第11-17屆初一華杯賽試題

1、第十七屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試卷(初一組筆試版)第十一屆全國“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試卷（初一組）（時間2006年3月18日10：0011：00）一、選擇題 以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在每題后面的圓括號內(nèi)。（每小題6分）1、下面用七巧板組成的六個圖形中， 有對稱軸的圖形為（ ）個（不考慮拼接線）（A）5 （B） 2 （C）3 （D）42、有如下四個命題：最大的負數(shù)是1； 最小的整數(shù)是1； 最大的負整數(shù)是1； 最小的正整數(shù)是1； 其中真命題有（ ）個（A）1個 （B）2 個 （C）3個 （D）4個3 、如果a，b，c均為正數(shù)，且a（bc）

2、152，b（ca）162，c（ab）170，那么abc的 值是（ ） （A）672 （B）688 （C）720 （D）7504、下圖給出了一個立體圖形的正視圖、左視圖和右視圖，圖中單位為厘米。立體圖形的體積為（ ）立方厘米。 （A）2 （B）2.5 （C）3 （D）3.5 5、甲、乙兩輪船在靜水中航行的速度分別為是v1，v2，(v1v2)，下游的A港與上游的B港間的水路路程為150千米。若甲船從A港，乙船從B港同時出發(fā)相向航行，兩船在途中的C點相遇。若乙船從A港，甲船從B港同時出發(fā)相向航行，兩船在途中D點相遇,已知C、D間的水路路程為21千米。則v1v2等于（ ）（A） （B） （C） （D）

3、6、有一串?dāng)?shù)：1，22，33，44，20042004，20052005，20062006。大明從左往右依次計算前面1003個數(shù)的末位數(shù)字之和，并且記為a，小光計算余下的1003個數(shù)的末位數(shù)字之和，并且記為b,則ab =（ ）。（A）3 （B）3 （C）5 （D）5二、A組填空題（每小題8分）7、如圖，以AB為直徑畫一個大半圓。BC=2AC 分別以AC，CB為直徑在大半圓內(nèi)部畫兩個小半圓，那么陰影部分的面積與大半圓面積之比等于_ _。計算：（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）=_ _9、加油站A和商店B在馬路MN的同一側(cè)，A到MN的距離大于B到MN的距離，AB=7米，一個行人P在馬路

4、MN上行走，問：當(dāng)P到A的距離與P到B的距離之差最大時，這個差等于_ _米。 如果=42，那么xy=_ _三、B組填空題（每題兩個空，每個空4分）11、列車提速后，某次列車21：00從A市出發(fā)，次日7：00正點到達B市，運行時間較提速前縮短了2小時，而車速比提速前平均快了20千米/小時，則提速前的速度平均為 千米/小時，兩市相距 千米。12、在算式 第 十 一 屆 華 杯 賽 中，漢字“第、十、一、屆、華、杯、賽”代表19中的9個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，恰使得加法算式成立。則不同的填法共有 ；三位數(shù)華杯賽的最大可能值為 。13、在由x、y、z構(gòu)成的單項式中，挑出滿足下列條件的單項式：1

5、）系數(shù)為1；2）x、y、z的冪次之和小于等于5；3）交換x和z的冪次，該單項式不變。那么你能挑出這樣的單項式共有 個。在挑出的單項式中，將x的冪次最低的兩兩相乘，又得到一組單項式，將這組單項式相加（同類項要合并）得到一個整式，那么該整式是 個不同的單項式之和。14、下圖中有 個正方形，有 個三角形。第十一屆全國“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽，初一組試題答案一、選擇題（每小題6分，滿分36分）題號123456答案DBCABC二、A組填空題（每小題8分，滿分32分）題號78910答案4/91.9870三、B組填空題（每小題兩個空，每個空4分，每小題8分，滿分32分）題號11121314答案120

6、, 120016, 65912, 995; 155一、選擇題1.D 62.B 最大的負整數(shù)是-1和最小的正整數(shù)是1正確。3.C ab+ac=152 （1），bc+ab=162 （2），ac+bc=170 （3）（2）（1）得 （b-a）c=10 （4）（3）（4）得 （a+b）/（b-a）=17 即a=8b/9 （5）（3）（2）得 a（c-b）=8 （6）（1）（6）得 （b+c）/（c-b）=19 即c=10b/9 （7）（6）和（7）代入（3） （8b/9）（10b/9）+b（10b/9）=170得b=9，可知a=8，c=10，abc=7204.A （2/2）21+1/2（2/2）22=

7、25.B 150V1/（V1a+V2+a）-150V2/（V1+a+V2-a）=21，（V1-V2）/（V1+ V2）=7/50V1：V2=57：436.C 第4項至第1003項的末位數(shù)字之和和第1004項至第2003項末位數(shù)字之和相同a-b1+22+33-（20042004+20052005+20062006）1+4+7-（6+5+6）-5（mod10）二、A組填空題7.4/9 設(shè)AB=2r 則r2/2-（r/3）2/2+（2r/3）2/2/ (r2/2)=1-（1/9+4/9）=4/98.1.98 原式=22/（13）32/（24） 42/（35） 52/（46） 62/（57） 982/

8、（9799） 992/（98100）=299/100=1.989.7 三角形兩邊之差小于第三邊，當(dāng)P在AB延長線與MN交點的位置時PA-PB=7最大。10.0 由|x-1|5知-4x6，-123x18由|y+2|4知-6y2，-8-4y24由|3x-4y|=42，知3x=18，-4y=24，此時x=6，y=-6，x+y=0三、B組填空題11100，1200(注:組委會提供的標(biāo)準(zhǔn)答案是120,1200,此答案有部分錯誤)設(shè)提速前的速度平均為V千米/小時，兩市相距S千米。S/（V+20）=10 （1）S/V=10+2 （2）由（1）（2）得V=100，S=12001216，659被加數(shù)千位是1，被

