彈塑性力學(xué)定理和公式

1、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性模量|廣義虎克定律1.彈性模量對于應(yīng)力分量與應(yīng)變分量成線性關(guān)系的各向同性彈性體，常用的彈性常數(shù)包括:彈性模量單向拉伸或壓縮時正應(yīng)力與線應(yīng)變之比，即a切變模量切應(yīng)力與相應(yīng)的切應(yīng)變之比,即b體積彈性模量三向平均應(yīng)力c與體積應(yīng)變0(=e+e+e)之比，即xyz泊松比單向正應(yīng)力引起的橫向線應(yīng)變的絕對值與軸向線應(yīng)變e的絕對值之比，即d這五個常數(shù)中只有兩個是獨(dú)立的。常用彈性常數(shù)之間的關(guān)81此外還有拉梅常數(shù)入。對于各向同性材料，系見表3-1彈性常數(shù)間的關(guān)系。室溫下彈性常數(shù)的典型值見表3-2彈性常數(shù)的典型值。2.廣義虎克定律線彈性材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義虎克定律。它是由實(shí)驗(yàn)確

2、定，通常稱為物性方程反映彈性體變形的物理本質(zhì)。A各向同性材料的廣義虎克定律表達(dá)式（見表3-3廣義胡克定律表達(dá)式）對于圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)，表中三向應(yīng)力公式中的x、y、z分別用r、O、z和r、e、e代替。對于平面極坐標(biāo)，表中平面應(yīng)力和平面應(yīng)變公式中的x、y、z用r、。、z代替。B用偏量形式和體積彈性定律表示的廣義虎克定律應(yīng)力和應(yīng)變張量分解為球張量和偏張量兩部分時，虎克定律可寫成更簡單的形式，即體積彈性定律應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量關(guān)系式在直角坐標(biāo)中，i,j=x,y,z；在圓柱坐標(biāo)中，i,j=r,O,z,在球坐標(biāo)中i,j=r,e,。彈性力學(xué)基本方程及其解法彈性力學(xué)基本方程|邊界條件|按位移求解的彈性力學(xué)基本方

3、法|按應(yīng)力求解的彈性力學(xué)基本方程|平面問題的基本方程|基本方程的解法|二維和三維問題常用的應(yīng)力、位移公式彈性力學(xué)基本方程在彈性力學(xué)一般問題中，需要確定15個未知量，即6個應(yīng)力分量，6個應(yīng)變分量和3個位移分量。這15個未知量可由15個線性方程確定，即（1）3個平衡方程式（2-1-22），或用腳標(biāo)形式簡寫為（2）6個變形幾何方程式（2-1-29），或簡寫為（3）6個物性方程式（3-5）或式（3-6），簡寫為或毎，=02廠邊界條件彈性力學(xué)一般問題的解，在物體內(nèi)部滿足上述線性方程組，在邊界上必須滿足給定的邊界條件。彈性力學(xué)問題按邊界條件分為三類。0 x、ya應(yīng)力邊界問題在邊界S表面上作用的表面力分量為

4、FF、間的關(guān)系，即力的邊界條件為F。面力與該點(diǎn)在物體內(nèi)的應(yīng)力分量之z.應(yīng)變和應(yīng)力。式中，l=cos（n,j）為邊界上一點(diǎn)的外法線n對j軸的方向余弦。nj這一類問題中體積力和表面力是已知的，求解體內(nèi)各點(diǎn)的位移b位移邊界問題在邊界S上給定的幾何邊界條件為x式中，U*為表面上給定的位移分量。i這一類問題是已知體積力和表面各點(diǎn)的位移，求解體內(nèi)各點(diǎn)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力c混合問題部分邊界上給定力，部分邊界上給定位移。按位移求解的彈性力學(xué)基本方法按位移求解時，以3個位移分量為基本未知量，利用幾何方程和物性方程，15個基本方程簡化為以位移表示的平衡方程：（3-14）S十G）竺十旳丸十人二g護(hù)聲a2V=十十加孫&

