ，AB D 的平面角 BAP BAD 為二面角 90 D為又 BAD 90，二面角 BAP PAA P，AC ， P（3）A 平面 ABCDAB 的平面角 A CPBAC 為二面角 B 45為正方形， 又 ABCDBAC 45為 PB 即二面角 AC ）DE，連 PC于 E(4)作 BE DPE 則由 PBC PDC 知

47、BPE PDE 從而 PBE DE DEP BEP90， 且 BE 的平面角 D BED 為二面角 BPC ，PA BC ，又 AB BCPA平面 ABCD ， ， 平面 PAB， BC PB BC 6BCPB a，aBD2BE3PC3BO ，O，則 sinBEO 取 BD 中點2BE 120 BEO 60 ， BED.的度數(shù)為 120二面角 BPCDACAB，AB，BD?，且 AC AB ，BDAC 7已知 二面角 AB為 120， ? ，則 BDa ；(1)CD 的長為 AB 所成的角為 CD(2)與 (1)2a (2)60 答案 ABDD綊 AD綊 BD，連 DD ，則解析 在平面內(nèi)，作

48、，DAAB，(1)ACAB AB 的平面角 DAC 為二面角 AC 120 即 D 3BDAC a，aCDAB AB ， DD 平面 ACD 平面又 ABACD ，DD DD a DD DC，又 22a2 CDDD DC )DD AB (2) AB 所成的角 D DC 為異面直線 CD 與 2aC 中， DD a，CD在 RtDD.60CDDC60，即與 AB 所成的角為 D的中點， A，PC平面 ABCD ，E是 P8已知 邊長為 a 的菱形 ABCD 中， ABC 60 則 E 到平面 PBC 的距離為 3 a答案 4 BD 于 O，連 EO，AC 解析 如圖，設(shè)交 PC，的中點，EO、E

49、、O 分別為 PAAC 面 PC?PBC 又 EO?面 PBC ，PBC 的距離都相等，則 O 點到平面 EO 平面 PBC，于是 EO 上任一點到平面 PBC 的距離即 為所求 ， ABCDO 作 OGBC 于 G， PC平面在平面 ABCD 內(nèi)過 ， PC OG.PBC OG 平面 是菱形， ABCDABC 60，3a3a3. sinOBC OG sin30 a4223 距離為 PBC 即 a. E 到面 4D 則 O 到平面 ABC 的中心，是底面 CBD 的棱長為 1，OABCDA 9正方體 ABCD 1111111111的距離為 2 答案 4平 AO 點， ADAD 到平面 AABC

50、 的距離，連 D 交于 O 可證轉(zhuǎn)化為點 解析 （1） 11111111， ABCD 面 11 ）2 A 到平面 ABCD 距離 AO ，1111122. D 距離為從而 O 到平面 ABC 114E ，過于 FB 交 AD 于 E ， 交BC（2）轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，過O作直線 EF A 111111D從而得解 AD 作EE，可證 EE平面 ABC 11111caa，、b 距離為 7，則由 bc，若 b、c距離為 2，a、 c距離為 110三條直線 a 確定的平面與 b 的距離為3 答案，Rc于Q，交直線 a于P上取一點， 過P作PO于 O，作OQ解析 在直線 b ，PRa， c平面 P

51、OQ，a平面 PORPQ c，則 OQa222 1）x h 4，（xQR1，PQ2，OQPR 7，設(shè) x， PO h，則依題設(shè)條件， 23.，解之得 hh7那 60，此時沿斜邊 BC 上的高線 AD 折成一個二面角， BAC 11把等腰 直角 ABC 么此二面角的大小是 90答案 a解析 設(shè) AB 60 AC，BAC AB2a BDBCa，又DC2 BDC 90 ， ADCD 又 BDAD 的平面角 ADBDC 為二面角 B C.故填 90 nm 12、是兩個不同的平面， 、是平面及外的兩條不同直線， 給出四個論斷： ） ）； m n； n m以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫

52、出你認(rèn)為正確的一個命題是 ?；、 ? 答案 、的兩條直角邊 ABC 在平面外，則 ABC 的斜邊 BC 在平面內(nèi)，頂點 A13直角 BC 組成的圖形只 能是在平面內(nèi)的射影和斜邊答案 線段或鈍角三角形 2222BACAB 當(dāng) ABC所在平面與垂直時為線段；否則如圖ACA解析2 BC，為鈍角三角形 ABC，2 為平面 ABC 外一點，它到三邊的距離都等于5ABC 的三邊長分別為 3、 4、，P14 到平面 ABC 的距離是 則 P3答案3. ，則 PO 其內(nèi)切圓半徑 O 為三角形 ABC 的內(nèi)心， r1 解析 頂點在底面上的射影與 AABC 所成角均相等，又 PA、PB 、PC 與平面 P15P

53、為 ABC 所在平面外一點， ABC 形狀可以是 BC 垂直，那么將你認(rèn)為正確的序 （ 等腰直角三角形正三角形 等腰三角形 非等腰三角形 ）號全填上 答案所成角均相等， ABC 、PC與平面 PO，由 A、PB 上的射影為設(shè)點 解析 P在底面 ABCABC 為 BC，即 AO，得 P為 ABC 的外心，又由 ABCOAOOCOBOA 得 ，即點 . 必為等腰三角形，故應(yīng)填A(yù)C，即 ABC 邊上的高線，中 BCAB）章節(jié)測試一、選擇題 （本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中只有一個 是符合題目要求的 ）1（2013 2014福建師大附中模塊 ）設(shè)，表示兩