9、加數(shù)與加數(shù)個位分別是7和9，被加數(shù)與加數(shù)十位數(shù)字之和是9，被加數(shù)百位與加數(shù)百位數(shù)字之和是9，有3+6=9與4+5=9。加法算式從右至左選擇數(shù)字有2141211=16（種）不同填法。 三位數(shù)華杯賽最大可以是6591312，9一.1 y y2 y3 y4 y5 xz xyz xy2z xy3z x2z2 x2yz2二.y,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9 共9項14. 95，155邊長是1，2，3，4，5，6的正方形有6X6+5X5+4X4+3X3+2X2+1X1=（6713）/6=91（個），對角線長是2的正方形有4個，共95個。直角邊為1的三角形有362=72（個）；斜邊長是2的

10、三角形，1-6行依次有4+4+4+3+1+4=20（個），1-6列依次3+3+3+2+3+3=17（個），共20+17=37（個）；直角邊長是2的1-2行8個，2-3行6個，3-4行2個，4-5行8個，5-6行6個，共8+6+2+8+6=30（個）；直角邊長是3的1-3行4個，3-5行2個，4-6行4個，共4+2+4=10（個）；斜邊長是4的1-4行1個，2-5行2個，4-5行1個，共1+2+1=4（個）；直角邊長是4的3-6行2個。共72+37+30+10+4+2=155（個）第十一屆全國華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷(初一組)（紅色字為參考答案）(時間2006年4月22日10:00l l

11、 :30一、.填空1、計算：（ ）2、當(dāng)時，多項式的值是0，則多項式（ 5 ）3、將若干本書分給幾名小朋友,如果每人分4本書,就還余下20本書,如果每人分8本書,就剩有1名小朋友雖然分到了一些書,但是不足8本,則共有( 6 )名小朋友4、圖l中的長方形ABCD是由四個等腰直角三角形和一個正方形EFGH拼成.己知長方形ABCD的面積為120平方厘米,則正方形EFGH的面積等于( 10 )平方厘米5、滿足方程|x-2006|-1|+8|=2006的所有x的和為( 4012 )6、一個存有一些水的水池,有一個進水口和若干個口徑相同的山水口,進水口每分鐘進水3立方米.若同時打開進水口和三個出水口,池中

12、水16分鐘放完;若同時 打開進水口與五個出水口,池中水9分鐘放完.池中原有水( 288 )立方米7、已知，則小于S的最大的整數(shù)是( 0 )8.如圖2,數(shù)軸上標(biāo)有2n+1個點,它們對應(yīng)的整數(shù)是:為了確保從這些點中可以取出2006個,其中任何兩個點之間的距離都不等于4,則n的最小值是( 2005 )二.解答下列各題,要求寫出簡要過程9、如圖3,ABCD是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC和BD是對角線.圖中的陰影部分以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周,則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方厘米?(z取3.14)解: 設(shè)三角形BCO以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體的體積是S,S等于高為10厘米,底面半徑是6厘米

13、的圓錐的體積減去2個高為5厘米,底面半徑是3厘米的圓即:S=10-25=90, 2S=180=565.2(立方厘米). 答:體積是565.2立方厘米.10、將21個整數(shù)分為個數(shù)不相等的六組數(shù),分別計算各組的平均值,那么這六個平均值的和最大是多少?解:分為個數(shù)不相等的6組,整數(shù)的個數(shù)分別為1、2、3、4、5、6. 應(yīng)當(dāng)將數(shù)值大的分在整數(shù)個數(shù)少的組中.所以,可以如下分組:第一組10第二組98第三組765第四組4321第五組0-1-2-3-4第六組-5-6-7-8-9-10計算它們的平均值的和:答:最大的和是。11、當(dāng)m =-5，-4，-3，-1，0，1，3，23，124，1000時,從等式(2m+

14、1)x+(23M)y+1-5m =0 可以得到10個關(guān)于x和y的二元一次方程,問這10個方程有沒有公共解?如果 有,求出這些公共解.解:分別取m =0和m =1,得到兩個方程: 先求兩個方程的公共解,把它們看作二元一次方程組,解得:x =1,y =-1. 把x=1,y =-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒為0.此即意味著: 當(dāng)m =-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000時,(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0成立所以, x=1答:這些方程的公共解是x=1,y =-1.12、平面上有5條直線,其中任意兩條都不平行,那么在這5條直線兩兩相交所成的角中

15、,至少有一個角不超過36度,請說明理由.解:在平面上任取一點。,過O點作已知的5條直線的平行線 將O為中心的周角分為10個彼此依次相鄰的小的角,這10個小角的和恰等于3600,所以,至少有一個小角不超過360。三.解答下列各題,要求寫出詳細過程13.如圖4,A、B和C是圓周的三等分點,甲、乙、丙 三只螞蟻分別從A、B 、C三個點同時出發(fā),甲和乙 沿圓周逆時針爬行,丙順時針爬行.己知甲、乙、 丙三只螞蟻爬行的速度之比是8:6:5,求出三只螞蟻 所有的會合地點.解: 設(shè)圓周周長為3L,甲、乙、丙的速度分別為8、6、5;甲第一次追上乙時爬行的時間=，甲第一次追上乙時爬行的路程=甲第k+1次追上乙時爬

16、行的時間=,甲第k+1次追上乙時爬行的路程=因為3(l+4k)L是圓周周長的整數(shù)倍,所以,甲總在B點追上乙在時刻,丙爬行的路程=當(dāng)k=1時,上式是。因為丙是從C出發(fā)順時針爬行，所以丙爬行至B處,意味甲、乙、丙能夠在B點會合.答:甲、乙、丙僅僅在B處或合.14、己知m，n都是正整數(shù),并且，證明:，若，求m和n的值.解:同樣,由題設(shè),，所以,，即13+n是1313的因數(shù),1313只有3個因數(shù):1，13，132所以,13+n=132, n=132-13=156, m=12.求出正整數(shù)m,n另一方法:使，設(shè)m =K, n=Kb, (,b)=1, 代入上式, (b一)和,b都互質(zhì),一定整除K. 記是正整

