化為下三角行列式課件

1、例1 計算4階行列式解法一解法二例2 證明奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式等于零.設(shè)A是n階反對稱矩陣，n是奇數(shù)，則由AT= -A可得，又由性質(zhì)1可知，又由性質(zhì)4的推論3可知，因此例3 計算4階行列式例4 計算4階行列式解：解千萬要注意“行列式交換兩行，符號要改變. ”關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)性質(zhì)5 對于n階行列式有例6 已知5階行列式解按行列式的第4行展開，則可得求第一行各元素的代數(shù)余子式之和例7 設(shè)n階行列式解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成性質(zhì)6 設(shè)L是有如下分塊形式的( n + p )階矩陣：證明可經(jīng)過變換rij(k)化為下三角行列式，設(shè)為可經(jīng)過變換cij(k)化為下三角行列式，設(shè)為行作

2、變換的前對krnij)(化為下三角形行列式把列作變換，再對后pkcij),(故例8 設(shè)計算解：等式兩邊取行列式，則因此，由行列式的定義可知，在其展開式中，a4項的系數(shù)是1，所以小結(jié)1. 2. 如果行列式中有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.3. 行列式的單行（列）可加性4. 行列式的初等變換5. 行列式一行(列) 與其它行（列)的代數(shù)余子式的乘積之和為零.6. 分塊矩陣的行列式 矩陣乘積的行列式第二章 行列式第四節(jié) 行列式的計算二、小結(jié)一、行列式計算的幾種常見方法在用降階法計算行列式時，總是先結(jié)合行列式的性質(zhì)把行列式的某一行(列)的元素盡可能多地化為零，然后再展開。例1 計算4階行列式，所解

3、列元素全為行、第注意到行列式的第333注意到此行列式第3行不為零，按此行展開，有例3 計算 階行列式解法1將第 列都加到第一列得第1行的 (-1)倍分別加到其余各行！對于各行(列)元素相加后相等的行列式，可把第2至第n列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再化簡計算 .例3 計算n 階行列式解法2升階法將所求行列式增加一行，一列，使之與原行列式相等，然后計算升階后的行列式 .型行列式用對角元消去第一行(列)的元素，從而將行列式化為三角形行列式 .例4 計算n階行列式當(dāng)行列式中某行(列)至多有兩個非零元時，可按此行(列)展開 .遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行

4、列式的線性關(guān)系式，再根據(jù)此關(guān)系式遞推求得所給n階行列式的值 . 證用數(shù)學(xué)歸納法例5證明范德蒙德(Vandermonde)行列式,則得行為止倍，一直進行到第2減去上一行的，從最后一行起，每行1x那么，對Dn n-1階范德蒙德行列式數(shù)學(xué)歸納法 主要用于行列式的證明 例6 計算行列式 解將Dn+1的第n+1行依次換到第一行， 第n行依次換到 第二行， ， 將Dn+1的第n+1列依次換到第一列， 第n列依次換到 第二列， ， 利用Vandermonde行列式計算行列式大下標(biāo)減去小下標(biāo)元素即得解:換到第2列，列依次，再將第n行依次換到第將第2行n例8 計算n階行列式分塊法 當(dāng)行列式中大片位置上是零元素時

5、，則可 用行列式的性質(zhì)將其化為 或從而用性質(zhì)6計算 .解法二將第n行乘以-a加到第一行上，再對換1, n行，則解法三按第一行展開n-1階例9 計算行列式(n3)解將行列式第一列拆開，則可得拆分法利用行列式的單行(列)可加性，把要計算的行列式拆成若干個同階行列式之和 .例10 計算下列行列式例10 計算下列行列式加到下一行上去列展開，得對后一行列式，按第1;）倍行起，每一行的（對前一個行列式，從第11-解：按第一列展開，則即(1)由(1)可得，設(shè)Tn=Dn-5Dn-1，則Tn=2Tn-1，遞推可得Tn=2n-2T2即Dn=5Dn-1+2n(2)由(1)可得，設(shè)Sn=Dn-2Dn-1，則Sn=5S

