從未來到現(xiàn)在動態(tài)資產(chǎn)配置策略框架介紹

1、正文目錄 HYPERLINK l _TOC_250004 引言4 HYPERLINK l _TOC_250003 BGSS 框架介紹5 HYPERLINK l _TOC_250002 效用函數(shù)的選擇7 HYPERLINK l _TOC_250001 價值函數(shù)的展開8 HYPERLINK l _TOC_250000 路徑模擬10通過估計最終財富的倒向遞歸10回歸方法下的期望計算11四階泰勒展開14資產(chǎn)權(quán)重限制16BGSS 模型實證16選取狀態(tài)變量及代表資產(chǎn)16采用跨路徑回歸方法求解條件期望值17求解資產(chǎn)配置比例20BGSS 方法下的大類資產(chǎn)配置回測結(jié)果21距離目標(biāo)日期較遠(yuǎn)的組合構(gòu)建及回測展示21

2、距離目標(biāo)日期較近的組合構(gòu)建及回測展示23未來一年組合構(gòu)建25總結(jié)及展望27改良后的BGSS 方法27研究展望27附錄：參考文獻(xiàn)Dynamic Asset Allocation A Simulation Approach with an Application to Multiple AssetsAbstract HYPERLINK / We presented and extended a methodology published by Brandt, Goyal, Santa-Clara and Stroud to find an optimal, dynamic portfolio st

3、rategy in a more realistic investors environment with multiple assets with non-standard return dynamics, constraints on his portfolio weights and with different risk averseness. It is a simulation-based method with as main features a Taylor-expansion, backward recursion and robust regression analysi

4、s to predict returns. The method is flexible, accurate and practical. HYPERLINK / 圖表目錄圖 1：BGSS 方法框架7圖 2：最小二乘及 bisquare 估計量（k=4.685）的權(quán)重方程14圖 3：201801-201904 經(jīng)匯率調(diào)整后的 SPDR 黃金 ETF 累計收益表現(xiàn)17圖 4：201101-201904 各資產(chǎn)代表標(biāo)的累計收益表現(xiàn)21圖 5：201101-201904 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的組合配置比例22圖 6：201101-201904 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的資產(chǎn)配置組合累計收益表現(xiàn)23圖 7：2

5、01801-201904 各資產(chǎn)代表標(biāo)的累計收益表現(xiàn)23圖 8：201801-201904 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的組合配置比例24圖 9：201801-201904 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的資產(chǎn)配置組合累計收益表現(xiàn)25圖 10：201905-202004 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的組合配置比例26表 1：狀態(tài)變量及代表資產(chǎn)選取17表 2：各資產(chǎn)類別的代表標(biāo)的及其WIND 代碼21表 3：201101-201904 各資產(chǎn)代表標(biāo)的表現(xiàn)22表 4：201101-201904 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的資產(chǎn)配置組合表現(xiàn)23表 5：201801-201904 各資產(chǎn)代表標(biāo)的表現(xiàn)24表 6：201801-201904 不

6、同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的資產(chǎn)配置組合表現(xiàn)25表 7：201905-202004 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的組合配置比例建議26投資者在進(jìn)行投資時，需要選取最符合其個人偏好的資產(chǎn)組合。資產(chǎn)組合有千千萬萬種，那么何種才是“最” 符合特定投資者偏好的組合呢？誠然，投資者期待更高的投資回報，然而伴隨而來的往往是更大的風(fēng)險。BurtonG. Malkiel 曾說道，每個投資者必須在吃得好還是睡得好之間權(quán)衡。也就是說，如何找到那個能產(chǎn)生足夠收益讓自己“吃得好”，同時又不至于冒太大風(fēng)險而讓自己“睡不好”的投資策略，成為投資者們關(guān)注的焦點。引言世界金融形式波詭云譎，當(dāng)投資者們在單一資產(chǎn)上孤注一擲時，將如何在單邊下跌的形式

7、中獨善其身，或者又如何承受重壓守得云開見月明。隨著世界范圍內(nèi)的金融流動加強(qiáng)，居民收入水平的增加，國內(nèi)各類基金規(guī)模的不斷擴(kuò)大，國內(nèi)市場投資風(fēng)格不再單一地追逐收益最大化，穩(wěn)健投資的概念逐漸深入人心，投資者對全球大類資產(chǎn)配置的需求越來越旺盛。提出現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論的馬科維茲（1952）以簡潔的公式揭示了資產(chǎn)配置在控制組合整體風(fēng)險上的優(yōu)勢。大類資產(chǎn)配置，并非對各類資產(chǎn)單獨分析簡單加總，其核心思想在于組合之后各時期不同比例各項資產(chǎn)間的相互聯(lián)系。自大類資產(chǎn)配置的概念提出后，其理論及方法涌現(xiàn)創(chuàng)新。當(dāng)下主流模型主要包括定性及定量兩類。定性模型中以美林時鐘為代表，定量模型則包含以馬科維茲均值方差模型思想為核心的各

8、類量化衍生模型。美林時鐘根據(jù)經(jīng)濟(jì)增長率和通貨膨脹率兩個宏觀指標(biāo)的高低變動將經(jīng)濟(jì)周期區(qū)分成四種狀態(tài)：衰退期（經(jīng)濟(jì)下行通脹下行）、復(fù)蘇期（經(jīng)濟(jì)上行通脹下行）、過熱期（經(jīng)濟(jì)上行通脹上行）、滯漲期（經(jīng)濟(jì)下行通脹上行）。在各期中，最優(yōu)投資資產(chǎn)分別為債券、股票、商品、現(xiàn)金。美林時鐘總結(jié)了投資標(biāo)的選擇的精髓，以其簡單易懂的經(jīng)濟(jì)邏輯而受投資者青睞。然而，該模型在實際決策中面臨很多難處：但其對經(jīng)濟(jì)周期的判別以及配置標(biāo)的和分配比例的選取均過于主觀，難以對大多數(shù)投資者形成指導(dǎo)意義。均值方差模型理論假設(shè)理性投資者傾向于在低波動率的水平下尋求期望收益最大化。他將收益及風(fēng)險結(jié)合風(fēng)險厭惡程度進(jìn)行了量化研究。該方法的核心步驟

