功能原理機械能守恒

1、第03-2講功能原理 機械能守恒第三章 動量守恒和機械能守恒1 力對質(zhì)點所作的功為力在質(zhì)點位移方向的分量與位移大小的乘積 . （功是標(biāo)量，過程量）一 功 B*A3-4 動能定理2 合力的功 = 分力的功的代數(shù)和 變力的功3 功的大小與參照系有關(guān) 功的量綱和單位 平均功率 瞬時功率 功率的單位 （瓦特）4 例 1 一質(zhì)量為 m 的小球豎直落入水中， 剛接觸水面時其速率為 . 設(shè)此球在水中所受的浮力與重力相等, 水的阻力為 , b 為一常量. 求阻力對球作的功與時間的函數(shù)關(guān)系 .解 如圖建立坐標(biāo)軸即又由 2 - 5 節(jié)例 5 知5二 質(zhì)點的動能定理 動能（狀態(tài)函數(shù)） 動能定理 合外力對質(zhì)點所作的功

2、,等于質(zhì)點動能的增量 . 功和動能都與 參考系有關(guān)；動能定理僅適用于慣性系 .注意6 例 2 一質(zhì)量為1.0kg 的小球系在長為1.0m 細(xì)繩下 端 , 繩的上端固定在天花板上 . 起初把繩子放在與豎直線成 角處, 然后放手使小球沿圓弧下落 . 試求繩與豎直線成 角時小球的速率 .解 7由動能定理得81） 萬有引力作功以 為參考系， 的位置矢量為 . 一 萬有引力、重力、彈性力作功的特點 對 的萬有引力為由 點移動到 點時 作功為 3-5 保守力與非保守力 勢能9AB2 ） 重力作功103 ） 彈性力作功11 保守力: 力所作的功與路徑無關(guān)，僅決定于相互作用質(zhì)點的始末相對位置 .二 保守力和非

3、保守力重力功彈力功引力功12非保守力: 力所作的功與路徑有關(guān) .（例如摩擦力） 物體沿閉合路徑運動 一周時, 保守力對它所作的功等于零 .13三 勢能勢能 與物體間相互作用及相對位置有關(guān)的能量 . 保守力的功彈性勢能引力勢能重力勢能彈力功引力功重力功14勢能具有相對性，勢能大小與勢能零點的選取有關(guān) . 勢能是狀態(tài)函數(shù)令 勢能屬于整個系統(tǒng).說明 勢能計算15 四 勢能曲線彈性勢能曲線重力勢能曲線引力勢能曲線16一 質(zhì)點系的動能定理 質(zhì)點系動能定理 注意:內(nèi)力可以改變質(zhì)點系的動能內(nèi)力功 對質(zhì)點系，有 對第 個質(zhì)點，有3-6 功能原理 機械能守恒定律外力功17機械能質(zhì)點系動能定理 非保守力的功二 質(zhì)

4、點系的功能原理質(zhì)點系的功能原理 質(zhì)點系機械能的增量等于外力和非保守內(nèi)力作功之和 .18當(dāng)時，有 功能原理三 機械能守恒定律 機械能守恒定律 只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點系的機械能保持不變 . 守恒定律的意義 不究過程細(xì)節(jié)而能對系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，這是各個守恒定律的特點和優(yōu)點 .19例 如圖的系統(tǒng)，物體 A，B 置于光滑的桌面上，物體 A 和 C, B 和D 之間摩擦因數(shù)均不為零. 首先用外力沿水平方向相向推壓 A 和 B，使彈簧受到擠壓，后拆除外力，則 A 和 B 彈開過程中，對 A、B、C、D 組成的系統(tǒng) （A）動量守恒，機械能守恒 . （B）動量不守恒，機械能守恒 . （C）動量不守恒，機

5、械能不守恒 . （D）動量守恒，機械能不一定守恒 .DBCADBCA20例 1 一雪橇從高度為50m 的山頂上點A沿冰道由靜止下滑,山頂?shù)缴较碌钠碌篱L為500m . 雪橇滑至山下點B后,又沿水平冰道繼續(xù)滑行,滑行若干米后停止在C處 . 若摩擦因數(shù)為0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的路程 . (點B附近可視為連續(xù)彎曲的滑道.忽略空氣阻力 .)21已知求解 以雪橇、冰道和地球為一系統(tǒng)，由功能原理得又22可得由功能原理代入已知數(shù)據(jù)有23例 2 有一輕彈簧, 其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點P, 另一端系一質(zhì)量為m 的小球, 小球穿過圓環(huán)并在圓環(huán)上運動(不計摩擦) .開始小球靜止于點 A, 彈簧處

