遼寧師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院

1、數(shù)字圖像處理的信號基礎(chǔ) 第三章 連續(xù)和離散時(shí)間傅里葉變換連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換定義連續(xù)時(shí)間信號xa(t)的頻域表示由CTFT給出:CTFT通常也稱為傅里葉譜.xa(t)可由其CTFT通過逆變換得到,即其中, 表示連續(xù)時(shí)間的角頻率變量,量綱為弧度.由于 稱為幅度譜, 稱為相位譜連續(xù)時(shí)間傅里葉變換(CTFT)連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換定義CTFT存在的條件(狄利克雷Dirichlet條件)在任何一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi),信號具有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn),且極值數(shù)目有限信號絕對可積例1:令 ,求其CTFT.由于 ,它的傅里葉變換為連續(xù)時(shí)間傅里葉變換(CTFT)連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換定義例2:計(jì)算理想沖激函數(shù) 的CT

2、FT.例3:計(jì)算移位沖激函數(shù) 的CTFT.連續(xù)時(shí)間傅里葉變換(CTFT)(抽樣性質(zhì))能量密度譜一個(gè)有限能量的連續(xù)時(shí)間復(fù)信號的總能量等于將其中的 用逆CTFT代換,則有連續(xù)時(shí)間傅里葉變換(CTFT)在絕對可積的情況下,交換積分次序帕斯瓦爾關(guān)系(Parsevals Relation)能量密度譜令 ,稱為 的能量密度譜 表示信號在 范圍內(nèi)的能量舉例:求 的能量解:連續(xù)時(shí)間傅里葉變換(CTFT)帶限連續(xù)時(shí)間信號理想帶限信號在有限頻率范圍 之外為0,即 理想帶限信號是不可能產(chǎn)生的.實(shí)際中只能保證帶限信號在其頻率范圍之外的能量足夠小根據(jù)絕大部分能量集中的頻率段分類:低通: , 稱為信號的帶寬高通:帶通:連

3、續(xù)時(shí)間傅里葉變換(CTFT)能量密度譜與自相關(guān)序列令 根據(jù)傅里葉變換的定義,有自相關(guān)函數(shù)與能量密度譜構(gòu)成一個(gè)傅里葉變換對當(dāng) 時(shí),互能量密度譜連續(xù)時(shí)間傅里葉變換(CTFT)正變換序列xn的DTFT 的定義如下: 例:計(jì)算指數(shù)序列 的DTFT 是 的連續(xù)函數(shù),與CTFT不同, 是一個(gè)周期為 的周期函數(shù)離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)逆變換 的逆DTFT 定義如下: 積分范圍也可以是0,2基本性質(zhì)極坐標(biāo)形式: ,其中 稱為幅度譜, 稱為相位譜直角坐標(biāo)形式:離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)示例收斂條件DTFT 是一個(gè)無限求和的級數(shù),可能收斂也可能不收斂只要 ,則有 xn的DTFT收斂的充分條件是序列絕對可

4、和一致收斂若 ,則級數(shù)一致收斂對于一個(gè)絕對可和的序列,其DTFT的無窮級數(shù)對所有 都是一致收斂的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)收斂條件有限長序列絕對可和,所以一致收斂 無限長的序列不一定收斂例: 當(dāng) 時(shí)絕對可和,存在DTFT;當(dāng) 時(shí),序列的DTFT不存在絕對可和序列與有限能量序列絕對可和序列必定是能量有限的能量有限序列不一定是絕對可和的例:離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)收斂條件對滿足平方可和,但不滿足絕對可和的一類信號,若其DTFT滿足 ,則稱 是在均方意義下收斂的滿足均方收斂的DTFT有可能不滿足一致收斂例:設(shè) ,求其逆DTFT n0時(shí), n=0時(shí),離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)收斂條件由于

5、 是能量有限的,但不是絕對可和的 的DTFT只在均方收斂意義下達(dá)到令 在 的鄰域存在波紋,并與求和項(xiàng)無關(guān)當(dāng)k逐漸增大,波紋數(shù)量增加,但是最大波紋的高度對所有k值卻保持一致當(dāng)k趨近于無窮大, 均方收斂到吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)JPEG中的吉布斯現(xiàn)象離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)JPEG中的吉布斯現(xiàn)象離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)基于小波的視頻編碼中的吉布斯現(xiàn)象離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)DTFT定理:假設(shè)線性定理:時(shí)間反轉(zhuǎn)定理:時(shí)移定理:頻移定理: 頻域微分定理: 卷積定理: 調(diào)制定理: 帕斯瓦爾關(guān)系: 離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)反轉(zhuǎn)示例時(shí)移示例頻移示例卷積示

6、例調(diào)制示例常用的DTFT變換對 離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)特征函數(shù)考慮一個(gè)輸入序列 ,單位脈沖響應(yīng)為hn的系統(tǒng)輸出為:定義則有其中 稱為系統(tǒng)的特征函數(shù), 稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域表示特征函數(shù)例:理想延遲系統(tǒng) 的頻率響應(yīng) 由于該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 ,則頻率響 應(yīng)為離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)總是頻率的周期函數(shù),且周期為2*PI一般在區(qū)間 給出 特性,低頻為在零處的頻率,高頻為靠近于 的頻率離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域表示LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域特征設(shè) 和 表示輸出序列yn和輸入序列xn的傅里葉變換,則有 ,因此有LTI FIR離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一個(gè)FIR系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為由DT

7、FT的線性和時(shí)移性質(zhì)變換到頻域,則有離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域表示LTI IIR離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)用線性常系數(shù)差分方程描述對上式做DTFT,則有離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域表示例:滑動(dòng)平均濾波器的頻率響應(yīng)滑動(dòng)平均濾波器的沖激響應(yīng)為依據(jù)FIR離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng),有幅度響應(yīng)為相位響應(yīng)為離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域表示讓輸入序列中的某種頻率分量沒有任何失真(若可能的話)地通過,同時(shí)阻止其它頻率分量通過,這樣的系統(tǒng)稱為數(shù)字濾波器考慮一個(gè)實(shí)系數(shù)LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的幅度函數(shù)為輸入 ,其輸出為根據(jù)濾波系統(tǒng)的定義,有濾波的概念例:一個(gè)簡單數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)輸入信號為角頻率分別為0.1弧度/樣本和0.4弧度/樣本的兩個(gè)正弦序列的和.要求設(shè)計(jì)一個(gè)高通濾波器攔截低頻分量假設(shè)濾波器是長度為3的FIR濾波器,其濾波器的頻率響應(yīng)為幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為當(dāng) 時(shí), 當(dāng) 時(shí),濾波的概念例:一個(gè)簡單數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)為了使高頻分量無任何衰減地通過濾波器,必須滿足解上面的方程,則有根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系,有即濾波的概念幅度響應(yīng)圖像令f(x,y)表示一幅大小為MN的圖像,其中x=1,2,M1, y=1,2,N1,則f的傅里葉變換為u=1,2,M1, v=1,2,N1F的逆變換為二維離散傅里葉變換二維