5、2求解時位移分量在物體內(nèi)部滿足式（3T4），在位移邊界S上滿足式（3T3），在應(yīng)力邊界S上滿足u0式（3-12），但式中的應(yīng)力分量應(yīng)利用應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和應(yīng)變-位移關(guān)系變換為位移的形式。求出位移分量后，再利用幾何方程和物性方程，求出應(yīng)變和應(yīng)力分量。按應(yīng)力求解的彈性力學(xué)基本方程按應(yīng)力求解時，以6個應(yīng)力分量為基本未知量。它們必須滿足平衡方程，同時還要滿足以應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程，即(3-15)式（3-15）和平衡方程式（2-1-22）一起，成為按應(yīng)力求解彈性問題的基本方程組。按應(yīng)力求解彈性問題，就是尋求滿足基本方程式（2-1-22）和式（3-15），以及邊界條件式（3-12）的解。平面問題的基本方程彈性

6、力學(xué)平面問題，包括平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題兩類。通常利用應(yīng)力函數(shù)將彈性力學(xué)平面問題簡化為解雙調(diào)和方程的邊值問題。平面問題基本方程的直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)表達(dá)式見表3-4平面問題的基本方程。表中除物性方程外，對于其他方程，平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題中的形式是相同的。比較一下這兩類問題的基本方程后可知，只要將平面應(yīng)力問題的解中的彈性常數(shù)E、V改為E/（1-V2）、v/（l-v）后，就得到對應(yīng)的平面應(yīng)變問題的解。因此，對于截面形狀和邊界條件相同的物體，平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題中的應(yīng)力分布（0 x、oTxy、o除外）是相同的?；痉匠痰慕夥?5個彈性力學(xué)基本方程簡化為以位移表示的3個平衡方程式（3-14）或以應(yīng)

7、力表示的6個協(xié)調(diào)方程式（3-15）。求解上述方程時，類似在平面問題中應(yīng)用艾雷應(yīng)力函數(shù)所用的方法，常引用應(yīng)力函數(shù)或位移函數(shù)以消去應(yīng)力分量或位移分量，求解以應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程，或以位移函數(shù)表示的平衡方程。表3-5帕普科維奇-諾埃伯謝函數(shù)和勒夫謝函數(shù)列出用帕普科維奇-諾埃伯函數(shù)和勒夫函數(shù)表示的無體積力時平衡方程的齊次解。勒夫函數(shù)常用于求解軸對稱問題。二維和三維問題常用的應(yīng)力、位移公式（見表3-6二維和三維問題常用的應(yīng)力、位移公式）能量原理應(yīng)變能、應(yīng)變余能與應(yīng)變能定理|虛位移定理|最小勢能原理|虛力原理|最小余能原理|卡氏定理|互等定理|李茲法直接求解彈性力學(xué)基本方程在數(shù)學(xué)上存在困難，只有一些比較

8、簡單的問題已求得精確解。而能量法把求解問題的過程轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N極值問題，它比直接求解偏微分方程邊值問題能更方便地得到近似解。因此能量原理是目前廣泛應(yīng)用的近似計(jì)算方法的基礎(chǔ)。應(yīng)變能、應(yīng)變余能與應(yīng)變能定理a應(yīng)變能單位體積的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度，以W表示。W為應(yīng)變分量eij的函數(shù)，W可用腳標(biāo)形式表示為對于線彈性體，其值為線彈性體的總應(yīng)變能為込6+叭勺+“即+審隅+宀加卩-対）對各向同性材料，利用虎克定律，應(yīng)變能密度可用單一的應(yīng)力分量或應(yīng)變分量表示為（3-30）b應(yīng)變余能單位體積的應(yīng)變余能W*為應(yīng)力分量。ij的函數(shù)，W*（。ij）定義為（3-31）對線彈性體，W=W（3-32）c用應(yīng)變能和應(yīng)變余能表示力與

9、應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)變能密度函數(shù)W（eij），表示因彈性變形而儲存于單位體積內(nèi)的彈性勢能。應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，通過彈性勢函數(shù)W表示為如果把應(yīng)變分量表示為應(yīng)力分量的函數(shù)時，則存在如下關(guān)系式，即對線彈性體，W*=W，式（3-34）變?yōu)殍b忙八兀皆）（3-35）d應(yīng)變能定理如果彈性體在變形過程中無能量耗損，則彈性體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力在變形過程中所作的功，即3-徇式中，A為外力所作的功，包括體積力和面力所作的功。虛位移定理彈性體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時，體內(nèi)各點(diǎn)如果發(fā)生一虛位移5ui（所謂虛位移，是指幾何約束容許的任意、微小的位移，也就是指符合物體的連續(xù)條件和位移邊界條件的可能位移），則外力對虛位移