17、數(shù), 則有由上式和b ,b=13, =1,d=l 所以,K=12,m和n有唯一解 m=13 n =156.答:m=13n =156.特別說明: 因給各題的解答未必唯一,上述解答僅供參考.第十二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試題及參考答案（初一組）裝訂線裝訂線線親訂學(xué)校 姓名 考號 學(xué)號 復(fù)賽試卷（初一組）（時間2007年4月21日10：0011：30）一、填空（每題10分，共80分）1、計算： 。2、“b的相反數(shù)與a的差的一半的平方”的代數(shù)表達式為 。3、規(guī)定符號“”為選擇兩數(shù)中較大者，規(guī)定符號“”為選擇兩數(shù)中較小者，例如：35=5，35=3，則4、已知 ，那么 = 。5、用一些棱長是1的

18、小正方體碼放成一個立體，從上向下看這個立體，如圖1，從正面看這個立體，如圖2，則這個立體的表面積最多是 。 圖1（從上向下看） 圖2（從正面看）6、滿足不等式的整數(shù)n的個數(shù)是 。7、某年級原有學(xué)生280人，被分為人數(shù)相同的若干個班。新學(xué)年時，該年級人數(shù)增加到585人，仍被分為人數(shù)相同的若干個班，但是多了6個班，則這個年級原有 個班。8、如果銳角三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)，并且最大角是最小角的5倍，那么這個三角形的最大角的度數(shù)是 。二、簡答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9、已知a，b，c都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式 的值能被13整除時，那么代數(shù)式 的值是否一定能被13整除，為什么？

19、10、如圖3所示，在四邊形ABCD中，四邊形ABEM，MEFN，NFCD的面積分別記為，和，求 =？（提示：連接AE、EN、NC和AC）11、圖4是一個99的方格圖，由粗線隔為9個橫豎各有3個格的“小九宮”格，其中，有一些方格填有1至9的數(shù)字，小鳴在第九行的空格中各填入了一個不大于9的正整數(shù)，使每行、每列和每個“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)，然后小鳴將第九行的數(shù)字從左向右寫成一個9位數(shù)。請寫出這個9位數(shù)，簡單說明理由。12、平面上有6個點，其中任何3個點都不在同一條直線上，以這6個點為頂點可以構(gòu)造多少個不同的三角形？從這些三角形中選出一些，如果要求其中任何兩個三角形沒有公共頂點，最多可以選出多少

20、個三角形？如果要求其中任何兩個三角形沒有公共邊，最多可以選出多少個三角形？（前兩問不要求說明理由）三、詳答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13、壯壯、菲菲、路路出生時，他們的媽媽都是27歲，某天三位媽媽王雪、劉芳和李薇閑談時，王雪說：“ HYPERLINK 菲菲比劉芳小29歲”；李薇說：“路路和劉芳的年齡的和是36歲”，劉芳說：“路路和王雪的年齡的和是35歲”。已知壯壯、菲菲、路路和他們的媽媽6個人年齡的總和是105歲。請回答：誰是路路的媽媽？壯壯、菲菲和路路的年齡各是多少歲？14、請回答：能否表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和？能否表示為3個互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)的和？如果能

21、，請給出一個例子；如果不能，請說明理由。第十二屆全國“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽復(fù)賽試題參考答案（初一組）填空（每題10分，共80分）題號12345678答案97485785二、簡答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9、解：設(shè)x，y，z，t是整數(shù)，并且假設(shè) （1） 比較上式a，b，c的系數(shù)，應(yīng)當(dāng)有 （2） 取 ，可以得到 ，則有 （3）既然 和都能被13整除，就能被13整除?！菊f明】 表式為均能被13整除的兩個代數(shù)式的代數(shù)和，表達方式不唯一，例如：取，則有 ，則有 實際上，（2）是一組二元整系數(shù)不定方程，我們先解第一個，得到 ，這里k是任意整數(shù)，將 代入其余方程，解得 ，這里k

22、是任意整數(shù)，則可以有評分參考：有類似于（3）的代數(shù)表達式，給10分。10、解：如圖3a，連接AE、EN和NC，易知 由 ， ，上面兩個式子相加得 （1）并且四邊形AECN的面積=。 連接AC，如圖3b,由三角形面積公式，易知 ， 上面兩個式子相加得 四邊形AECN的面積= （2）將（1）式和（2）相加，得到 ，既然 ， 因此 圖3b ， 。答：評分參考：能利用三角形面積公式導(dǎo)出結(jié)果（1），給4分；能利用三角形面積公式導(dǎo)出結(jié)果（2），給4分；正確給出答案，給2分。11、解答：填數(shù)的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格。第七行、第八行和第3列有9，所以，原題圖4左下角的“小九宮”

23、格中的9應(yīng)當(dāng)填在（9，2）格 圖4子中；第1列、第2列和第七行有數(shù)字5，所以，在圖4右下角的“小九宮”格中的數(shù)字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有數(shù)字6，圖4中下部的“小九宮”格的數(shù)字6應(yīng)當(dāng)填在（9，6）；此時，在第九行尚缺數(shù)字7和3，由于第9列有數(shù)字7，所以，7應(yīng)當(dāng)填在（9，8）；3自然就填在（9，9）了，填法見圖4a 九位數(shù)是 495186273。評分參考：正確給出答案，給5分；對圖4左邊中間的“小九宮”格的5個空格的填法，能說明理由，給5分，每個空格給1分；即使最后答案不正確，對于推理正確的空格填法，要適當(dāng)給分；12、解答： （1）先從6個點中選取1個做三角形的一個頂點，有6種取法

24、；再從余下的5個點中選取1個做三角形的第二個頂點，有5種取法；再從余下的4個點中選取1個做三角形的第三個頂點，有4種取法。因為任何3個點不在同一條直線上，所以，這樣選出的三個點可以做出1個三角形。但是，如果選出的三個點相同的話，則做出的三角形相同，三個點相同的取法有321=6種，所以，以這6個點為頂點可以構(gòu)造 個不同的三角形。（2）每個三角形有3個頂點，所以，6個點最多只能構(gòu)造2個沒有公共頂點的三角形。（3）用英文大寫字母A、B、C、D、E、F記這6個點，假設(shè)可以選出兩兩沒有公共邊的5個三角形，它們共有15個頂點，需要15個英文大寫字母。這里不同的英文大寫字母僅有 HYPERLINK 6個。因