9、可分為兩大部分：首先是對未來預(yù)期收益和預(yù)期風(fēng)險的預(yù)測， 其次是目標(biāo)函數(shù)及限制條件的選取。該方法的不足之處也分別體現(xiàn)在這兩大方面：（1）依賴歷史平均收益率及方差來定義預(yù)期收益及風(fēng)險的不合理性，（2）選取的優(yōu)化目標(biāo)（均值方差效用函數(shù)）中，風(fēng)險厭惡系數(shù)及風(fēng)險指標(biāo)（方差）選取的粗糙性，以及指標(biāo)間平衡規(guī)則選取的粗糙性。正是根據(jù)均值方差模型理論在這兩方面的不足，衍生了大量的資產(chǎn)配置量化模型。他們或（1）根據(jù)更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ǎ〞r間序列方法、Monte Carlo 模擬等）預(yù)測各資產(chǎn)走勢，或（2）引入下偏距、CVaR、最大回撤等以豐富收益及風(fēng)險的代理指標(biāo)。其中在實際投資中具有較大影響力的著名模型包括 Black

10、-Litterman 模型、風(fēng)險平價理論。 HYPERLINK / Black-Litterman 模型主要的改進(jìn)在于第一步中對未來預(yù)期收益及風(fēng)險的預(yù)測部分。均值方差理論中對于預(yù)測收益及風(fēng)險的預(yù)測往往被人詬病，其過于依賴歷史的資產(chǎn)收益表現(xiàn)，并頗受歷史選取區(qū)間時長影響。BL 模型則通過引入投資者的預(yù)期并結(jié)合歷史的先驗數(shù)據(jù)，計算出后驗的期望收益用以資產(chǎn)配置。其結(jié)合了經(jīng)濟(jì)事實與投資者主觀預(yù)期，使得收益率數(shù)據(jù)更具可用性。然而也正是因為投資者預(yù)期的主觀性，該模型在實際運用中也遇到種種困難。風(fēng)險平價模型則克服了均值方差模型對資產(chǎn)收益率及相關(guān)系數(shù)預(yù)測的依賴。該模型之所以備受矚目，是因為其涵蓋了橋水基金“全天

11、候策略”的投資理念。他是對組合中不同資產(chǎn)分配相同的風(fēng)險權(quán)重的一種投資策略。雖然風(fēng)險平價模型在實際應(yīng)用中大獲成功，但許多投資者對其僅關(guān)注風(fēng)險均配的規(guī)則仍持保留意見。以上我們討論了一些傳統(tǒng)的資產(chǎn)配置模型，然而這些模型的目標(biāo)函數(shù)只對投資期末的收益及風(fēng)險損失進(jìn)行控制，它們都是僅考慮靜態(tài)（或單階段）的投資組合選擇問題。這些方法并不適用于投資期跨度大的投資者，這不僅僅是因為市場條件千變?nèi)f化，還由于投資者的個人偏好也在改變。隨著市場上目標(biāo)日期產(chǎn)品的增多，人們對于根據(jù)投資環(huán)境的變化動態(tài)調(diào)整組合頭寸的需求也不斷加強(qiáng)。本文則站在長期投資者角度，試圖通過 Brandt 等人基于模擬的方法尋找最優(yōu)動態(tài)策略，實現(xiàn)了對整

12、個投資規(guī)劃期進(jìn)行過程控制，為多資產(chǎn)的動態(tài)規(guī)劃提供思路與實踐。該方法以資產(chǎn)收益模擬路徑作為輸入，在投資期內(nèi)進(jìn)行多期規(guī)劃，可以全面考慮諸如交易限制和比例限制等因素，更具靈活性。區(qū)別于原方法的兩資產(chǎn)配置方案， 本文則更加貼近市場的投資情形，探討了該方法在多資產(chǎn)配置時的應(yīng)用方案，具體包含美股、國內(nèi)大市值股票、國內(nèi)中小市值股票、債券、黃金、現(xiàn)金這六大類資產(chǎn)，更具實用性。此外，本文還提供了更高階泰勒展開下的配置方案研究，更具精準(zhǔn)性。本文結(jié)構(gòu)如下：第二節(jié)進(jìn)行了該方法的理論介紹。第三節(jié)描述了應(yīng)用該方法的具體過程。第四節(jié)給出了基于模擬的方法尋找最優(yōu)動態(tài)策略的數(shù)值實例。BGSS 框架介紹在求解動態(tài)資產(chǎn)配置的問題上

13、，Merton 和 Wachter 都給出過解析解，然而要想得到這些解析表達(dá)式，都需要滿足一系列嚴(yán)格要求，這使得該方法在現(xiàn)實中很難得到應(yīng)用。所以實際中我們常常將連續(xù)時間離散化，以求得數(shù)值解。并且，投資者在現(xiàn)實中也往往只在某幾個時點進(jìn)行調(diào)倉，所以將時間離散化也是合情合理的。假設(shè)在時間 t，投資者以最大化目標(biāo)日 T 時的財富期望效用為目標(biāo)，確定其從 t 至 T 時的資產(chǎn)配置策略。該投資者在任意時點的財富都與其前一時點的財富直接相關(guān)。求解該資產(chǎn)配置問題相當(dāng)于求解以下問題：x T 1Jt (Wt , Zt ) max u(WT ) | Wt , Zt s sts.t. W W (x ReR f )s

14、ts1sss1其中， x 為一列風(fēng)險資產(chǎn)在 s 時至 s+1 時的配置比例； Re 為這些風(fēng)險資產(chǎn)的總體超額回報， R f 為總體無風(fēng)險ss1收益。Wt 為 t 時刻投資者的財富，其值受組合變動影響，因此為內(nèi)生變量。variables），在這里往往是經(jīng)濟(jì)因素，例如利率、通貨膨脹率等。Zt 是一系列外生狀態(tài)變量（state HYPERLINK / Jt (Wt , Zt ) 被稱為價值函數(shù)。它是最終財富WT 的效用在時間 t 的條件期望，由當(dāng)前財富Wt 、外生狀態(tài)變量Zt 生成。價值函數(shù)是 Merton 投資組合問題的離散化版本。顯然，對投資組合的未來決策將取決于先前的決策：可以想象，投資組合回