54、個平面， l 表示直線， A，B，C 表示三個不 同的點，給出下列命題：若 A l，A ， Bl，B，則 l?；，不重合，若 A ， A ， B ， B，則 AB ；若 l?， A l，則 A?；若 A，B，C， A ， B ， C，且 A，B，C 不共線，則與重合 則上述命題中，正確的個數(shù)是 （ ）A 1B2D C34C 答案可知正確；當(dāng) 21可知正確；根據(jù)公理 3可知正確，根據(jù)公理 解析 根據(jù)公理 的 交點時，可知錯誤為直線 l 與平面點 A） （ BD 2菱形 ABCD 在平面內(nèi)， PC，則 PA 與對角線的位置關(guān)系是 相交但不垂直 BA 平行C 相交垂直 異面垂直 DD答案 .PBD，

55、BD平面 ACABCDPC 解析 平面， PC BD ，又在菱形中， AC 與 ABD 異面垂直顯然 P 又 PA?平面 AC ， BD PA.PA 與 BD 異面，故 P所成與 ABC 3設(shè) P 是所在平面外一點， H 是 P 在內(nèi)的射影，且 PA， PB， PC ） 的角相等，則 H 是 ABC 的 （外心 內(nèi)心 BA DC 垂心 重心 B答案 ABCPHCPHBPHA 解析由題意知 RtRtRt，得 HA 所以 H 是， HB HC 的 外接圓圓心所， nn，則 m為異面直線，且， ，的大小為已知二面角 4l60 mnm） 成的角為 （30A B6012090 C DB答案 ）解析 易知

56、 m，n 所成的角與二面角的大小相等，故選B.5（2013 2014 珠海模擬 ）已知 a，b，l 表示三條不同的直線， ，表示三個不同的平面， 有下列命題：若 a， b，且 a b，則；若 a， b 相交，且都在，外， a， a， b， b，則； 若， a， b?， a b，則 b；若 a， b， la，lb，則 l . 其中正確的有 （ ）A0 個 B1 個C答案解析 可借助正方體模型解決如圖，在正方體D 3 個 C2 個ABCD1111DABC ，平面 DCCD 為，平面 ABCD 中，可令平面 ABCD 為 11111111 DCCDABCD 平 面CD為 .又平面 ABCD DCCD

57、 ，平面 1111111111，但，因為 bCD CDCD ，則 CD與 CD所在的直線分別表示 a，111111因與不平行， 故錯誤 B 平面 ABCD 與平面 ACD 不平行， 即 111111 ，因此，根據(jù) a， b ，可得 .同理可得 a 為， b 相交，可設(shè)其確定的平面 為，正確 由兩平面垂直， 在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個平面垂直，易知 ，錯誤 l 正確ab 時，由題知垂直于平面內(nèi)兩條不相交直線，得不出 l為異面直線， m平面， n平面 .直線 l 滿足 l，6（2013 新課標(biāo)全國 ）已知 mn），則 （ l?，l?m，ln，B且 l lA 且 D與相交，且交線平行于l

58、C與相交，且交線垂直于lD答案 必相交，與平面，則平面，為異面直線，由于 解析 m ， nm平面 n平面，故選 ln 但未必垂直，且交線垂直于直線 m，又直線 l 滿足 m，則交線平行于 ll nD.上的不與端點重合的分別是線段， BABCE 中， DB 在正方體 7ABCDAC ，F(xiàn)11111111E 動點，如F11. EFACEFACEF ； EFAA ；與異面；平面ABCD 1）果 A B，有下面四個結(jié)論： 其中一定正確的有 （B A C DD答案 ）平面 EF?BCD，解析 如右圖所示由于 AA 平面 A11111CB 分別是線段 AB ， AA ，所以 正確；當(dāng) E， FABCD ，

59、則 EF 111111111，所以不正確；當(dāng) ACC ，則EFEFAC，又 ACA的中 點時， 1111異面，所以不 ACC 的中點時， EF與， F分別不是線段 AB ，BE1111，所以 DABC 平面 ABCD ， EF?平面正確；由于平面 ABCD 11111111 ，所以正確平面 ABCDEF截去幾何體 D 被平面 EFGH 是長方體 ABCD ABC 8如圖，若 1111為線段的點， F 上異于其 中 E 為線段 ABBEFGHBC 后得到的幾何體， 11111）EHAD ，則下列結(jié)論中不正確的是 （BB 上異于 B 的點，且 1111B四邊形 EFGHFG 是矩 形 A EHD

60、C是棱柱 是棱臺 答案 EH，所以 EH?平面 BCCB A解析 因為 EHD，ADBC，所以 EHBC ，又 1111111111， 又 FG，所以 EH平面 BCCB ，又 EH?平面 EFGH ，平面 EFGH 平面 BCCBFG 1111，所以 AD 是棱柱，所以 EH BC ，所以 A ，C正確；因為 AD平面 ABBA ， EH 11111111D. 正確，故選 ABBEH 平面 ABBA ，又 EF?平面 A，故 EH EF，所以 B1111CC 已知正方體 ABCD ABCD 中， EBB 、 F分別為 （9（2012大綱版數(shù)學(xué)文科 ）111111）F 所成角的余弦值為 （的中