25、此，這5個三角形中至少有3個三角形有同一個頂點，無妨設(shè)為A。根據(jù)假設(shè)，這3個三角形兩兩沒有公共邊，即除去公共頂點A之外，其余6個頂點互不相同，即表示這6個頂點的字母不相同。但是，除A之外，我們僅有5個不同的字母。所以，不可能存在5個三角形，它們兩兩沒有公共邊。又顯然，和這4個三角形兩兩沒有公共邊。所以，最多可以選出4個三角形，其中任何兩個三角形都沒有公共邊。評分參考：回答第一問正確給3分；回答第二問正確給2分；第三問，回答正確給2分，能解釋理由再給2分。三、解答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13、解：設(shè)劉芳的年齡為x歲。 劉芳和路路的年齡和是36歲，是個偶數(shù)，他們的年齡差也

26、是一個偶數(shù)，而路路和媽媽的年齡的差是奇數(shù)，因此路路的媽媽不是劉芳。注意到菲菲比劉芳小29歲，菲菲的媽媽不是劉芳，所以，壯壯的媽媽是劉芳。壯壯和媽媽劉芳的年齡的和為( 路路歲，他的媽媽應(yīng)當(dāng)是 歲，和為 菲菲歲，她的媽媽應(yīng)當(dāng)是 歲，和為 由于6個人共105歲，所以，。 解出x=32,菲菲比劉芳小29歲，所以菲菲3歲；路路和劉芳的年齡的和是36，路路4歲；路路和王雪的年齡的和是35歲，所以王雪31歲。答：王雪是路路的媽媽；壯壯5歲、菲菲3歲和路路4歲。評分參考：第一步，能判斷出壯壯的媽媽是劉芳，給5分；能正確回答誰是路路的媽媽，給5分；能正確回答3個孩子的年齡，給5分。14、解：（1）由于，故有 。

27、所以，能表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和（表示法不唯一）。（2）不妨設(shè)，現(xiàn)在的問題就是尋找整a，b，c，滿足 由，則有 ，從而 ,所以 。又有，所以 ，故或16。若，則有 ，由于，并且 ，所以 ， 。故 ，100或121。將 、100和121分別代入 ，沒有一個是完全平方數(shù)，說明當(dāng) 時，無解。若 ，則 。類似地，可得：，即 ，此時，不是整數(shù)。 綜上所述，不能表示為3個互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)之和。評分參考：正確回答第一問給5分（答案不唯一）；能得到或16，給6分；能分別對 和16討論能否表示為3個互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)之和，各給2分，共4分；對代數(shù)式合理和正確的推導(dǎo)適當(dāng)給分。特別說明：因為各題的

28、 HYPERLINK 解答未必唯一，上述解答和評分僅供參考?？偡?總分 學(xué)校_ 學(xué)校_ 姓名_ 參賽證號 聯(lián)系電話 電子郵件 密 封 線 內(nèi) 請 勿 答 題第十三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽 初賽試卷（初中組） （ 建議考試時間: 2008 年 3 月 22 日 10:00 一、選擇題（每小題 10 分.以下每題的四個選項中,僅有一個是正確的. 請將表示正確答案的英文字母寫在每題的圓括號內(nèi)） 1若有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖1所示.則下列各式中錯誤的是 （ ）. （A）-ab2 （B） （C） （D）-1 2關(guān)于數(shù)a有下面四個命題: 若,則a必為0; 若,則a,a+1,a-1中至少有一個為

29、零； 若,則a=0,或a=1; 若,則的值必為零. 四個命題中正確的個數(shù)為（ ）. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3圖2（a）是長方形紙帶，SAB=20，將紙帶沿AB折疊成圖2（b）， 再沿BN折疊成圖2（c），則圖2（c）中的TBN為（ ）. （A） （B） （C） （D）4今有四個數(shù),其中一個數(shù)與其它三個數(shù)的平均數(shù)之和分別為92,86,80,90,那么,這四個數(shù)中最大的數(shù)等于（ ）. （A）51 （B）48 （C）33 （D）425依次排列4個數(shù):2,11,8,9.對相鄰的兩個數(shù),都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù),所得之差排在這兩個數(shù)之間得到一串新的數(shù):2,9,11,-3,8,1,9.這

30、稱為一次操作,做二次操作后得到一串新的數(shù):2,7,9,2,11,-14,-3,11,8,-7,1,8,9.這樣下去,第100次操作后得到的一串?dāng)?shù)的和是（ ）. （A）737 （B）700 （C）723 （D）7306如圖3所示,一只小螞蟻從棱長為1的正方體的頂點A出發(fā),經(jīng)過每個面的中心點后,又回到A點,螞蟻爬行最短程S滿足（ ）.（A）5S6 （B）6S7（C）7S8 （B）8S9二、填空題（每小題 10 分,滿分40分,第10題每空5分）7計算:= .8如圖4所示,圓的半徑為2,圓的兩條弦AB,CD互相垂直,垂足為E.若圓心O到弦AB的距離OF=1,EF=1.則圖中陰影部分的面積等于 .（取

31、3.41）9可將130這30個整數(shù)寫成一行,使得由第二個數(shù)開始的每個數(shù)都是它前面所排列的所有數(shù)之和的約數(shù).則排在第30個位置上的數(shù)最大應(yīng)是 .10把符號“”放在圖5的小方格中,則含有“”的由小方格組成的正方形個數(shù)隨“”的放法而改變.在所有的放法中,含有“”的正方形個數(shù)最多時有 個,最少時有 個.第十三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（初一組）（建議考試時間：2008年4月19日10:0011:30）一、填空（每題10分，共80分）1. 某地區(qū)2008年2月21日至28日的平均氣溫為-1，2月22日至29日的平均氣溫為-0.5，2. 已知(新+奧+運)=2008，其中每個漢字都代表0到9的