15、報率高低不一的投資者會有不同的投資行為。在時間 t 和 T 之間的每一個時刻，投資者要想做出一個“最優(yōu)決策”，需要意識到未來的最優(yōu)決策也將與當(dāng)下的決策息息相關(guān)。這一思想是由 Richard Bellman 提出的。Bellman 提出了最優(yōu)性原則：最優(yōu)策略具有這樣的性質(zhì)：無論初始狀態(tài)和初始決策是什么，其余的決策都必須是第一個決策之后的狀態(tài)下的最優(yōu)策略。Bellman 在Dynamic Programming and Stochastic Control Processes一文中推導(dǎo)出求解以上方程相當(dāng)于求解以下遞歸問題：Jt (Wt , Zt ) max t Jt 1 (Wt 1, Zt 1 )

16、xt（1）s.t. W W (x ReR f )s t（2）s1sss1要證明 Bellman 方程，首先應(yīng)用期望迭代定律，可以得到：Jt Wt , Zt max t u WT st xsT 1xtT 1 max max t t 1 u WT xsst1第二步即證明求期望值和求最大值的順序可以交換（盡管這一步驟非常直觀正確，但其實證明是嚴(yán)格復(fù)雜的， 由于篇幅限制不在此展示）：max max u W max max u W xtxsT 1t t 1 T t xtxsT 1t 1 T st1st1我們發(fā)現(xiàn)時間 t 的價值函數(shù)和時間 t+1 的價值函數(shù)的條件期望之間存在遞歸關(guān)系。方程（1）被稱為 B

17、ellman 方程，是基于離散化投資組合選擇問題。目前的財富與先前時刻財富之間的關(guān)系，方程（2），被稱為預(yù)算約束。由于計算能力和數(shù)值方法已經(jīng)發(fā)展到可以用數(shù)值方法解決現(xiàn)實的多周期投資組合選擇問題的地步，動態(tài)投資組合優(yōu)化的數(shù)值方法已經(jīng)成為一個熱門話題。在過去的二十多年中，許多論文討論了不同的數(shù)值方法，其中包括Brennan, Schwartz and Lagnado（1997）， Campbell and Viceira（1999），Barberis（2000）。然而幾乎所有的方法在面臨更復(fù)雜（因而更現(xiàn)實）的資產(chǎn)回報情況時都缺乏靈活性，它們往往無法處理多個資產(chǎn)或狀態(tài)變量， 或者對投資組合權(quán)重沒有約

18、束。 HYPERLINK / Demple, Garcia and Rindocache（r 2003）提出了一個非常優(yōu)雅的數(shù)值方法。他們運用一種特殊的隨機(jī)演算方法，即 Malliavin derivatives，來解決動態(tài)投資組合選擇問題。然而，他們的方法在市場建模方面有嚴(yán)格的假設(shè)。2005 年，Brandt，Goyal，Santa Clara 和 Stroud 提出的一種基于模擬的方法（簡稱 BGSS）對資產(chǎn)配置問題進(jìn)行求解。該方法在 Longstaff 和Schwartz 的思想下，對所有模擬樣本路徑使用了泰勒展開和回歸。BGSS 方法在以下兩個方面表現(xiàn)都很突出：運算速度，以及資產(chǎn)收益和

19、狀態(tài)變量動態(tài)的靈活性。因此，我們選擇進(jìn)一步發(fā)展這種方法。在他們的文章中，他們只將該方法應(yīng)用于兩資產(chǎn)問題。本報告將該模型應(yīng)用于多資產(chǎn)案例。正如 Demple， Garlapi 和 Skoulakis 已經(jīng)指出的那樣，增加對投資組合權(quán)重的約束可能是限制方法誤差的必要條件。以下，我們將具體介紹 BGSS 方法。為了更好地理解該方法的框架，以下給出其流程圖。圖 1：BGSS 方法框架*數(shù)據(jù)來源： 效用函數(shù)的選擇為了更好地理解下文中的理論，我們首先需要回顧效用函數(shù)的具體定義并選擇合理的效用函數(shù)。效用函數(shù)往往是關(guān)于最終財富 W 或消費 C 的一個函數(shù)，其曲率體現(xiàn)了投資者的風(fēng)險厭惡程度。投資者的投資目標(biāo)將是

20、最大化財富的期望效用，而不是最大化期望財富。函數(shù)u : S R 若滿足嚴(yán)格凹（concave），嚴(yán)格單調(diào)遞增，并在 S 內(nèi)連續(xù)，則稱其為效用函數(shù)。其中，f : R R為凹函數(shù)若： HYPERLINK / f ( x (1 ) y) f ( x) (1 ) f ( y)x, y R, (0,1)嚴(yán)格凹的限制體現(xiàn)了投資者在風(fēng)險與收益之間的權(quán)衡：如果效用函數(shù)非凹，也就意味著投資者是風(fēng)險偏好者， 即在相同收益的情形下更偏好高風(fēng)險的組合，顯然這是不切實際的。效用函數(shù)的曲率決定了投資者的風(fēng)險厭惡程度。其可以用效用函數(shù)的二次導(dǎo)除以一次導(dǎo)來衡量。相對風(fēng)險厭惡系數(shù)定義為：RRA(W ) : W u(W )u(W

21、 )本文中，我們研究符合常理的效用函數(shù)：恒定型相對風(fēng)險厭惡（Constant Relative Risk Aversion, CRRA）下的效用函數(shù)。對數(shù)效用函數(shù)（log utility） 1 時 ， u (W ) log(W )冪效用函數(shù)（power utility） 1時， u(W ) W 11 可以簡單驗證，上述效用函數(shù)的相對風(fēng)險厭惡系數(shù)均為 ，是一個恒定的常數(shù)。更通俗地解釋該類效用函數(shù)，即假設(shè)有兩位投資者 A 與 B，投資者 A 擁有 1 元而 B 擁有 1 萬元。在 CRRA 下，這兩位投資者每增加 10%的財富，他們的效用函數(shù)將增加相同大小。在現(xiàn)實投資中，恒定型相對風(fēng)險厭惡CRRA