10、所作的功（虛功），等于虛位移所引起的彈性體的虛應(yīng)變能，即S.AS.U（3-37）式中，虛功包括體積力fi和面力pi在虛位移6ui上所作的功，即吞丿二昇訕站+/；恥碑因虛位移而引起的虛應(yīng)變能為式（3-37）稱為虛功原理或虛位移原理。虛位移原理等價(jià)于平衡條件。如結(jié)構(gòu)上的外力在虛位移上所作的虛功等于結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，則結(jié)構(gòu)必處于平衡狀態(tài)。在虛位移原理推導(dǎo)過程中并未應(yīng)用虎克定律，虛位移原理也適用于非彈性體。最小勢能原理如果外力可由一個勢函數(shù)V導(dǎo)出，外力勢V=-A,則6V=-6A由式（3-37），得變分方程弘+3P=Q（3-3S）式中,稱為系統(tǒng)的總勢能，是位移的函數(shù)。式（3-38）表明：彈性體處于平衡狀態(tài)時

11、，其內(nèi)力和外力的總勢能取駐值。可以證明，線彈性體處于平衡狀態(tài)時，其總勢能取最小值。因此，式（3-38）稱為最小勢能原理。也就是說，在所有幾何容許位移中，滿足勢能駐值條件11=0的位移解，使總勢能II取最小值。在應(yīng)用中，可根據(jù)勢能駐值條件去求解彈性力學(xué)問題。在分析結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題時，在平衡狀態(tài)（S1=0），總勢能II可能取極大值（2110,不穩(wěn)定平衡），駐值（211=0，臨界狀態(tài)）或極小值（S2lI0,穩(wěn)定平衡）。虛力原理如對變形協(xié)調(diào)的彈性體施加某種虛力（即平衡條件所容許的，任意微小的力的改變，包括虛應(yīng)力S。ij和虛面力SpI），則虛外力在真實(shí)位移上的虛余功SA*等于虛應(yīng)變余能，即式中（3-40）稱

12、虛力原理或余能原理，它和以位移為變量的虛位移原理相對應(yīng)。式中百二L孕肉為在幾何邊界心上申二町）S.=lv8.a虛力原理將給出協(xié)調(diào)條件，如對彈性體施加某種虛力，當(dāng)外虛余功等于虛應(yīng)變余能時條件。最小余能原理彈性體必滿足變形協(xié)調(diào)式中，11*稱為系統(tǒng)的總余能。由式（45-40）得變分方程n*K）=O3-42）式（3-42）表明，在滿足平衡方程和靜力邊界條件的所有應(yīng)力中，能適合幾何邊界條件并能產(chǎn)生協(xié)調(diào)應(yīng)變場的正確解，使余能取勝駐值?？梢宰C明，在線彈性小就形情況下，在平衡條件容許的所有應(yīng)力中，使余能取駐值的應(yīng)力，就是使余能為最小值的應(yīng)力，也就是線彈性小變形問題的正確應(yīng)力解。因此，式（3-42）稱為最小余能

13、原理?？ㄊ隙ɡ懋?dāng)物體的表面力為集中力時，虛力原理的余能駐值表達(dá)式可寫為i-l式中，Qi廣義力qi-廣義位移由上式得對于線彈性系統(tǒng)，II*=II,U*=U,式（3-43）變?yōu)閷τ诰€彈性系統(tǒng)，卡氏定理表述為：系統(tǒng)的應(yīng)變能對任一集中的偏導(dǎo)數(shù)，等于力作用點(diǎn)以力方向的位移。互等定理設(shè)彈性體有兩種平衡狀態(tài)。第一種平衡狀態(tài)為面力pi,體積力fi和相應(yīng)的位移ui（i=x,y,z）;第二種狀態(tài)為面力pi體積力fi和相應(yīng)的位移ui。互等定理表述為：第一組外力在第二組外力引起的位移上所作的功，等于第二組外力在第一組外力引起的位移上所作的功，即rIIIrIiirIiri込旳+L陽聲込訶+評聲l=XfY,Z）（3-45