32、數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，則算式= .3. 代數(shù)和12008+2200732006420051003100610041005的個位數(shù)字是 .4. 用一個平面去截一個長方體,裁面是一個多邊形, 這個多邊形的邊數(shù)最多有 條.5. 一列數(shù)1,3,6,10,15,21,中,從第二個數(shù)開始,每一個數(shù)都是這個數(shù)的序號加上前一個數(shù)的和,那么第2008個數(shù)是 .6. 當(dāng)x取相反數(shù)時,代數(shù)式ax+bx對應(yīng)的值也為相反數(shù),則ab等于 .7. 已知是以x為未知數(shù)的一元一次方程,如果,那么的值為 .8. 在34方格網(wǎng)的每個小方格中心都放有一枚圍棋子,至少要去掉 枚圍棋子,才能使得剩下的

33、棋子中任意四枚都不構(gòu)成正方形的四個頂點.二、解答下列各題(第題10分,共40分,要求寫出簡要過程)9. 如果一個銳角三角形的三個角的度數(shù)都是正整數(shù),且最大角是最小角的4倍，那么這個三角形的最小角的度數(shù)可能是哪些值？10. 小明將164個桃子分給猴子,余下的幾個留給了自己,每只猴子得到了數(shù)目相同的桃子,小明留給自己的桃子數(shù)是一只猴子的四分之一,問共有多少只猴子?11. 下圖中,E,F為三角形ABC邊上的點,CE與BF相交于P. 已知三角形PBC的面積為12, 并且三角形EBP, 三角形FPC及四邊形AEPF的面積都相同,求三角形EBP的面積. 12. 現(xiàn)有代數(shù)式x+y, x-y, xy和 ,當(dāng)x

34、和y取哪些值時,能使其中的三個代數(shù)式的值相等?三、解答下列各題(每題15分,共30分,要求寫出詳細過程)13. 對于某些自然數(shù)n, 可以用n個大小相同的等邊三角形拼成內(nèi)角都為120的六邊形. 例如, n=10時就可以拼出這樣的六邊形,見右圖,請從小到大,求出前10個這樣的n. 14. 對于有理數(shù)x,用x表示不大于x的最大整數(shù), 請解方程第十三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)字邀請,模擬不賽決賽試題參考答案（初一組）一、填空（每題10分，共80分）題號12345678答案129862017036064二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9. 答案:20,21,22.解答: 設(shè)最小角為

35、x, 最大角為4x, 另一個角為y. 則由題目的條件得, , 由的前兩個式子得到: , 解得; 又由的第三個式子得到, 所以.評分參考: 1) 給出三個關(guān)系給4分; 2)得出范圍給4分; 3)給出答案給2分.10. 答案:10.解答: 設(shè)有n只猴子, 小明留給自己p個桃子. 每只猴子分到了4p個桃子. 則, 所以p是4的倍數(shù), 令, 則, 是4的倍數(shù). 令, 則, , 因為n是正整數(shù), 所以. 當(dāng)時, .評分參考: 1)給出p, n的關(guān)系給3分; 2)得到n, k的最終關(guān)系給4分; 3)得到答案給3分.11. 答案: 4解答: 設(shè)三角形EBP的面積為X, 連接AP. 若令三角形APF的面積為Y

36、, 則三角形AEP的面積為. 因為, 而, , 所以有, 解得, 即, 所以X=4. 三角形EBP的面積為4.評分參考: 1)引出輔助線給2分; 2)得到X與Y的關(guān)系給4分; 3)得到答案給4分.12. 答案: , , , .解答: 首先必須, 否則沒有意義. 若, 則, 矛盾. 所以. 若, 則由, 或都得到, 所以, 即. 因此, 三個相等的式子只有兩種可能:(1) . 由后一等式得到, 或, 而是不可能的, 因為此時由第一個等式得到, 矛盾. 當(dāng)時, 由第一個等式得到, 即, 所以.(2) . 由后一等式同樣得到, 或, 同樣, 是不可能的, 而當(dāng)時, 由第一個等式得到, 所以.評分參考

37、: 1) (1)之前給2分; 2) (1)和(2)各給4分.三、解答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13. 答案: 6,10,13,14,16,18,19,22,24,25.解答: 設(shè)所用的等邊三角形的邊長單位為1. 任何滿足條件的六邊形的外接三角形一定是一個邊長為l的大等邊三角形. 該六邊形可以通過切去邊長分別為的等國三角形的角而得到, 其中為正整數(shù), 并且滿足, .又由于用邊長為1的等邊三角形拼成的一個邊長為x (正整數(shù))的等邊三角形所需要的個數(shù)是. 因此, , 其中, , .(1) 時, n可以為.(2) 時, n可以為. .(3) 時, 與上面不同的n可以為, .,

38、.(4) 時,與上面不同的n可以為, ., ., =36-3=33.(5) 時, 與上面不同的n都比27大.(6) 時, 可以證明滿足要求的n都不小于26.由(1)到(6)可得,前10個滿足要求的n為6,10,13,14,16,18,19,22,24,25評分參考: 1)寫出10個中的1個給1分; 2)給出足夠的理由,例如(1)之前的部分給5分.14. 答案:或.解答: 因為方程左邊的第1、3項都是整數(shù), 所以是整數(shù). 注意到,代入方程, 得到, . 所以是整數(shù), 是10的倍數(shù). 令, k是整數(shù), 代入得, 其中, 對于有理數(shù)x, =. 所以有, . 當(dāng)k取不同整數(shù)時, 的情況如下表:k=1=

39、2=3=1=0K的可能值是和3, 相應(yīng)的和y =10. 代入驗算得到或.評分參考: 1) 得到是整數(shù)給3分; 2)得到關(guān)于k的不等式給5人; 3)得到列表的結(jié)果給5分; 3)每個答案各給1分.第十四屆全國“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試卷（初一組）（ 時間: 2009年 3 月 14 日 10:0011:00 ）總分一、選擇題（每小題 10 分,滿分60分. 以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在答卷紙相應(yīng)的表格內(nèi)）總分1、下面四個算式中，正確的是（ ）. （A） （B） （C） （D）2、某班暑假野營沿公路步行從學(xué)校到基地，再由基地立即原路返回學(xué)校，如果行程