22、 相較恒定型絕對風(fēng)險厭惡 CARA 更為合理（后者假設(shè)這兩位投資者每增加 1 單位的財富，他們的效用函數(shù)將增加相同大小，這顯然是不切實際的）。價值函數(shù)的展開BGSS 方法首先將預(yù)算約束代入到 Bellman 方程中去，并在點WR f 處二階泰勒展開，我們將得到的 J (W , Z )的估計 Jt (Wt , Zt ) 。tttt具體來講，首先，我們已知 Bellman 方程及其預(yù)算約束為：Jt (Wt , Zt ) max t Jt 1 (Wt 1 , Zt 1 )xts.t. W W (x ReR f )s t HYPERLINK / s1sss1將預(yù)算約束代入 Jt 1 (Wt 1, Zt

23、 1 ) 可得：Jt 1(Wt 1, Zt 1) Jt 1 e(W (x Rttt 1R f ), Zt 1 )利用二階泰勒展開可得：Jt 1 e(W (x Rttt 1R f ), Zt 1) Jt 1(W R f , Z)tt 1+ 1Jt 1(W R f , Z ett 1)(W x R)t tt 1+ 1 2 J(W R f , Z)(W x Re )22 1 t 1tt 1t tt 1再將上式代回 Bellman 方程，將得到 Jt (Wt , Zt ) 的估計 Jt (Wt , Zt ) ：J (W , Z ) max J(WR f , Z)+ J(WR f , Z)(W x Re

24、 )tttxttt 1tt 11t 1tt 1t tt 1 1 2 J(W R f , Z)(W x Re)2 2 1 t 1tt 1t tt 1進(jìn)一步求導(dǎo)并應(yīng)用控制收斂定理（DCT）后，可得到 xt 的估計 xt ：tt t1t 1x W 2 J(W R f , Z)(ReRe )1 J(W R f , Z)(Re )tt 1t 1t 1t1t 1tt 1t 1定義 A: J(W R f , Z)Ret 11t 1tt 1t 1B: 2 J(W R f , Z)ReRet 11t 1tt 1t 1t 1其中關(guān)于 Jt 1 的偏導(dǎo)，可利用 Bellman 方程及其預(yù)算約束帶入計算后得到： W

25、T 1 e ft 1 :TWt 1st 1(xs Rs1R )1Jt 1 (Wt 1, Zt 1 ) t 1u(Wt 1 t 1 ) t 1 2 J(W , Z) 2u(W ) 2 tt 11 t 1t 1t 1t 1t 1t 1t1 HYPERLINK / tt tt 1表達(dá)式最終可以簡化為： x W B1 A 路徑模擬ss1接下來為Monte Carlo 模擬，用以生成Y T(Re , Z )T的M 條獨立樣本路徑：Y f (Y ,Y,;) 。sss1t 1tt 1t 1每條樣本路徑 m 包含了各類資產(chǎn)及狀態(tài)變量在時間 1 至 T 內(nèi)的收益率變化情況。本文使用經(jīng)濟(jì)學(xué)上常用的向量自回歸建模構(gòu)

26、造路徑。向量自回歸模型簡稱VAR模型（Vector Autoregressive Model），是一種常用的計量經(jīng)濟(jì)模型，1980年由克里斯托弗西姆斯（Christopher Sims）提出。VAR模型是用模型中所有當(dāng)期變量對所有變量的若干滯后變量進(jìn)行回歸。VAR模型用來估計聯(lián)合內(nèi)生變量的動態(tài)關(guān)系，而不帶有任何事先約束條件。此模型目前已得到廣泛應(yīng) 用。一個VAR(p)模型可以寫成：yt c A1 yt 1 A2 yt 2 Ap yt p t其中c Rk 是 k 1常數(shù)向量， A Rkk 是 k k 矩陣， Rk 是 k 1誤差向量，滿足：itE(t ) 0 誤差項的均值為0E(tt) 誤差項的

27、同期協(xié)方差矩陣恒定，不隨時間變化而變化（3） E(ttk ) 0k 0 誤差項不存在自相關(guān)本文應(yīng)用目標(biāo)研究時段前多年的月度數(shù)據(jù)擬合VAR（1）模型，得到系數(shù)估計及殘差協(xié)方差矩陣，向后迭代得到路徑模擬。通過估計最終財富的倒向遞歸我們采用倒向遞歸求解最優(yōu)資產(chǎn)比例。由 2.2 中的推導(dǎo)及定義，可得：t At 1 u(W R f) t 1eR t1ttt 1 B 2u(W R f) 2 Re Re tt 1ttt 1t1 t1 t1 HYPERLINK / 在假設(shè)投資者為恒定型相對風(fēng)險厭惡（CRRA）時，不論在對數(shù)效用函數(shù)還是在冪效用函數(shù)下，我們都有u(W ) W ， 2u(W ) W 1 。帶入上式

28、，可得： A (W R f ) 1 Re tt 1ttt 1t1 B (W R f ) 1 1 Re Re tt 1ttt 1t1t1則資產(chǎn)配置比例 xt 可表示為：R f1ee11ext t t 1 Rt1 Rt1 t t 1 Rt1 R fe e1exT 1 T 1RT RT T 1RT 特別地，對數(shù)效用函數(shù)的 1 ， xt 可簡化為：ttt1t1tt1x R f Re Re 1 Re 由最終的表達(dá)式可以看出，在恒定型相對風(fēng)險厭惡（CRRA）下，投資者的投資表現(xiàn)獨立于初始或者當(dāng)下的財富值。更特殊地，如果 1 ，資產(chǎn)配置比例也與組合未來收益 t 1 相獨立。tx 與 R f 之間的線性關(guān)系乍

29、看之下不太符合常識：當(dāng)無風(fēng)險利率更高、超額收益不變時，對風(fēng)險資產(chǎn)的配置比例會更高。但在 CRRA 的假設(shè)下，我們可以更好地理解這一關(guān)系：當(dāng)無風(fēng)險利率更高、超額收益不變，這意味著風(fēng)險資產(chǎn)的相對波動（較平均收益的波動）就會減小，這就促使 CRRA 的投資者配置更多的風(fēng)險資產(chǎn)?；貧w方法下的期望計算接下來，我們需要估計 xt 表達(dá)式中的條件期望。本文采用 Longstaff 和 Schwartz 的跨路徑回歸方法，我們首先闡述該方法的概況，緊接著給出具體介紹。已知：R f1ee11ext R ft t 1 Rt1 Rt1 1t t 1 Rt1 HYPERLINK / = t Bt 1 t At 1 t