14、）互等定理應(yīng)用于梁的問題時，得影響系數(shù)對稱性關(guān)系。設(shè)載荷為橫向力p,撓度為y,式（3-45）寫成如果梁上只在xl,x2,，xn處作用有集中力pl,p2,，pn。把在xj處作用單位集中引起的在xI處的撓度記為aij,aij稱為影響系數(shù)，由互等定理得李茲法李茲法是基于變位移的最小勢能原理的直接近似求解方法。根據(jù)問題的幾何邊界條件，假設(shè)的一組位移解中含有待定參數(shù)aj、bj、cj。由最小勢能原理，在所有假定的幾何容許的位移函數(shù)中，真實(shí)的位移使總勢取駐值。因此可取如下一系列位移函數(shù)的近似解，即/-I殲二嚴(yán)J汁卩-的）J-1丹J式中，aj、bj、cj為待定參數(shù)；uxj（x,y，z）、uyj（x,y，z）、

15、uz（x，y，z）為滿足位移邊界條件的位移函數(shù)。由勢能駐值條件，令得到3n個線性方程組，解出aj、bj、cj后，代入式（3-47），就得到問題的位移解。一般只要位移數(shù)選擇得當(dāng)，只須取有限幾個待定參數(shù)，就可得到足夠精確的位移解。李茲法也可以基于最小余能原理的余能駐值條件，直接求得近似應(yīng)力解。表3-7彈性基礎(chǔ)梁的近似解與精確解的比較熱應(yīng)力熱彈性方程|熱傳導(dǎo)方程與溫度場|熱應(yīng)力問題的應(yīng)用物體加熱或冷卻時，體內(nèi)各部分因溫度變化而伸縮，如果受到約束就產(chǎn)生熱應(yīng)力。一種約束是由于物體表面的邊界條件產(chǎn)生的。例如，不同形狀的物體均勻升高溫度T時產(chǎn)生的熱應(yīng)力為棒狀物體，兩端固定o=-aET平板物體，周邊固定。=-

16、aET/（l-v）塊狀物體，外表面固定o=-aET/（l-2v）式中，。為線膨脹系數(shù)，負(fù)號表示壓應(yīng)力。如果熱應(yīng)力超過彈性極限而產(chǎn)生塑性應(yīng)變ep，冷卻后將產(chǎn)生殘余應(yīng)力oR。如p小于彈性應(yīng)變ee時，殘余應(yīng)力oR=ep/E引起物體熱應(yīng)力的另一種約束為物體內(nèi)部存在不均勻溫度場，物體各部分因伸縮受陰而產(chǎn)生熱應(yīng)力。熱彈性問題主要是指這一類問題熱彈性方程熱彈性方程與常溫下彈性力學(xué)基本方程不同之處在于物性方程，其他平衡方程和幾何方程不變。對于各向同性均質(zhì)材料，單元體變溫時各方向膨脹相同，只發(fā)生線應(yīng)變而無切應(yīng)變，因此只有三個正應(yīng)力線應(yīng)變之間的關(guān)系變?yōu)镋（3-4?）或耳=2療耳十彳否一3A十2GaT片=2Gsr十

17、;1臼一卩；1十2&0?。?-50）巴=2Ges+2-（就+2G上7按位移求解的熱彈性方程見表3-8按位移求解的熱彈性基本方程。熱傳導(dǎo)方程與溫度場在熱彈性問題中，物體內(nèi)應(yīng)力的分布，取決于不同瞬時物體內(nèi)溫度的分布，即溫度場，而溫度場則是根據(jù)物體的初始溫度分布，以及物體與環(huán)境之間的熱交換條件，求解熱傳導(dǎo)方程而得到。A熱傳導(dǎo)方程對于均質(zhì)各向同性材料，如材料的熱學(xué)性能與溫度無關(guān)時，熱傳導(dǎo)方程為式中,k=N/cp為熱擴(kuò)散率入為熱志率c為比熱容p為密度W為單位時間內(nèi)單位體積熱源的發(fā)熱量由熱傳導(dǎo)定律，熱流密度的大小與溫度梯度成正比，而方向相反，即（3-55）其中的比例常數(shù)，即為熱導(dǎo)率入。室溫時常用材料的熱常

