高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件：5-4 反常積分

1、無窮限的反常積分無界函數(shù)的反常積分小結(jié) 思考題 作業(yè)第四節(jié) 反常積分(廣義積分)improper integral第五章 定積分1常義積分積分區(qū)間有限被積函數(shù)有界積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界常義積分的極限反 常 積 分反常積分推廣2反 常 積 分一、無窮限的反常積分 一個(gè)固定的點(diǎn)電荷 + q 產(chǎn)生的電場(chǎng), 當(dāng)單位正電荷從r =a 沿徑向移到r =b處時(shí),(k是常數(shù)).單位正電荷從r =a移到無窮遠(yuǎn)時(shí),對(duì)場(chǎng)內(nèi)其它電荷有作用力,由庫倫定律知,距q為r單位的正電荷受到的電場(chǎng)力,其方向與徑向一致指向外,大小為電場(chǎng)力所作的功稱為該電場(chǎng)在這兩點(diǎn)處的電位差.電場(chǎng)力所需作的功稱為該電場(chǎng)在點(diǎn)a處的電位.3反 常 積

2、 分例試求a、b兩點(diǎn)的電位差及a點(diǎn)的電位.解a、b兩點(diǎn)的電位差令即得a點(diǎn)處的電位這里計(jì)算了一個(gè)類似的實(shí)例還有:無界域的面積,問題,上限無限增大的定積分的極限.第二宇宙速度電容器放電問題等等.4 定義1 即當(dāng)極限存在時(shí),稱反常積分當(dāng)極限不存在時(shí),稱反常積分如果極限存在,反 常 積 分則稱這個(gè)極限值反常積分,(1)收斂;發(fā)散.5 即當(dāng)極限存在時(shí),稱反常積分當(dāng)極限不存在時(shí),稱反常積分存在,如果極限反 常 積 分則稱這個(gè)極限值反常積分,(2)收斂;發(fā)散.6如果反常積分和都收斂,則稱上述兩反常積分之和為函數(shù)稱反常積分反 常 積 分上的反常積分,即收斂;記作發(fā)散.否則稱反常積分(3)7注為了方便起見, 規(guī)

3、定:對(duì)反常積分可用如下的簡(jiǎn)記法使用N-L公式, 這時(shí)反常積分的收斂與發(fā)散取決于 和 是否存在.反 常 積 分8例 計(jì)算反常積分解反 常 積 分反常積分的積分值的幾何意義9例 計(jì)算反常積分解反 常 積 分10例 解考慮由于被積函數(shù)為奇函數(shù),積分區(qū)間又為對(duì)稱區(qū)間,由定義可知因而反 常 積 分?只有上述兩個(gè)極限都存在時(shí), 才能使反常但是上述兩個(gè)極限都不存在.故知積分收斂.11為對(duì)稱區(qū)間.其錯(cuò)誤的原因在于認(rèn)定不成立的.注對(duì)于反常積分來說,對(duì)稱區(qū)間上的性質(zhì)反 常 積 分各不相關(guān).12證反 常 積 分例 證明反常積分收斂,發(fā)散. 13證因此收斂,其值為發(fā)散.反 常 積 分例 證明反常積分*14并求其值.令

4、反 常 積 分例 證明解15反 常 積 分16反 常 積 分練習(xí)1.計(jì)算 2002年考研數(shù)學(xué)(一)填空3分解2.位于曲線下方,x軸上方的無界圖形的面積是解 2002年考研數(shù)學(xué)(二)填空3分17定義2即當(dāng)極限不存在時(shí),稱反常積分則稱此極限為仍然記為如極限存在,也稱反常積分函數(shù)反 常 積 分二、無界函數(shù)的反常積分(瑕積分)反常積分,收斂;發(fā)散.瑕點(diǎn)(1)18否則,則定義如極限存在,反 常 積 分(2)瑕點(diǎn),稱反常積分發(fā)散.19若等號(hào)右邊兩個(gè)反常積分如果則定義否則,就稱反常積分發(fā)散.都收斂,反 常 積 分(3)瑕點(diǎn),反常積分注如瑕點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)部,分別討論各段瑕點(diǎn)積分.通常用瑕點(diǎn)將區(qū)間分開,20例 計(jì)算

5、反常積分解反 常 積 分為瑕點(diǎn),這個(gè)反常積分值的直線x = 0與x = a位于曲線x 軸之上,之間的圖形面積.幾何意義之下, 21注為了方便起見, 反 常 積 分由NL公式,則反常積分規(guī)定: 22例 計(jì)算反常積分解故原反常積分發(fā)散.反 常 積 分23證反常積分收斂,其值為反常積分發(fā)散.反 常 積 分例 證明反常積分*24例 求解反 常 積 分發(fā)散.也發(fā)散.注錯(cuò)誤的做法:25例 解注此反常積分經(jīng)變量代換化成了定積分.反 常 積 分26例 下面是練習(xí)發(fā)散無窮區(qū)間上無界函數(shù)的反常積分發(fā)散,發(fā)散.發(fā)散.反 常 積 分27例 解試用分段函數(shù)表示反 常 積 分28試用分段函數(shù)表示反 常 積 分29無界函數(shù)的反常積分(瑕積分)無窮限的反常積分注意 反 常 積 分三、小結(jié) 1. 不要與常義積分混淆; 2. 不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn).30反 常 積 分思考題1(選擇題)解答恒等于常數(shù).31思考題2積分 的瑕點(diǎn)是