30、 1t 1t 1t 1假設(shè)已算得 t+1 至 T-1 時的權(quán)重。在 M 條模擬樣本路徑下，我們有 M 個 am Rn 及bm Rnn （對應(yīng)于向t 1量 At 1及矩陣 Bt 1）。為了說明簡便，我們在下文記 am Rn 及bm Rnn 為 y。接著，我們對每個元素 yt 1 進(jìn)行跨路徑回歸。在每個時點 t，應(yīng)用 M 條路徑數(shù)據(jù)來擬合元素 yt 1 與狀態(tài)變量Xt 間的關(guān)系。假設(shè)存在下述線性關(guān)系：ym,t 1 Xm,t m則通過回歸，我們探尋關(guān)于 的估計 ：ym,t 1 Xm,t em由此得到y(tǒng)m,t 1|t Xm,t 在本文中， ym,t 1 的具體形式如下所示：由于 A 1 Re 、 B

31、1 Re Re ， ym,t 1為 am時，其具體表達(dá)式為tt 1tt 1t1tt 1tt 1t1t1t 1y am 1 Re ； y為bm時，其具體表達(dá)式為 y bm 1 (Re )2 。m,t 1t 1t 1t1m,t 1t 1m,t 1t 1t 1t1 W T 1 e f其中，t 1 :TWt 1st 1(xs Rs1R )Xt 的具體形式如下所示：回歸矩陣包括資產(chǎn)超額收益、狀態(tài)變量及狀態(tài)變量交叉項，那么回歸矩陣 Xt 的每一行包含 26 個項目。矩陣形式為：1 R(1)R(1) R(1)Z (1) Z (1)Z 2 (1) Z 2 (1)Z (1) Z (1)Z (1) Z (1) Z

32、 (1) Z (1)1,t2,t5,t1,t5,t1,t5,t1,t2,t1,t3,t4,t5,t 1 R(2)R(2) R(2)Z (2) Z (2)Z 2 (2) Z 2 (2)Z (2) Z (2)Z (2) Z (2) Z (2) Z (2) Xt 1,t2,t5,t1,t5,t1,t5,t1,t2,t1,t3,t4,t5,t1 R( M ) R( M ) R( M ) Z ( M ) Z ( M ) Z 2 ( M ) Z 2 ( M )Z ( M ) Z ( M )Z ( M ) Z ( M ) Z ( M ) Z ( M ) HYPERLINK / 1,t2,t5,t1,t5,t

33、1,t5,t1,t2,t1,t3,t4,t5,t m,t 1進(jìn)行以上描述的回歸處理后，我們可以得到每條路徑在時刻 t 的 am,t 1|t 及b1|t ，據(jù)此可得到資產(chǎn)配置比例：Rfxm,t (b)m,t 1|tam,t 1|t至此我們完成了對跨路徑回歸方法的概述，緊接著我們注意到受樣本數(shù)據(jù)異常值（outliers）的影響，普通最 小二乘法估計的結(jié)果往往會嚴(yán)重脫離事實，其修補措施并不是簡單地剔除，當(dāng)然，在回歸分析中也不應(yīng)與正常數(shù)據(jù)一樣對待，合理的做法應(yīng)當(dāng)是：采用穩(wěn)健估計（M-估計量），以消除 OLS 對異常數(shù)據(jù)的易受影響性。因此， 在回歸過程中，區(qū)別于普通最小二乘法（OLS），本文采用的 M-

34、估計量為 bisquare 估計量。MMM-估計量最小化目標(biāo)方程： (em ) ( ym,t 1 Xm,t )m1m1其中，函數(shù) 決定了每個殘差對目標(biāo)方程的貢獻(xiàn)度。最小二乘估計量和 bisquare 估計量都是 M-估計量的一種。通俗來講，最小二乘估計量對每個殘差給予相同大小的權(quán)重，而 bisquare 估計量則給予離群值更小的權(quán)重。M定義權(quán)重方程 w(e) (e) / e ，令 wm w(em ) ，可得到估計方程為： wm ( ym,t 1 Xm,t )X m,t 0m1m1w em m這就變成了一個加權(quán)最小二乘問題，目標(biāo)為最小化M2 2 。我們采用以下算法步驟：ttt t 1選取一個迭代

35、初始值 (0) ，例如最小二乘估計 (0) ( X X )1 X y按此初始值進(jìn)行迭代，在迭代的第 j 步，都計算上次迭代的殘差e( j 1) 及相應(yīng)權(quán)重 w( j 1) w(e( j 1) )mmmtttt 1計算出 按 新的加 權(quán) 最小二 乘 法估計 的 結(jié)果： ( j ) X W ( j 1) X 1 X W ( j 1) y， 其中mW ( j 1) diag(w( j 1) ) 為當(dāng)下的加權(quán)矩陣。重復(fù)（2）步和（3）步, 直到估計的參數(shù)收斂。LS在上文中，我們提到，最小二乘估計量和 bisquare 估計量都是 M-估計量的一種。其中，最小二乘估計量下的LS(e) e2 ，則 w(e

36、) 2 。bisquare 估計量下，對于 e k ，其權(quán)重為 0，其中 k 4.685 。bisquare 估計量 HYPERLINK / 的目標(biāo)及權(quán)重函數(shù)如下所示： k 2e 2 3 BS k 2(e) 6 6(11 ( ) )forkfore k e k1e 2 2fore kwBS(e) ( k ) 0fore k圖 2：最小二乘及 bisquare 估計量（k=4.685）的權(quán)重方程*數(shù)據(jù)來源： 通過對比兩者的權(quán)重函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，bisquare 估計中，在閥值以內(nèi)的樣本點的權(quán)重隨殘差絕對值離 0 越遠(yuǎn)，權(quán)重遞減，閥值以外的樣本點權(quán)重為 0。這一特點既保留了大部分殘差信息，又減弱了異常