6、n-1，遞推可得Sn=5n-2 S2即Dn=2Dn-1+5n(3)聯(lián)立(2)，(3)，有對于規(guī)律性較強且零元素較多的行列式，可以用降階法建立遞推關(guān)系式計算行列式 .由遞推關(guān)系式求Dn:(1) 求出方程的兩個根p, q .則(1)(2)聯(lián)立(1),(2)求出Dn或者僅由(1)或(2)求出Dn .(2) 先求出D1, D2, D3等，找出遞推規(guī)律，再用數(shù)學(xué)歸納法證明 .例11 計算解對第一行展開，則故記Tn=Dn-Dn-1，則Tn=Tn-1，Tn=Tn-1=T2=1，因此Dn=Dn-1+1由上式遞推可得，Dn=Dn-1+1=2+Dn-2=n-1+D1=n+1，注：得到遞推關(guān)系式Dn=2Dn-1Dn

7、-2后，也可由歸納法求Dn .由于D1=2, D2=3, D3=2D2-D1=4,類推可得Dn=n+1,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)k=1時，D1=2 . 假設(shè)當(dāng)kn時，Dk=k+1, 當(dāng)k=n時，Dn=2Dn-1Dn-2=2n- (n-1)=n+1 .例12 計算n階行列式解：即(1)由的對稱性，可得(2)因此，當(dāng)時，當(dāng)時，由(1)遞推可得1. 定義法當(dāng)行列式中非零元素特別少時，可用此法 .2. 化三角法利用行列式的性質(zhì)將所求行列式化為上三角行列列式或下三角行列式 .3. 降階法應(yīng)用行列式按行(列)展開定理，把高階行列式的計算轉(zhuǎn)化為低階行列式的計算 .在具體計算時，總是小結(jié)行列式計算的方法先結(jié)

8、合行列式的性質(zhì)，把行列式的某一行(列)的元素盡可能多地化為零，然后再展開 .4. 遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式的線性關(guān)系式，再根據(jù)此關(guān)系式遞推求得所給n階行列式的值 .由遞推關(guān)系式求Dn:(1) 求出方程的兩個根p, q .則(1)(2)聯(lián)立(1),(2)求出Dn或者僅由(1)或(2)求出Dn .(2) 先求出D1, D2, D3等，找出遞推規(guī)律，在用數(shù)學(xué)歸納法證明 .5. 數(shù)學(xué)歸納法 主要用于行列式的證明 6. 利用Vandermonde行列式計算行列式7. 分塊法 當(dāng)行列式中大片位置上是零元素時，則可用行列式的性質(zhì)將其化為 從而用性質(zhì)6計算.或8

9、. 拆分法 利用行列式的單行(列)可加性，把要計算的行列式拆成若干個同階行列式之和 .9. 升階法將所求行列式增加一行，一列，使之與原行列式相等，然后計算升階后的行列式 .幾種行列式的計算方法用對角元消去第一行(列)的元素，從而將行列式化為三角形行列式 .型行列式1.2. 除對角元外，上三角各元素相等，下三角各元素相等的行列式，可用拆分法，遞推法求解 .4. 對于規(guī)律性較強且零元素較多的行列式，可以用降階法建立遞推關(guān)系式計算行列式 .此行展開 .3. 對于各行(列)元素相加相等的行列式，可把第2至至第n列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再化簡計算 .5. 當(dāng)行列式中某行(列)至多有兩個非零元時，可按9. 升階法將所求行列式增加一行，一列，使之與原行列式相等，然后計算升階后的行列式 .幾種行列式的計算方法用對角元消去第一行(列)的元素，從而將行列式化為三角形行列式 .型行列式1.3. 對于規(guī)律性較強且零元素較多的行列式