18、數(shù)，見表3-9熱常數(shù)（20C時）。B溫度場溫度場一般為位置和時間的函數(shù)，即T二于乩亦）溫度分布與時間無關(guān)的溫度場稱為定常溫度場。物體內(nèi)無熱源時，常溫度場的微分方程簡化為拉普拉斯方程V2T=0（3-56）在溫度場的初始條件和邊界條件中，一種情況是給定物體表面的溫度分布函數(shù)T=F（x,y,z,t）。另一種情況是給定物體溫度和周圍環(huán)境介質(zhì)溫度，以及兩者之間的熱交換規(guī)律。例如物體冷卻時，傳向周圍介質(zhì)的熱流密度為送二-心Tj(3-57)式中，h為傳熱系數(shù)；TB為物體表面溫度；TA為環(huán)境介質(zhì)溫度。熱應(yīng)力問題的應(yīng)用A任意形狀薄平板(圖3-2)設(shè)溫度沿板厚方向變化，即T=T(z)。圖3-2任意形狀平板(1)無

19、外力約束情況下的熱應(yīng)力為(2)板邊固定情況下的熱應(yīng)力為(3-5S)1-vCF,=空溫度沿X和z方向不變，即T=T(y)。平板的熱應(yīng)力為B矩形薄平板情況(1)(圖3-3)板外部無約束圖3-3矩形板情況(1)情況(2)(圖3-4)平板外部無約束。在x=0的y軸上溫度為T1,離開y軸時溫度急憂劇下降。板中最低溫度為TO。溫度沿y、z方向不變，這時最大拉應(yīng)力在o、p處，即ox=Ea(Tl-T0)OP中點(diǎn)處的最大壓應(yīng)力，為oy=-EaX(Tl-T0)。圖3-4矩形板情況(2)C半無限體中有線熱源(圖3-5)設(shè)半無限體表面(oyz面)的溫度為零。線熱源MNoz，與表面的距離為a。單位長度的線熱源，單位時間

20、內(nèi)發(fā)出的熱量為H。這時半無限體的熱應(yīng)力為式中入一物體的熱導(dǎo)率圖3-5半無限體中的線熱源D半無限體表面上有點(diǎn)熱源(圖3-6)設(shè)單位時間內(nèi)點(diǎn)熱源。發(fā)出的熱量為Q。表面其他地方完全絕熱,則物體的溫度分布為物體內(nèi)的熱應(yīng)力為EaQf1_P4曲R+zRj圖3-6半無限體表面上的點(diǎn)熱源塑性力學(xué)基本方程屈服條件|塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系|滑移線場理論|極限分析定理1.屈服條件對于處于單向拉伸（或壓縮）的物體，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限時，材料開始進(jìn)入塑性狀態(tài)，對于處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的物體，由彈性狀態(tài)過渡到塑性狀態(tài)的臨界條件稱為屈服條件。在應(yīng)力空間將初始屈服的應(yīng)力點(diǎn)連成的彈性和塑性的分界面稱為屈服面。描述屈服面的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為屈

21、服函數(shù)。常用的各向同性金屬材料的屈服試驗(yàn)表明，屈服應(yīng)力數(shù)據(jù)點(diǎn)介于屈雷斯卡（Tresca）屈服條件和密賽斯（Mises）屈服條件之間，而更接近于密賽斯屈服條件。A屈雷斯卡屈服條件（最大切應(yīng)力條件）屈雷斯卡屈服條件為：當(dāng)最大切應(yīng)力達(dá)到某一極限值時，材料開始進(jìn)入塑性狀態(tài)，即在主應(yīng)力空間，當(dāng)差值I。-。|、|。-。|、|。-。|中任一個達(dá)到2k時，材料進(jìn)入塑料性122331狀態(tài)。因此用屈雷斯卡條件表示的屈服面為由下列六個平面組成的正六邊形柱體（圖3-7a），即材料常數(shù)k由實(shí)驗(yàn)確定。在拉伸試驗(yàn)時，。=2k=。，即k=。/2。在純剪切試驗(yàn)時，。-。=2k=2t，1ss13s即k=T。如果屈雷斯卡條件成立，