37、值點對回歸分析的影響, 實現(xiàn)了穩(wěn)健回歸的目的。四階泰勒展開 HYPERLINK / 目前為止，我們討論的都是二階泰勒展開下的價值方程。為了提高精度，以下我們給出四階泰勒展開下的價值方程：J (W , Z ) max J(W R f , Z)tttxttt 1tt 1+ J(W R f , Z)(W x Re )1 t 1tt 1t tt 1 1 2 J(W R f , Z)(W x Re )22 1 t 1tt 1t tt 1 1 3 J(WR f , Z)(W x Re )36 1 t 1tt 1t tt 11 1 4 J24t 1(W R f , Z ett 1)(W x Rt tt 1)

38、4 同理， 參照第一部分中的方法，可得到資產(chǎn)配置比例的估計：ttt1t 1x W 2 2 J(W R f , Z)ReRe 1tt 1t 1t 1 W J(W R f , Z)Re t t1t 1tt 1t 1 1 W 3 3 J(W R f , Z)(xRe)2 Re 2tt1 t 1tt 1t t 1t 1 1 W 4 4 J(W R f , Z)(xRe)3 Re 可寫成6tt1 t 1tt 1t t 1t 1x W B1 AW 2 t CW 3(x ) t D(x )tt tt 1tt 12tt 1t6tt 1t其中，新增的Ct 1 (xt )及 Dt 1 (xt )定義為：C(x )

39、 : 3 J(W R f , Z)(xRe)2 Ret 1 t1 t 1tt 1t t 1t 1D(x ) : 4 J(W R f , Z)(xRe)3 Ret 1 t1 t 1tt 1t t 1t 1仍然假設(shè)投資者為恒定型相對風(fēng)險厭惡（CRRA），可得：R f1ee11ext t t 1 Rt1 Rt1 t t 1 Rt1 1 Re Re 1 1 ( 1) 1 (xRe )2 Re tt 1t1t12R ftt 1t t1t1 1 ( 1)( 2) 1 (xRe )3 Re R f6(R f )21tt 1t t11t1 t bt 1 t at 1 t bt 1 1 ( 1) c(x ) 1

40、 ( 1)( 2) d( x ) HYPERLINK / 2R ftt 1t6(R f )2tt 1t資產(chǎn)權(quán)重限制實際資產(chǎn)配置中存在一些權(quán)重限制，當(dāng)市場無法做空時，意味著0 xt 1。當(dāng)我們僅面臨一個風(fēng)險資產(chǎn)時，該權(quán)重限制較為簡單：ttxconstr max(0, min(xunconstr ,1)但當(dāng)處理多資產(chǎn)問題時，我們需要在每個路徑的每個時點應(yīng)用優(yōu)化算法，這將大大增加計算時間。本文使用了 MATLAB 中的 fmincon 默認(rèn)例程。在二階泰勒展開下，我們有：max x A 1 x Bx ,s.t. : 0 x 1xt tt 1t2 R ft tt 1tt由于 xt 在條件期望內(nèi)，fmi

41、ncon 例程無法計算更高階數(shù)的泰勒展開，我們首先得到二階泰勒展開下的資產(chǎn)配置比例，再進(jìn)行遞歸。若遞歸后的結(jié)果不滿足資產(chǎn)權(quán)重限制，我們選取二階泰勒展開下的資產(chǎn)配置比例作為結(jié)果。BGSS 模型實證選取狀態(tài)變量及代表資產(chǎn)一個優(yōu)秀的經(jīng)濟(jì)情形模擬模型（ESG），應(yīng)該包含所投資的資產(chǎn)類別及重要經(jīng)濟(jì)變量的信息。許多風(fēng)險管理 應(yīng)用程序都需要對以下變量進(jìn)行建模：（1）主權(quán)利率（國債利率）（2）通貨膨脹率（3）外匯匯率本文采用以下五種狀態(tài)變量，以反映重要的經(jīng)濟(jì)信息：中債國債到期收益率（1 個月）、中債國債到期收益率（1 年）、美元兌人民幣中間價、消費者價格指數(shù) CPI、美國國債收益率（1 個月）。 HYPERL

42、INK / 選取六類資產(chǎn)，具體包含美股、國內(nèi)大市值股票、國內(nèi)中小市值股票、國內(nèi)債券、黃金及現(xiàn)金。分別用標(biāo)普500 指數(shù)、滬深 300 指數(shù)、中證 500 指數(shù)、中債總財富指數(shù)、經(jīng)匯率調(diào)整后的全球最大黃金 ETF 基金（SPDR 黃金 ETF）來代表以上幾類風(fēng)險資產(chǎn)。應(yīng)用 VAR 方法模擬路徑。表 1：狀態(tài)變量及代表資產(chǎn)選取狀態(tài)變量資產(chǎn)中債國債到期收益率：1 個月M1004677標(biāo)普 500SPX.GI中債國債到期收益率：1 年M1000158滬深 300000300.SH美元兌人民幣中間價M0000185中證 500000905.SH消費者價格指數(shù) CPI：同比M0000612中債總財富指數(shù)C

43、BA00301.CS美國國債收益率：1 個月G0000883黃金 ETF 基金 SPDRS0105518由于我們研究的時間跨度較大，而國內(nèi)黃金 ETF 的成立時間均較近（例如華安黃金 ETF 成立于 2013-07-31），為了找到一個有足夠多歷史收益數(shù)據(jù)的國內(nèi)黃金資產(chǎn)代表標(biāo)的，我們擬使用經(jīng)匯率調(diào)整后的全球最大黃金 ETF 基金（SPDR 黃金 ETF）。下圖將 201801-201904 經(jīng)匯率調(diào)整后的 SPDR 黃金 ETF 累計收益表現(xiàn)與華安黃金 ETF（518880.OF）累計收益表現(xiàn)進(jìn)行了對比，兩者走勢相似，證明了使用經(jīng)匯率調(diào)整后的 SPDR 黃金 ETF 作為國內(nèi)黃金資產(chǎn)的代表標(biāo)的