40、每天增加1千米，去時用了4天，返回時用了3天，則學(xué)校到該基地的路程是（ ）千米. （A）36 （B）38 （C）40 （D）423、設(shè)、是兩個負數(shù)，則下面四個數(shù)中一定大于而小于的數(shù)是（ ）. （A） （B） （C） （D）小方格中，如果要求每行、每列及每個對角線隔成的23方格內(nèi)部都沒有重復(fù)數(shù)字，則“”處填入的數(shù)字是（ ）. （A）5 （B）4 （C）3 （D）25、數(shù)學(xué)課上，全班同學(xué)每人各報一個數(shù).如果男生所報的數(shù)之和與女生所報的數(shù)之和相等，且男生所報數(shù)的平均值是，女生所報數(shù)的平均值是，那么全班同學(xué)所報數(shù)的平均值是（ ）. （A） （B） （C） （D）6、如下圖，梯形ABCD的兩底BC=2A

41、D，O為其內(nèi)部一點，使得AOD的面積與BOE的面積之和是4，E是OC的中點.則梯形ABCD的面積是（ ）. （A）8 （B）12 （C）16 （D）20AABDACEO二、填空題（每小題 10 分，滿分40分. ）7、如果有理數(shù)x和y滿足，則的最大可能值為 .8、已知關(guān)于x，y的方程組，當(dāng)時有整數(shù)解，則的值等于 .9、“雪龍”號科學(xué)考察船到南極錦繡科學(xué)考察活動，從上海出發(fā)以最快速度19節(jié)（1節(jié)=1海里/小時）航行抵達南極需要30多天時間.該船以16節(jié)的速度從上海出發(fā)，若干天后，順利抵達目的地.在極地工作了若干天，以12節(jié)的速度返回，從上海出發(fā)后第83天由于天氣原因航行速度為2節(jié)，2天后以14節(jié)

42、的速度繼續(xù)航行4天返回上海.那么，“雪龍”號在南極工作了 天.o11223434yx10、如圖平面直角坐標(biāo)系中的方格陣表示一個縱橫交錯的街道模型，出租車只能沿街道（網(wǎng)格線）行駛，且從一個街區(qū)（格點）到另一個街區(qū)，必須選擇最短路線，稱最短路線的長度為兩個街區(qū)之間的“出租車距離”.設(shè)圖中每個小正方形方格的邊長為1個單位.與原點的“出租車距離”等于的街區(qū)共有 個；出租車從原點到坐標(biāo)(為大于的整數(shù))的街區(qū)，共有o11223434yx第十四屆全國“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽答案（初一組）（ 時間: 2009年 3 月 14 日 10:0011:00 ）一、選擇題（每小題 10 分,滿分60分.）題號

43、123456答案BDADCB二、填空題（每小題 10 分，滿分40分. ）題號78910答案27380， HYPERLINK 14（2）.pdf 14（2）.pdf第十五屆全國華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試題解答（初一組）一、選擇題1. 如果滿足, , 則的值是 ( ).(A) 5 (B) 7 (C) (D) 9【答案】B.【解答】, 兩邊相加得到, 兩邊除以8得到. 故答案為B. 2. 和2對應(yīng)的點將數(shù)軸分成3段, 如果數(shù)軸上任意n個不同的點中至少有3個在其中一段之中, 那么n的最小值是 ( ). 圖圖A-5(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8【答案】C.【解答】數(shù)軸的三段包含了所

44、有數(shù)對應(yīng)的點, 再由抽屜原理得出C是對的.3. 用甲乙兩種飲料按照（重量比）混合配制成一種新飲料, 原來兩種飲料成本是：甲每500克5元, 乙每500克4元. 現(xiàn)甲成本上升10%, 乙下降10%, 而新飲料成本恰好保持不變, 則= ( ).(A) (B) (C) (D) 【答案】A.【解答】由 , , .4. 滿足+=1的的值是 ( ).(A) (B) (C) (D) 【答案】C. 【解答】 當(dāng)x0, 原方程為=1, 即, 無解；當(dāng)0 x1, 原方程為=1, 即, 這種情況下當(dāng)時, 無解；當(dāng), , x=；當(dāng)x1, 原方程為 =1,即, 無解.圖A-65. 一個立方體的每一個面都寫有一個自然數(shù),

45、 并且相對的兩個面內(nèi)的兩數(shù)之和都相等, 圖A-6是這個立方體的平面展開圖, 若20、0、9的對面分別寫的是, 則的值為 ( ).圖A-6(A) 481 (B) 301 (C) 602 (D) 962【答案】B.【解答】由題意得：, 所以, , .進而=.6. 乘積為的不同的五個整數(shù)的平均值最大是 ( ). (A) (B) (C) 7 (D) 9 【答案】D.【解答】假設(shè), . 根據(jù), 首先說明, 在平均值最大時中只有一個負數(shù). 如果都是負數(shù), 可以選擇兩個數(shù), 改變符號后, 乘積不變, 且沒有相同的整數(shù), 并且5個數(shù)的平均值增大. 故最多有3個負數(shù). 假設(shè)有3個負數(shù). 為負數(shù), 為正數(shù). 如果

46、中的兩個的絕對值與都不相等, 則選擇兩個數(shù), 改變符號后, 乘積不變. 故中任意兩個的絕對值至少有一個與中的數(shù)相等. 這說明是中的兩個數(shù). 另外, 中至少有一個等于1. 因為如果, 則, 且等號成立時或者. 并且為互不相等的整數(shù). 故中有一個數(shù)等于, 令, . 不妨設(shè), 則或. 即為或者, 兩組數(shù)的和都比小. 故最多有一個負數(shù), 設(shè)為. 這個負數(shù)一定是. 否則, 用乘以最大的整數(shù), 滿足五個數(shù)都不相同. 現(xiàn)在根據(jù)240分解的特點, 證明為和最大的分解. 設(shè), 則, . 我們用一個性質(zhì)：如果, 則, 因為. 這說明, 因為. 故為和最大的分解. 二、填空題7. 如果, 那么 的值為 .【答案】.