22、必有t=1/2。sss圖3-7屈服面B密賽斯屈服條件密賽斯條件為：當(dāng)切應(yīng)力強(qiáng)度T等于剪切屈服極限T時，材料開始屈服；或Is者當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度。等于拉伸屈服極限。時，材料開始屈服，即Is(3-65)或式中，j2為應(yīng)力偏量第二不變量對于密賽斯條件，TS=。篙。密賽斯條件與屈雷斯卡條件的最大差別不超過15%。s在主應(yīng)力空間，密賽斯屈服面為一外接于屈雷斯卡屈服面的圓柱面。在平面應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)。=0,則S在O、。應(yīng)力平面上，密賽斯條件為一橢圓，屈雷斯卡條件為內(nèi)接六邊形（圖3-7b）。12C后繼屈服函數(shù)（加載函數(shù)）已產(chǎn)生塑性變形的材料，繼續(xù)塑性變形的條件，稱為后繼屈服條件。在主應(yīng)力空間滿足后繼屈服條件的應(yīng)力點(diǎn)所連

23、成的曲面，稱為后繼屈服面（加載面）。對于理想塑性材料，后繼屈服面即為初始屈服面；對于強(qiáng)化材料，后繼屈服面隨塑性變形的歷史而變化。描述后繼屈服面的函數(shù)稱為后繼屈服函數(shù)或加載函數(shù)，一般可寫成就吟H）二0（3-67）式中，H為應(yīng)變歷史和材料性質(zhì)的函數(shù)。在應(yīng)力空間，加載面隨H的變化而改變其形狀、大小和位置。目前應(yīng)用較多的兩種簡單的強(qiáng)化模型為等向強(qiáng)化模型和隨動強(qiáng)化模型。圖3-8表示按照屈雷斯卡屈服條件在n面（。+。+o=0的面）上的屈服曲線和加載曲線。123Mb)c)圖3-8屈服曲線和加載曲線等向強(qiáng)化模型的加載函數(shù)表示為p-68)式中，H為決定于塑性應(yīng)變歷史的單調(diào)遞增正函數(shù)。加載面是初始屈服面等向擴(kuò)大，

24、屈服面中心位置不變。這種模型不考慮材料的包辛格效應(yīng)。隨動強(qiáng)化模型的加載函數(shù)表示為式中，oj表示初始屈服面中心在應(yīng)力空間的殘茶剩飯量。加載面的大小，形狀保持不變。塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有增量（流動）理論和全量（形變）理論兩種類型。A增量理論材料在塑性變形時，應(yīng)力與應(yīng)變之間一般不存在一一對應(yīng)的關(guān)系。增量理論假設(shè)在塑性流動的任一瞬時，塑性應(yīng)變增量矢量與加載面正交，即對理想塑性材料，2=f。若取f為密賽斯屈服函數(shù)時，上式變?yōu)閷τ趧偹苄圆牧希剑?-70）寫成完全表達(dá)式為式中，式（3-71）稱為列維-密賽斯（levy-Mises）關(guān)系式。若考慮彈性變形，則對密賽斯理想塑性材料有=丄込十乩說2G

25、Lr(3-73)&忌=g圧鳥十2乩”公體積彈性定律d=d%/K當(dāng)J；彳或石=亡皿o式中，塑性功增量加=%氓+b舁弓+CF衛(wèi)詔+冷爲(wèi)+%卻：+臨即；卩-西）式（3-73）稱為普朗特-勞埃斯（prandtl-Reuss）關(guān)系式。對于具有密賽斯等向強(qiáng)化加載面的強(qiáng)化材料，增量理論公式中的比例因子d入為與材料強(qiáng)化性質(zhì)有關(guān)的非負(fù)標(biāo)量，當(dāng)加載時式中H為強(qiáng)化函數(shù)H對其自變量的導(dǎo)數(shù)。B全量理論全量理論用應(yīng)力和應(yīng)變的瞬時值表示的塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，是塑性應(yīng)力應(yīng)變增量關(guān)系沿加載途徑的積分形式。當(dāng)滿足小變形及簡單加載（應(yīng)力分量成比例增長）條件，應(yīng)力強(qiáng)度a和應(yīng)變強(qiáng)度iei之間存在單一的函數(shù)關(guān)系。這時全量理論表達(dá)為式中，應(yīng)