44、是合理的。圖 3：201801-201904 經(jīng)匯率調(diào)整后的 SPDR 黃金 ETF 累計收益表現(xiàn)*數(shù)據(jù)來源： 采用跨路徑回歸方法求解條件期望值 HYPERLINK / 采用二次多項式回歸?；貧w矩陣包括五個狀態(tài)變量的交叉項。此外，我們假設(shè) t+1 處的超額收益與 t 處的超額收益具有相關(guān)性，那么回歸矩陣 Xt 的每一行包含 26 個項目。矩陣形式為：1 R(1)R(1) R(1)Z (1) Z (1)Z 2 (1) Z 2 (1)Z (1) Z (1)Z (1) Z (1) Z (1) Z (1)1,t2,t5,t1,t5,t1,t5,t1,t2,t1,t3,t4,t5,t 1 R(2)R(2

45、) R(2)Z (2) Z (2)Z 2 (2) Z 2 (2)Z (2) Z (2)Z (2) Z (2) Z (2) Z (2) Xt 1,t2,t5,t1,t5,t1,t5,t1,t2,t1,t3,t4,t5,t1 R( M ) R( M ) R( M ) Z ( M ) Z ( M ) Z 2 ( M ) Z 2 ( M )Z ( M ) Z ( M )Z ( M ) Z ( M ) Z ( M ) Z ( M ) 1,t2,t5,t1,t5,t1,t5,t1,t2,t1,t3,t4,t5,t 由于 A 1 Re 、 B 1 Re Re ，對每個資產(chǎn)，分別以下期（t=T）的 1 Re

46、及tt 1tt 1t1tt 1tt 1t1t1t 1 t1 1 Re Re 為應(yīng)變量，應(yīng)用回歸矩陣 X ，進(jìn)行 bisquare 穩(wěn)健回歸。t 1t1 t1t W T 1 e f其中，t 1 :TWt 1st 1(xs Rs1R )用回歸所得的系數(shù)矩陣乘以回歸矩陣 Xt ，即得到了條件期望值t At 1 、t Bt 1 。Bisquare 回歸代碼：function BS = bisquare(X, y, k)%X is regression matrix, y are values of dependent variables N_max = 20; % maximum number of

47、iterationsM,N=size(X);beta = zeros(N,N_max);beta(:,1)=lscov(X,y);e = y-X*beta(:,1); sigmahat = mad(e)/0.6745; k=sigmahat*4.685;j=1;beta(:,j+1)= inv(X*spdiags(W_BS(e,k),0,M,M)*X)*X*spdiags(W_BS(e,k),0,M,M)*y;while (max(abs(beta(:,j+1)-beta(:,j)0.001 & j=0)=N_assets & . sum(x_it(m,:,i+1)=1)=N_assets &

48、 sum(x_it(m,:,i+1)=1x(m,t,:)=x_it(m,:,i+1);endendendBGSS 方法下的大類資產(chǎn)配置回測結(jié)果距離目標(biāo)日期較遠(yuǎn)的組合構(gòu)建及回測展示首先，我們展示六類資產(chǎn)（美股、滬深 300、中證 500、債券、黃金、現(xiàn)金）在 201101-201904 的表現(xiàn)，分別選取標(biāo)普 500 指數(shù)、滬深 300 指數(shù)、中證 500 指數(shù)、中債總財富指數(shù)、經(jīng)匯率調(diào)整后的全球最大黃金 ETF 基金（SPDR 黃金 ETF）作為前五類資產(chǎn)的代表標(biāo)的。并取年化無風(fēng)險利率為 3%。資產(chǎn)類別代表標(biāo)的Wind 代碼表 2：各資產(chǎn)類別的代表標(biāo)的及其 WIND 代碼美股標(biāo)普 500SPX.

49、GI國內(nèi)大市值股票滬深 300000300.SH國內(nèi)中小市值股票中證 500000905.SH 債券中債總財富指數(shù)CBA00301.CS 黃金SPDR 黃金 ETF（需匯率調(diào)整）S0105518圖 4：201101-201904 各資產(chǎn)代表標(biāo)的累計收益表現(xiàn) HYPERLINK / *數(shù)據(jù)來源： 標(biāo)普 500滬深 300中證 500中債SPDR 黃金 ETF表 3：201101-201904 各資產(chǎn)代表標(biāo)的表現(xiàn)總財富指數(shù)（調(diào)整后）夏普比0.740.120.032.21-0.09年化收益10.79%2.83%0.91%3.89%-1.52%年化標(biāo)準(zhǔn)差14.50%23.29%27.05%1.76%1

50、6.25%最大回撤19.78%46.70%65.20%5.33%46.17%站在較長時間維度來看，使用 200501-201012 的月度數(shù)據(jù)，在 BGSS 方法下模擬路徑 1000 條，得出的不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的 201101-201904 的月度資產(chǎn)配置比例建議如下圖所示。風(fēng)險厭惡系數(shù) Gamma 越大，代表投資者越保守。可以發(fā)現(xiàn)，隨著風(fēng)險厭惡系數(shù)的增大，前期（距離目標(biāo)日期較遠(yuǎn)時）對無風(fēng)險資產(chǎn)現(xiàn)金的建議配置比例提高，對債券的建議配置比例提高，對股票的建議配置比例降低。圖 5：201101-201904 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的組合配置比例Gamma = 1Gamma = 3Gamma = 5G

51、amma = 10 *數(shù)據(jù)來源： 注：資產(chǎn)類別從下至上為：美股、滬深 300、中證 500、債券、黃金、現(xiàn)金 HYPERLINK / 若按照以上比例配置資產(chǎn)進(jìn)行回測，組合累計收益情況如下所示。相較于僅投資于國內(nèi)股票，進(jìn)行 BGSS 方法下的大類資產(chǎn)配置組合可獲得更高的收益、更低的風(fēng)險。 HYPERLINK / 圖 6：201101-201904 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的資產(chǎn)配置組合累計收益表現(xiàn)*數(shù)據(jù)來源： 表 4：201101-201904 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的資產(chǎn)配置組合表現(xiàn)Gamma=1Gamma=3Gamma=5Gamma=10夏普比0.280.410.520.64年化收益3.65%4.09