47、【解答】因為得到. 而. 一個特解：8. 如圖A-7, 甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)去往C地, 在距離C地2500米處甲追上乙；若乙提前10分鐘出發(fā), 則在距離C地1000米處甲追上乙. 已知, 乙每分鐘走60米, 那么甲的速度是每分鐘 米.圖圖A-7【答案】100.【解答】乙提前走10分鐘, 兩個人的路程差就增加1060=600米, 而甲需要多走25001000=1500米才能追上乙. 那就是說, 甲走1500米的時間里乙可以走1500600=900米, 所以甲乙的速度比為1500:900=5:3. 甲的速度為每分鐘609. 在2001、2002、2010這10個數(shù)中, 不能表示成兩個

48、平方數(shù)差的數(shù)有 個.【答案】3.【解答】若數(shù)a是奇數(shù), 則如果是4的倍數(shù), 則.一個偶數(shù)如果能表示成兩個平方數(shù)的差, 則這兩個數(shù)一定同時為奇數(shù)或者偶數(shù). 而兩個奇數(shù)（偶數(shù)）的平方差一定是4的倍數(shù), 因為2002, 2006, 2010不是4的倍數(shù), 故不能表示成兩個平方數(shù)的差. 10. 如圖A-8, 某風(fēng)景區(qū)的沿湖公路AB=3千米, BC=4千米, CD=12千米, AD=13千米, 其中, 圖中陰影是草地, 其余是水面. 那么乘游艇由點C出發(fā), 行進速度為每小時千米, 到達對岸AD最少要用 小時.圖圖A-8【答案】0.4小時. 圖A-9【解答】 連接AC, 見圖A-9. 由勾股定理容易求得A

49、C=5千米. 又因為 所以三角形ACD是直角三角形, 要乘游艇由點C出發(fā), 行進速度為每小時千米, 到達對岸AD所用時間最少, 游艇行進路線必須最短, 即為點C到AD的距離, 也就是直角三角形ACD中斜邊AD上的高線, 圖A-9這個高線 千米.所以游艇行進最少時間為小時.第十五屆全國華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題A解答（初一組）一、填空題1. 互不相等的有理數(shù)a, b, c在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為A, B, C. 如果,那么在點A, B, C中, 居中的是點 .【答案】A.【解答】當(dāng) 時, ; 當(dāng) 時, ; 所以點 A 在點 B 與點 C 之間.圖A-26 當(dāng)點 A 不在 B, C 兩個點之間

50、時, 不成立. 事實上, 當(dāng) 時, , . 這時不可能有 , 否則, , 即 , 得出 a 和 c 相等, 與題設(shè)條件矛盾. 類似地可以討論其他情形.圖A-262. 圖A-26所示的立體圖形由9個棱長為1的正方體木塊搭成, 這個立體圖形的表面積為 .【答案】 32.【解答】 從上、下、前、后、左、右看到的這個立體圖形的表面的面積分別為 5, 5, 5, 5, 6, 6, 總和為 32 .3. 汽車A從甲站出發(fā)開往乙站, 同時汽車B、C從乙站出發(fā)與A相向而行開往甲站, 途中A與B相遇后15分鐘再與C相遇. 已知 A、B、C 的速度分別是每小時90km, 80km, 70km, 那么甲乙兩站的路程

51、是 km.【答案】 680【解答】 設(shè)A與B出發(fā)t小時后相遇. 兩站路程為s, 則有, , 得 (小時), km.4. 把自然數(shù) 分組, 每組內(nèi)任意3個數(shù)的最大公約數(shù)為1, 則至少需要分成 組.【答案】 503.【解答】 一組中至多可以有2個偶數(shù), 總共1005個偶數(shù), 故至少分到503組. 又相鄰的兩個整數(shù)是互質(zhì)的. 相鄰的兩個奇數(shù)也是互質(zhì)的. 故下面502組相鄰4個數(shù)中, (其中),任意3個數(shù)的最大公約數(shù)為1, 加上2009與2010一組, 共分成503組.5. 已知正n邊形的內(nèi)角度數(shù)的兩倍為整數(shù), 那么這樣的正整數(shù)n有 個. 【答案】 28.【解答】 正n邊形的內(nèi)角度數(shù)為,其兩倍為.所以

52、當(dāng)n整除時, 正n邊形的內(nèi)角度數(shù)的兩倍為整數(shù). 720有個因數(shù). 當(dāng)或時, 不存在正n邊形, 所以只有28個正多邊形滿足條件.6. 已知 , 則的值等于 .【答案】 .【解答】 令.由, 解得 .因此.則.7. 六人參加乒乓球比賽, 每兩人賽一場, 分勝負, 無平局. 最終他們勝的場數(shù)分別是a, b, b, c, d, d, 且, 那么a等于 .【答案】 5.【解答】 一共有15場比賽且不可能有兩人都一場不勝, 所以, .于是 , . 若, 則 , 進而得到 , 矛盾. 所以., ,即或3. 若, 則, , 矛盾. 所以. 再由 得到 , .8. 某中學(xué)新建游泳池開啟使用, 先用一天時間勻速將

53、空游泳池注滿, 經(jīng)兩天的處理后同速將水放光; 然后開始同速注水, 注滿一半時, 將注水速度加倍直到注滿. 請在圖A-27中用圖表示游泳池中水量隨時間的變化關(guān)系.圖圖A-27【解答】 圖圖A-28圖A-圖A-299. 能否找到7個整數(shù), 使得這7個整數(shù)沿圓周排成一圈后, 任3個相鄰數(shù)的和都等于29? 如果能, 請舉一例. 如果不能, 請簡述理由.【答案】 不能.【解答】 假設(shè)存在7個整數(shù)排成一圈后, 滿足任3個相鄰數(shù)的和都等于29. 則, , , , , .將上述7式相加, 得.所以,與為整數(shù)矛盾! 所以不存在滿足題設(shè)要求的7個整數(shù). 10. 已知k 是滿足 的整數(shù), 并且使二元一次方程組有整數(shù)