26、變強(qiáng)度滑移線場理論滑移線場理論，是基于塑性材料在屈服流動時，沿最大切應(yīng)力方向，成為塑性變形區(qū)內(nèi)的特征性質(zhì)。據(jù)此來對整個變形區(qū)進(jìn)行應(yīng)力分布的數(shù)值分析。此處所討論的滑移線場理論，只限于各向同性的理想剛塑性材料的平面應(yīng)變問題，并假設(shè)屈服條件與靜水壓力無關(guān)。A應(yīng)力方程不滑移線場的幾何性質(zhì)（1）應(yīng)力方程在塑性變形區(qū)內(nèi)，連接最大切應(yīng)變方向的線，稱為滑移線。兩族正交的滑移線組成的網(wǎng)絡(luò)，稱為滑移線場。這兩簇曲線，分別稱為a簇和B簇。從a線到B逆時針轉(zhuǎn)動時，最大主應(yīng)力方向在a線和B線之間。從x軸到a線的逆時針轉(zhuǎn)角用0表示（圖3-9）a、B的曲線方程為由于主切應(yīng)力面上的切應(yīng)力k=T，s取決于。、0的變化，即如果正

27、應(yīng)力o（o=o+O/2）和0角已知時，滑移線場內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力僅y=tr一疋winar”=tr+2&,=（3-79）由單元體平衡條件，應(yīng)力沿滑移線變化規(guī)律為沿心線CF-2k:&-常數(shù)沿0線b十2肱二常數(shù)j（3-80）式（3-80）稱為漢基（Hencky）應(yīng)力方程（2）滑移線場的幾何性質(zhì)1.沿線性質(zhì)由應(yīng)力方程，沿同一滑移線移動時，。和0的變換成正比，即沿a.線Act=2M8沿0線3=沁成（3-S1）在直線段上，。和0都是常量。2.跨線性質(zhì)圖3-10）位于兩根同簇滑移線之間的另一簇滑線段上，e的變化相等，即3-82)相應(yīng)地，。的變化也相等，即圖3-10跨線性質(zhì)B速度方程和速端曲線在剛塑性體平面應(yīng)變問

28、題中，沿滑移線上的線應(yīng)變?yōu)榱?。因此將任一點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)速度沿a線和B線分解為v和v（圖3-11），得到速度沿線變化規(guī)律為aB圖3-11速度的分解沿a線-vd6-0沿0線dv-込必=q式（3-84）稱為蓋林格（Geiringer）速度方程?？梢园阉俣确匠谈膶懗刹罘址匠?，求出節(jié)點(diǎn)速度，建立速度場。也可以用作圖法作速度圖（速度矢端曲線）來表示速度分布。由于沿滑移線上線應(yīng)變?yōu)榱?，同一滑線相鄰兩點(diǎn)的相對速度必與該滑移線線元正交。因此滑移線上各點(diǎn)的速度矢端曲線與該滑移線線元正交。圖3-12中代表P點(diǎn)的速度平面上的映象即為速度圖。1極限分析定理在設(shè)計(jì)中把加載的極限狀態(tài)作為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的分析方法，稱為極限分析。理想剛

29、塑性結(jié)構(gòu)的極限載荷，是指載荷增加到某一數(shù)值時，結(jié)構(gòu)達(dá)到極限狀態(tài)，這時即使載荷不再增加，塑性變形繼續(xù)發(fā)展。由于求解彈塑性結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)對應(yīng)的極限載荷比較復(fù)雜，因此需要尋求一種計(jì)算極限載荷的近似方法，即利用極限分析上下限定理，來估計(jì)極限載荷的近似值范圍。在分析中，把材料假定為理想剛塑性體。剛塑性材料平面應(yīng)變問題的真實(shí)解，在應(yīng)力方面體內(nèi)應(yīng)滿足平衡方程、屈服條件和應(yīng)力邊界條件，在幾何方面應(yīng)滿足體積不變條件和速度邊界條件，并使外力對速度場作正功率。在實(shí)際問題中，要同時滿足全部條件是困難的。如果只滿足應(yīng)力方面的條件，這時所得到的應(yīng)力場稱稱為靜力許可應(yīng)力場。根據(jù)這個應(yīng)力場求得的載荷為真實(shí)極限載荷的下限。如果只

