基本不等式 新課標(biāo) 0

1、基本不等式2021/8/8 星期日1課題: 3.4基本不等式 1.課題導(dǎo)入1重要不等式：如果 2基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么 3.我們稱 的算術(shù)平均數(shù)，稱 的幾何平均數(shù) 成立的條件是不同的： 前者要求a,b都是實數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)。 2021/8/8 星期日22.講授新課例1（1）用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？（2）一段長為36 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少?解：（1）設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m， 則xy=100，籬笆的長為2（x+

2、y）m. 等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立，此時x=y=10. 因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m. 2021/8/8 星期日3（2）解法一：設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長為（362x）m，其中0 x ， 當(dāng)且僅當(dāng)2x362x，即x9時菜園面積最大， 其面積 為:Sx（362x） 2x（362x） 即菜園長18m，寬為9 m時菜園面積最大為162 m2.解法二：設(shè)矩形菜園的長為x m,寬為y m , 則x+2y=36, 矩形菜園的面積為xy m。 當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=18，y=9時等號成立。 因此，這個矩形的長為18m、寬為9m時，菜園的面積最大，最大面積是162m

3、 2021/8/8 星期日4小結(jié)： 1.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，bR，且abM，M為定值， 則ab . 等號當(dāng)且僅當(dāng)ab時成立. 2.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a， bR，且abP，P為定值，則 ab2 ， 等號當(dāng)且僅當(dāng)ab時成立. 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。2021/8/8 星期日5解：

4、設(shè)水池底面一邊的長度為xm， 則水池的寬為 ,水池的總造價為y元，根據(jù)題意，得 因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元 評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。2021/8/8 星期日6小結(jié)：用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.2021/8/8 星期日73.隨堂練習(xí)1.已知x0，當(dāng)x取什么值時，x2 的值最小?最小值是多少?2課本第113頁的練習(xí)1、2、3、42021/8/8 星期日84.課時小結(jié)本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題。在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查下列三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應(yīng)具備