52、%4.34%4.28%年化標(biāo)準(zhǔn)差12.91%10.05%8.28%6.71%最大回撤29.36%21.19%16.83%13.19%距離目標(biāo)日期較近的組合構(gòu)建及回測展示上文提到的五類資產(chǎn)代表標(biāo)的在 201801-201904 的表現(xiàn)如下圖及下表所示。圖 7：201801-201904 各資產(chǎn)代表標(biāo)的累計收益表現(xiàn)*數(shù)據(jù)來源： 標(biāo)普 500滬深 300中證 500中債SPDR 黃金 ETF表 5：201801-201904 各資產(chǎn)代表標(biāo)的表現(xiàn)總財富指數(shù)（調(diào)整后）夏普比0.48-0.10-0.484.200.07年化收益7.61%-2.29%-12.02%7.11%0.75%年化標(biāo)準(zhǔn)差16.03%2

53、2.26%25.17%1.69%10.73%最大回撤19.78%32.46%37.66%1.26%7.13%站在較短時間維度來看，使用 200501-201712 的月度數(shù)據(jù)，在 BGSS 方法下模擬路徑 1000 條，得出的不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的 201801-201904 的月度資產(chǎn)配置比例建議如下圖所示。風(fēng)險厭惡系數(shù) Gamma 越大，代表投資者越保守。圖 8：201801-201904 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的組合配置比例Gamma = 1Gamma = 3Gamma = 5Gamma = 10*數(shù)據(jù)來源： HYPERLINK / 注：資產(chǎn)類別從下至上為：美股、滬深 300、中證 500、債

54、券、黃金、現(xiàn)金若按照以上比例配置資產(chǎn)進(jìn)行回測，組合累計收益情況如下所示。和長時間維度下的情況一樣，在距離目標(biāo)日期較近時，BGSS 方法下的大類資產(chǎn)配置組合仍可獲得更高的收益、更低的風(fēng)險。圖 9：201801-201904 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的資產(chǎn)配置組合累計收益表現(xiàn)*數(shù)據(jù)來源： 表 6：201801-201904 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的資產(chǎn)配置組合表現(xiàn)Gamma=1Gamma=3Gamma=5Gamma=10夏普比-0.19-0.010.200.61年化收益-2.43%-0.13%1.83%4.00%年化標(biāo)準(zhǔn)差12.54%10.74%9.13%6.52%最大回撤19.16%15.61%12.58

55、%7.75%未來一年組合構(gòu)建 HYPERLINK / 使用 200501-201904 的月度數(shù)據(jù)，在 BGSS 方法下模擬路徑 1000 條，得到在不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下對于未來一年（201905-202004）資產(chǎn)配置比例的建議如下圖及下表所示。 HYPERLINK / 圖 10：201905-202004 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的組合配置比例Gamma = 1Gamma = 3Gamma = 5Gamma = 10*數(shù)據(jù)來源： 注：資產(chǎn)類別從下至上為：美股、國內(nèi)大市值股票、國內(nèi)中小市值股票、債券、黃金、現(xiàn)金表 7：201905-202004 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下的組合配置比例建議風(fēng)險配置比例厭惡系

56、數(shù)資產(chǎn)類別20195 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月11 月12 月20201 月 2 月 3 月 4 月 美股12.1%12.0%12.1%11.5%11.2%10.1%10.7%9.5%10.2%10.9%11.2%10.0%大市值13.0%14.3%13.1%15.0%15.7%15.0%14.2%15.4%16.3%15.3%14.8%15.8%1中小市值36.1%33.2%34.6%34.5%34.4%37.9%36.8%38.2%37.6%36.8%37.5%38.5%債券18.7%19.4%18.8%18.5%19.1%18.1%18.8%18.1%17.0%17.

57、6%17.5%16.3%黃金18.6%18.4%19.1%18.6%16.8%16.7%17.6%16.6%17.4%18.2%18.6%19.0%現(xiàn)金1.6%2.8%2.2%1.9%2.8%2.3%1.9%2.2%1.6%1.1%0.5%0.4%美股17.0%16.7%16.6%15.8%15.0%13.6%14.3%12.3%12.6%12.7%12.6%11.3%大市值12.1%12.8%11.6%13.1%14.0%13.9%12.1%14.6%15.9%15.8%14.9%16.8%3中小市值27.1%24.5%25.4%26.2%26.4%29.4%28.8%30.7%30.0%2

58、9.6%31.2%32.0%債券23.0%24.3%23.5%23.5%24.2%23.2%23.9%22.1%21.1%21.3%20.6%19.0%黃金19.2%18.8%20.4%19.4%17.4%17.3%18.3%17.6%18.3%18.8%19.6%20.2%現(xiàn)金1.6%2.9%2.5%2.1%2.9%2.6%2.6%2.7%2.1%1.8%1.0%0.6%美股19.9%19.3%19.5%18.5%17.6%16.6%17.3%14.9%15.2%15.0%14.4%13.0%大市值11.3%11.3%9.9%11.0%12.4%12.5%10.9%13.3%14.6%14.

59、6%14.5%17.1%5中小市值20.1%18.4%18.8%19.8%19.8%22.1%21.3%23.7%23.1%23.1%24.7%25.3%債券27.7%29.3%28.6%29.3%30.0%28.9%29.3%27.4%26.1%25.8%24.3%22.8%黃金18.7%18.1%20.2%18.6%16.9%16.7%18.0%17.5%18.3%19.0%20.4%21.0%現(xiàn)金2.2%3.6%2.9%2.8%3.4%3.2%3.1%3.2%2.8%2.4%1.7%0.8%美股21.5%21.1%21.7%20.7%19.7%18.9%19.7%18.3%17.8%18

60、.2%17.1%16.5%大市值7.8%6.9%5.7%7.4%7.9%8.5%6.4%8.6%10.0%10.8%10.3%13.1%10中小市值12.6%10.9%11.0%11.3%11.9%12.7%11.8%13.3%12.1%12.7%13.7%13.8%債券37.4%39.0%38.1%39.5%41.3%40.1%40.1%38.9%36.9%36.2%34.4%32.8%黃金17.3%16.5%19.0%16.9%14.9%15.0%16.9%16.2%17.9%17.8%21.0%21.9%現(xiàn)金3.4%5.7%4.5%4.2%4.5%4.7%5.1%4.7%5.3%4.4%