54、解. 問: 這樣的整數(shù)k有多少個?【答案】 2.【解答】 直接解方程組, .當(dāng) (其中m和n是整數(shù)) (1)時方程組有整數(shù)解. 消去上面方程中的k, 得到 . (2)從(2)解得 (其中l(wèi)是整數(shù)), (3)將(3)代入(1)中一個方程, .解不等式, , .因此共有2個k值使原方程有整數(shù)解.11. 所有以質(zhì)數(shù)p為分母的最簡真分?jǐn)?shù)的和記為m, 所有以質(zhì)數(shù) q為分母的最簡真分?jǐn)?shù)的和記為n. 若, 求的可能值.【答案】 14, 49, .【解答】 因為為質(zhì)數(shù), 所以為最簡真分?jǐn)?shù), 所以.同理可得.所以.首先, 因為上式右端3的因子只有一個, 所以 p和 q不可能相等, 不妨設(shè). 因為=,所以p和 q

55、可以是以下情形:, 對應(yīng)的;, 對應(yīng)的;, 對應(yīng)的.12. 解方程,其中 x 表示不大于x的最大整數(shù).【答案】 .【解答】 當(dāng)時, 有. 當(dāng)時, 有. 由于,可以斷言, 如果方程有正數(shù)解 x, 則. 因此, 是不可能的.另一方面, ,可以斷言, 如果方程有負數(shù)解 x, 則. 因此, , , .故原方程的解為.解答下列各題圖A-3013. 圖A-30中, ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB的面積之和等于六邊形ABCDEF的面積. 又圖中的6個陰影三角形面積之和等于六邊形ABCDEF的面積的. 求六邊形的面積與六邊形ABCDEF的面積之比圖A-30【答案】 .【解答】 記六邊

56、形的面積為S, 圖中陰影部分的面積為S1; 記 ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB的面積之和為S2, 由這六個三角形組成的圖形除去陰影部分的面積為S3, 由題設(shè)條件可知S2 =, S1 =.在計算S2時, 加了兩次S3, 所以, 從而得.又, 所以.故.14. 一個單項式加上多項式 后等于一個整式的平方, 試求所有這樣的單項式.【答案】 , 或8x, 或32x, 或.【解答】 設(shè)所求的單項式是 , .共有3個不為同類項的單項式, 如果 , 則多項式+中不為同類項的單項式有4項, 不可能寫為兩個不為同類項的單項式和的平方, 如果寫成至少有3項不為同類項的單項式和的平方, 則

57、展開后, 至少有5個不為同類項的單項式, 所以, 得到.所求的單項式為, 或8x, 或32x, 或, 再無其他解答.第十五屆全國華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題B解答（初一組）一、填空題1. 互不相等的有理數(shù)a, b, c在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為A, B, C. 如果,那么在點A, B, C中, 居中的是點 .【答案】 B.【解答】當(dāng) 時, ; 當(dāng) 時, ; 所以點 B 在點 A 與點 C 之間.圖A-31 當(dāng)點 B 不在 A, C 兩個點之間時, 不成立. 事實上, 當(dāng) 時, , . 這時不可能有 , 否則, , 即 , 得出 a 和 b 相等, 與題設(shè)條件矛盾. 類似地可以討論其他情形.圖A

58、-312. 圖A-31所示的立體圖形由10個棱長為1的正方體木塊搭成, 這個立體圖形的表面積為 .【答案】 34.【解答】 從上、下、前、后、左、右看這個立體圖形的表面的面積分別為 6, 6, 5, 5, 6, 6, 總和為 34 .3. 某班有36人買了鉛筆, 共買了50支, 有人買了1支, 有人買了2支, 也有人買了3支. 如果買1支的人數(shù)是其余人數(shù)的2倍, 那么買2支鉛筆的學(xué)生數(shù)為 .【答案】 10.【解答】 設(shè)買1支鉛筆的人數(shù)為x, 則有 所以 . 買2支和3支鉛筆的人數(shù)為: (人), 他們共買鉛筆數(shù): .設(shè)買2支鉛筆的學(xué)生數(shù)為 y, 則有,解出 .4. 已知a, b是正整數(shù), 和都是

59、真分?jǐn)?shù), 且, 則 .【答案】 52.【解答】 因 , 所以 即 .所以 , 因此 .5. 三個三位數(shù)由數(shù)字a, b組成, 它們的和是2331, 則的最大值是 .【答案】 15.【解答】.所以.滿足上式的共有四組解:圖A-3圖A-316. 如圖A-31所示, 四邊形的面積為6, 點M, N, P, Q分別為各邊的中點. 點O為內(nèi)的一點. 連接并延長至E點, 使得, 同樣的方式可得點F, G, H. 則四邊形的面積為 .【答案】 27.【解答】 連接, 見圖A-32. 因為點分別為四邊形各邊的中點, 所以四邊形的面積為四邊形面積的一半, 即四邊形的面積為3.圖圖A-32因為且, 容易得到三角形的

60、面積是三角形的面積的9倍.同理可得三角形的面積是三角形的面積的9倍；三角形的面積是三角形的面積的9倍；三角形的面積是三角形的面積的9倍.所以四邊形的面積是四邊形的面積9倍, 即四邊形的面積為27.7. 至少任取 個正整數(shù), 可以保證其中必存在6個數(shù), 它們的和是6的倍數(shù).【答案】 11.【解答】 首先說明取10個正整數(shù)無法保證滿足要求. 例如10個數(shù)被6除的余數(shù)5個為0, 5個為1, 此時任取其中6個求和, 所得和的被6除的余數(shù)為不小于1且不大于5. 故至少取11個正整數(shù).首先證明結(jié)論: 5個正整數(shù)中必定存在3個數(shù)之和為3的倍數(shù).若5個數(shù)被3除所得的余數(shù)有0, 1, 2這三種, 則余數(shù)互不相同