30、滿足應(yīng)變和位移條件所求得的速度場，稱為運(yùn)動許可速度場，由此求得的載荷為真實(shí)極限載荷的上限。如果上下載荷相等，所求得的載荷，即為真實(shí)的極限載荷。A下限定理由任何靜力許可應(yīng)力場所求得的載荷，恒小于或等于極限載荷。在塑性狀態(tài)下，物體發(fā)生一微小變形速度V時，在非作用力表面Sv上，任一靜力許可應(yīng)力場所引起的表面力Ti所作的功率，i恒小于或等于極限載荷表面力Ti所作的功率，即B上限定理任一與運(yùn)動許可速度場相對應(yīng)的載荷，恒大小或等于極限載荷。在塑性狀態(tài)下，任一運(yùn)動許可速度場上所作的功率，恒大于或等于極限載荷表面力，在真實(shí)應(yīng)變速度場上所作的功率，即L考抨+J/A網(wǎng)廠丄硏隔芒L跖吧（3-86）式中，a*：-任一

31、運(yùn)動許可速度場k-剪切屈服應(yīng)力S*-速度不連續(xù)面Dv*s*面上速度不連續(xù)量D。*和*由V*導(dǎo)出的應(yīng)力和應(yīng)變速度率如果塑性機(jī)構(gòu)按剛性塊在速度不連續(xù)面上相互移ijiji動，則上式左邊第一項(xiàng)為零，在許多實(shí)際問題中，力的邊界條件71VidsT=0，這時式（3-86）簡化為粘彈性粘彈性模型與本構(gòu)關(guān)系|三維性粘彈性理論的基本方程與對應(yīng)原理彈性理論和塑性理論中的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，都不考慮時間和速率的影響。近代某些工程材料，在一定條件下，顯示出與時間有關(guān)的性質(zhì)。例如，金屬、陶瓷和高聚合物在較高溫度下發(fā)生蠕變，即在不就應(yīng)力下應(yīng)變隨時間綬慢增加的現(xiàn)象。在定應(yīng)變下，應(yīng)力隨時間綬慢衰減的現(xiàn)象，稱為松弛。具有明顯時間效應(yīng)的

32、本構(gòu)關(guān)系的物體，稱為粘彈性理論。1.粘彈性模型與本構(gòu)關(guān)系A(chǔ)基本元件粘彈性體的力學(xué)模型，可看作具有理想彈性元件（彈簧，用S表示）的組合體。在簡單拉伸情況下，理想彈性元件（圖3-14a）的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為o=Ee而理想粘性元件（圖3-14b）的應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系為cr=早.（3-88）圖3-14彈簧阻尼器式中，n-粘性系數(shù)B馬克思威爾體由S和D串聯(lián)的粘彈性模型稱為馬克思威爾體（圖3-15a）。用字母M或S-D表示，其本構(gòu)方程為cr+尹Cr二（3-89）式中，pl、qi為材料常數(shù)，pi=n/E,qi=n。方程的解含有時間t在定應(yīng)力下應(yīng)變隨時間的變化規(guī)律，即蠕變特性為變形隨時間t線性（圖3-15b），表現(xiàn)出

33、流體粘性性質(zhì)。在定應(yīng)變0下的松弛特性（圖3-15c）為（a）粘彈性模型（b）蠕變曲線（c）松弛曲線C開爾文體（圖3-16a）為S和D并聯(lián)組成的粘彈性模型。用字母K或S/D表示。開爾文體的本構(gòu)方程為圖3-16開爾文體(a)粘彈性模型(b)蠕變曲線(c)松弛曲線cr=+qy(3-90)式中qO=Eq1=n開爾文體在定應(yīng)力。0下蠕變特性(圖3-16b)為護(hù)企-嚴(yán))式中T=ql/qO在定應(yīng)變0的松弛特性(圖3-16c)為o=q0e0+q1e06(t)其中，(t)為狄拉克函數(shù)，即當(dāng)tHO時，6(t)=0；t=0時，(t)=+bD多元件模型的本構(gòu)方程實(shí)際材料的粘彈性特性與上述兩種模型往往不符，因此尋求由更多元件組成的模型。其本構(gòu)關(guān)系列在表4.5-10中。多元件模型的本構(gòu)方程的一般形式為pa=Qs3-91)式中，P，Q為線性微分運(yùn)算算子。引入算子符號D后,旅呢jRE蠕變?nèi)岫群退沙谀Ａ砍擞檬?3-91)微分形式的本構(gòu)方程來描述粘彈性體的流變性質(zhì)外，可以用蠕變?nèi)岫菾(t)和松弛模量Y(t)來表示粘彈性體在定