數(shù)學(xué)歸納法(第一課時)

1、2.3 數(shù)學(xué)歸納法第一課時 問題1：在儀容儀表檢查中，如何斷定我們班的所有同學(xué)不戴耳環(huán)？方法一： 檢查每位同學(xué)，確認(rèn)每位同學(xué)不戴耳環(huán)。完全歸納法方法二： 檢查局部同學(xué)，確認(rèn)他們不戴耳環(huán)。不完全歸納法定義： 由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法叫歸納法。 元素個數(shù)無限多個（如與自然數(shù)有關(guān)的命題）完全歸納法不完全歸納法結(jié)論的正確性實際的可行性 用完全歸納法得到的結(jié)論正確嗎？ 不完全歸納法呢？ 如果一個問題中的元素有無限多個 如與自然數(shù)有關(guān)的命題，怎樣 歸納出其結(jié)論的正確性？：問題2：正確不一定正確不可行可 行問題3：通過看視頻發(fā)現(xiàn)多米諾骨牌游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？

2、1、第一塊骨牌倒下2、前一塊骨牌倒下一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下 多米諾骨牌 數(shù)學(xué)命題證明目標(biāo) 每片骨牌倒下要求 1第一片要倒下2假設(shè)前片倒下，那么后片也倒下結(jié)論 由12知 游戲成功 神奇的比照每個n值都成立 1 n=1時要成立 2假設(shè)n=k時成立 那么n=k+1時也成立 由12知 命題成立思考：這個猜測與多米諾骨牌游戲有沒有相似的地方？ 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，可按以下步驟進(jìn)行：1證明當(dāng)n取第一個值n0(例如n0=1) 時命題 成立; 2假設(shè)當(dāng)n=k(kN* ,k n0)時命題成立 證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.由(1),(2)可知，命題對從n0開始的所有正整數(shù)都成立。 這種證明

3、方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 (歸納遞推) 遞推的依據(jù) (歸納奠基) 遞推的根底例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明證明: (1)當(dāng)n=1時,左=12=1，右=n=1時，等式成立(2)假設(shè)n=k時，等式成立，即那么，當(dāng)n=k+1時左=12+22+k2+(k+1)2= =右n=k+1時，等式也成立由(1)、(2)可知，當(dāng)nN*時，等式都成立步驟： 遞推根底不可少，根底歸納假設(shè)要用到，依據(jù)結(jié)論寫明莫忘掉。結(jié)論例2：證明方法是否正確？為什么？n=1時，左邊=1，右邊= =1 等式成立n=2時，左邊=1+3=4，右邊= =4 等式成立n=3時，左邊=1+3+5=9，右邊= =9 等式成立 從而可知，對nN等式都成

4、立理由：因為是不完全歸納法，缺乏遞推的依據(jù)，結(jié)論不可靠，即使驗證 了100個正確也是不嚴(yán)密的。解：等式成立。證明如下： 135(2n1) 135(2n1)n21解：等式成立。證明如下：假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即135(2k1)k21那么當(dāng)n=k+1時，135(2k1)(2k1)k21(2k1) (k1)21當(dāng)n=k+1時等式也成立對nN等式都成立理由：第一步?jīng)]有證明正確，缺乏遞推的根底，從而假設(shè)沒有根據(jù)。強(qiáng)調(diào)： 兩個步驟缺一不可，因為有第一步無第二步，就是不完全歸納法，結(jié)論就不可靠；有第二步而無第一步，第二步中的假設(shè)就失去了根底。 第二步的證明n=k+1成立中必須用歸納假設(shè)， 并且證明必須詳細(xì)。1、用數(shù)學(xué)歸納法證明 35(2n1)n1n1時， 第一步應(yīng)驗證n_時，等式成立。思考與練習(xí)：2 在驗證n=1時，左端計算所得項為 （ ） (A) 1 (B) 1+2 (C) 123 (D) 12321 則當(dāng)nk1時，左端應(yīng)在nk時的左端加上 _ 2、用數(shù)學(xué)歸納法證明1232nn(2n1)時，B(2k+1)+(2k+2)例3：2、數(shù)學(xué)歸納法：證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題。 小結(jié)：今天我們學(xué)習(xí)了1、由特殊到一般的歸納思想。步驟： 證明當(dāng)n取第一