6、于自然狀態(tài),其長度為圓環(huán)半徑R; 當(dāng)小球運動到圓環(huán)的底端點 B時,小球?qū)A環(huán)沒有壓力. 求彈簧的勁度系數(shù).解 以彈簧、小球和地球為一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)機械能守恒取圖中點 為重力勢能零點24又 所以即系統(tǒng)機械能守恒, 圖中 點為重力勢能零點25例 3 在一截面積變化的彎曲管中，穩(wěn)定流動著不可壓縮的密度為 的流體. 點 a 處的壓強為 p1、截面積為A1 ,在點b 處的壓強為p2 截面積為A2 .由于點 a 和點 b 之間存在壓力差, 流體將在管中移動. 在點 a 和點b 處的速率分別為 和 .求流體的壓強和速率之間的關(guān)系 .26則 解 取如圖所示坐標(biāo),在 時間內(nèi) 、 處流體分別 移動 、

7、 . 又27由動能定理得得即常量28若將流管放在水平面上，即常量 伯努利方程則有常量29若將流管放在水平面上，即則有常量即若則30三種宇宙速度31四 宇宙速度 牛頓的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理插圖，拋體的運動軌跡取決于拋體的初速度32設(shè) 地球質(zhì)量 , 拋體質(zhì)量 , 地球半徑 .解 取拋體和地球為一系統(tǒng) ，系統(tǒng)的機械能 E 守恒 .1） 人造地球衛(wèi)星 第一宇宙速度 第一宇宙速度 ，是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星所需的最小速度 .33解得由牛頓第二定律和萬有引力定律得34地球表面附近故計算得第一宇宙速度352）人造行星 第二宇宙速度設(shè) 地球質(zhì)量 , 拋體質(zhì)量 , 地球半徑 . 第二宇宙速度 ，是拋體脫離地球引

8、力所需的最小發(fā)射速度 . 取拋體和地球為一系統(tǒng) 系統(tǒng)機械能 守恒 .當(dāng)若此時則36計算得第二宇宙速度373） 飛出太陽系 第三宇宙速度 第三宇宙速度 ，是拋體脫離太陽引力所需的最小發(fā)射速度 .設(shè) 地球質(zhì)量 , 拋體質(zhì)量 , 地球半徑 , 太陽質(zhì)量 , 拋體與太陽相距 . 38取地球為參考系,由機械能守恒得 取拋體和地球為一系統(tǒng)，拋體首先要脫離地球引力的束縛, 其相對于地球的速率為 . 取太陽為參考系 , 拋體相對于太陽的速度為 ，地球相對于太陽的速度則如 與 同向,有39要脫離太陽引力，機械能至少為零則由于 與 同向,則拋體與太陽的距離 即為地球軌道半徑 設(shè)地球繞太陽軌道近似為一圓，則40計算

9、得第三宇宙速度取地球為參照系計算得41拋 體 的 軌 跡 與 能 量 的 關(guān) 系橢 圓(包括圓)拋物線雙曲線42 完全非彈性碰撞 兩物體碰撞后,以同一速度運動 . 碰撞 兩物體互相接觸時間極短而互作用力較大的相互作用 . 完全彈性碰撞 兩物體碰撞之后， 它們的動能之和不變 . 非彈性碰撞 由于非保守力的作用 ，兩物體碰撞后，使機械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能，化學(xué)能等其他形式的能量 .3-7 完全彈性碰撞 完全非彈性碰撞43 例 1 在宇宙中有密度為 的塵埃, 這些塵埃相對 慣性參考系是靜止的 . 有一質(zhì)量為 的宇宙飛船以 初速 穿過宇宙塵埃, 由于塵埃粘貼到飛船上, 致使 飛船的速度發(fā)生改變 . 求飛船的速度與其在塵埃中飛 行時間的關(guān)系 . (設(shè)想飛船的外形是面積為S的圓柱體)解 塵埃與飛船作完全非彈性碰撞, 把它們作為一個系 統(tǒng), 則 動量守恒 .即得44已知求 與