《數(shù)學(xué)分析續(xù)論》模擬題

1、感謝賞析數(shù)學(xué)解析續(xù)論模擬試題（一）一、單項選擇題（65）（）設(shè)an為單調(diào)數(shù)列，若存在一收斂子列anj，這時有l(wèi)imanlimanj；an不必定收斂；an不必定有界；nj當且僅當早先假設(shè)了an為有界數(shù)列時，才有成立（）設(shè)f(x)在R上為一連續(xù)函數(shù)，則有當I為開區(qū)間時f(I)必為開區(qū)間；當f(I)為閉區(qū)間時I必為閉區(qū)間；當f(I)為開區(qū)間時I必為開區(qū)間；以上、都不必定成立（）設(shè)f(x)在某去心鄰域U(x0)內(nèi)可導(dǎo)這時有若limf(x)A存在，則f(x0)A；若f在x0連續(xù)，則A成立；xx0若f(x0)A存在，則limf(x)A；以上、都不必定成立xx0（）設(shè)f(x)在a,b上可積，則有.f(x)在

2、a,b上必定連續(xù)；f(x)在a,b上至多只有有限此中止點；f(x)的中止點不可以到處濃密；f(x)在a,b上的連續(xù)點必定到處濃密（）設(shè)un為一正項級數(shù)這時有n1若limun0,則un收斂；若unun11；收斂，則limnn1n1nunC若un收斂，則limnun1；以上、都不必定成立n1n感謝賞析感謝賞析二、計算題（104）（）試求以下極限：xet22d13(2n1)0tn；limlimn3x2nxe2td0t（）設(shè)ux,u01,ex2y2yf(u)y2arctanx試求f(u)與f(u0)（）試求由曲線yx21，直線x2，以及二坐標軸所圍曲邊梯形的面積S（）用條件極值方法（Lagrange乘

3、數(shù)法）導(dǎo)出從固定點(x0,y0)到直線AxByC0的距離計算公式三、證明題（103）（）設(shè)f(x)與g(x)在a,b上都連續(xù)試證：若f(a)g(a),f(b)g(b)，則必存在x0(a,b)，滿足f(x0)g(x0)（）證明f(x)xlnx在其定義域上為一嚴格凸函數(shù)，并導(dǎo)出不等式：abcabcaabbcc,3此中a,b,c均為正數(shù)(提示：利用詹森不等式)（）證明：(1)nn02n14感謝賞析感謝賞析解答一、答（）；（）；（）；（）；（）二、解（）13(2n1)nlim3nlimn33；nnn3x2xet2dtex2et2dt00limlim2x22x2x2txeedt0 xlim20et2dt

4、2ex20.x2limx2xex2xef(u)2xex2y22yex2y2,f(u0)2e54e5（）yx21x2y2x2y255（）所圍曲邊梯形如右圖所示其面積為y12)dx21)dxyx21S(1x(x201y1x2x31x322.(x3)0(3x)1O12x（）由題意，所求距離的平方（d2）為(xx0)2(yy0)2的最小值，此中(x,y)需滿足AxByC0，故此為一條件極小值問題依照Lagrange乘數(shù)法，設(shè)L(xx0)2(yy0)2(AxByC)，并令Lx2(xx0)A0,Ly2(yy0)B0,（）LAxByC0.感謝賞析感謝賞析由方程組（）可挨次解出：xx0A,yy0B2,2CAx

5、ByAx0By02(A2B2),Ax0By0C,2A2B2(xx0)2(yy0)22(A2B2)(Ax0By0C)24,A2B2d(xx0)2(yy0)2Ax0By0C.A2B2最后結(jié)果就是所求距離d的計算公式注上邊的求解過程是由（）求出后直接獲得d2，而不再去算出x與y的值，這是一種目注明確而又簡捷的解法三、證（）只需引入輔助函數(shù)：h(x)f(x)g(x)易知h(x)在a,b上連續(xù)，滿足h(a)0,h(b)0，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在x0(a,b)，滿足h(x0)0，即f(x0)g(x0)（）f(x)xlnx的定義域為(0,)，在其上滿足：f(x)lnx1,f(x)10,x(

6、0,)，x所以f(x)為一嚴格凸函數(shù)依據(jù)詹森不等式，對任何正數(shù)a,b,c，恒有abcln(abc)33ln(abc)abc31(alnablnbclnc)3ln(aabbcc).最后借助函數(shù)lnx的嚴格遞加性，便證得不等式abcabcaabbcc3（）因為較難直接求出該級數(shù)的部分和，所以沒法利用部分和的極限來計算級數(shù)的和此時可以考慮把該級數(shù)的和看作冪級數(shù)(1)nx2n11處的值，S(x)在xn02n1感謝賞析感謝賞析于是問題轉(zhuǎn)為計算S(x)不難知道上述冪級數(shù)的收斂域為1,1，經(jīng)逐項求導(dǎo)獲得S(x)(1)nx2n,x1,1；n0這已經(jīng)是一個幾何級數(shù)，其和為S(x)(x2)n1,x1,11x2n0再經(jīng)過兩邊求積分，還原得S(x)S(0)xS(t