2021年考研數(shù)學三真題與解析

1、 7/72021年考研數(shù)學三真題與解析 2017年考研數(shù)學三真題 一、選擇題 18小題每小題4分，共32分 1 若函數(shù)0(),0 x f x b x =? 在0 x =處連續(xù)，則 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【詳解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +-=，0lim ()(0)x f x b f -=，要使函數(shù)在0 x =處連續(xù)，必須滿足11 22 b ab a =?=所以應該選（A ） 2二元函數(shù)(3)z xy x y =-的極值點是（ ） （A ）(0,0) （B ）03(,) （C

2、 ）30(,) （D ）11(,) 【詳解】 2(3)32z y x y xy y xy y x ?=-?，232z x x xy y ?=-?， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x ?=-=-=-? 解方程組2 2320320z y xy y x z x x xy y ?=-=?=-=?，得四個駐點對每個駐點驗證2 AC B -，發(fā)現(xiàn)只有在點11(,)處滿足 230AC B -=，且20A C =-，則 （A ）(1)(1)f f - （B ）11()()f f - （D ）11()()f f ，也就是()2 ()f x 是單調(diào)增加函數(shù)也就得到 ()

3、()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f -?-，所以應該選（C ） 4 若級數(shù) 21 1sin ln(1)n k n n =?-? ?收斂，則k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 【詳解】iv n 時22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ? ?-=+=+ ? ? ? ? ? 顯然當且僅當(1)0k +=，也就是1k =-時，級數(shù)的一般項是關(guān)于1 n 的二階無窮小，級數(shù)收斂，從而選擇（C ） 5設(shè)為n 單位列向量，E 為n 階單位矩陣，則 （A ）T E -不可逆 （B ）T E

4、 +不可逆 （C ）2T E +不可逆 （D ）2T E -不可逆 【詳解】矩陣T 的特征值為1和1n -個0，從而,2,2T T T T E E E E -+-+的特征值分別為0,1,1,1 ；2,1,1,1 ；1,1,1,1- ；3,1,1,1 顯然只有T E -存在零特征值，所以不可逆，應該選（A ） 6已知矩陣200021001A ? ?= ? ?，210020001B ? ?= ? ?，100020002C ? ? = ? ? ，則 （A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,

5、B C 不相似 【詳解】矩陣,A B 的特征值都是1232,1=是否可對解化，只需要關(guān)心2=的情況 對于矩陣A ，0002001001E A ? ? -=- ? ? ，秩等于1 ，也就是矩陣A 屬于特征值2=存在兩個線性無關(guān)的特 征向量，也就是可以對角化，也就是A C 對于矩陣B ，010*E B -? ? -= ? ? ，秩等于2 ，也就是矩陣A 屬于特征值2=只有一個線性無關(guān)的特 征向量，也就是不可以對角化，當然,B C 不相似故選擇（B ） 7設(shè),A B ，C 是三個隨機事件，且,A C 相互獨立，,B C 相互獨立，則A B 與C 相互獨立的充分必要條件是（ ） （A ）,A B 相互

6、獨立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互獨立 （D ）,AB C 互不相容 【詳解】 ()()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+- ()()()()()()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+- 顯然，A B 與C 相互獨立的充分必要條件是()()()P ABC P AB P C =，所以選擇（C ） 8設(shè)12,(2)n X X X n 為來自正態(tài)總體(,1

7、)N 的簡單隨機樣本，若1 1n i i X X n =，則下列結(jié)論中不 正確的是（ ） （A ） 21 ()n i i X =-服從2分布 （B ）()2 12n X X -服從2分布 （C ） 21 ()n i i X X =-服從2分布 （D ）2()n X -服從2分布 解：（1）顯然22 ()(0,1)()(1),1,2,i i X N X i n -?-= 且相互獨立，所以 21 ()n i i X =-服從 2()n 分布，也就是（A ）結(jié)論是正確的； （2） 2 22 22 1 (1)()(1)(1)n i i n S X X n S n =-=-= -，所以（C ）結(jié)論也是正

8、確的； （3 ）注意221 (,)(0,1)()(1)X N X N n X n ?-?-，所以（D ）結(jié)論也是正確的； （4）對于選項（B ） ：22111 ()(0,2)(0,1)()(1)2 n n X X N N X X -? ?-，所以（B ）結(jié) 論是錯誤的，應該選擇（B ） 二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） 9 3(sin x dx - =? 解：由對稱性知 3 3 (sin 22 x dx - += ? 10差分方程122t t t y y +-=的通解為 【詳解】齊次差分方程120t t y y +-=的通解為2x y C =； 設(shè)12

9、2t t t y y +-=的特解為2t t y at =，代入方程，得12 a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解為12 2.2 t t y C t =+ 11設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中產(chǎn)量為Q ，則邊際成本為 . 【詳解】答案為1(1)Q Q e -+- 平均成本()1Q C Q e -=+，則總成本為()()Q C Q QC Q Q Qe -=+，從而邊際成本為 ()1(1).Q C Q Q e -=+- 12設(shè)函數(shù)(,)f x y 具有一階連續(xù)的偏導數(shù)，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =+，(0,

10、0)0f =，則 (,)f x y = 【詳解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =+=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye = 13設(shè)矩陣101112011A ? ? = ? ? ，123,為線性無關(guān)的三維列向量，則向量組123,A A A 的秩 為 【詳解】對矩陣進行初等變換101101101112011011011011000A ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ，知矩陣A 的秩為2，由于 123,為線性無關(guān)，所以向量組123,A A A 的秩為2 14

11、設(shè)隨機變量X 的概率分布為1 22 P X =-= ，1P X a =，3P X b =，若0EX =，則DX = 【詳解】顯然由概率分布的性質(zhì)，知112 a b + = 12133102EX a b a b =-?+?+?=+-=，解得11 ,44 a b = 29292EX a b =+=，229 ()2 DX EX E X =-= 三、解答題 15（本題滿分10分） 求極限0 lim t x dt + 【詳解】令x t u -=，則,t x u dt du =-=- ， t x u dt du -=? ? 00 002 lim lim lim lim 3 3x t x u u x x x

12、 x x dt e du du + + + += 計算積分3242 (1)D y dxdy x y +?，其中D 是第一象限中以曲線y =與x 軸為邊界的無界區(qū)域 【詳解】 33 2422420024 242 00220(1)(1)1(1)4(1)1111411282D y y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x + +=+=+?= -=- ? +? ? 17（本題滿分10分） 求21 lim ln 1n n k k k n n =? + ? 【詳解】由定積分的定義 1 20111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24 n n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx =?+=+=+ ? ?=+=? 18（本題滿分10分） 已知方程 11 ln(1)k x x -=+在區(qū)間(0,1)內(nèi)有實根，確定常數(shù)k 的取值范圍 【詳解】設(shè)11 (),(0,1)ln(1)f x x x x = -+，則 22 222 2 11(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1) x x x f x x x x x x x +-=-+=+ 令22()(1)ln (1)g x x x x =+-，則2(0)0,(1)2ln 21g g =- 2()ln (1)2ln(1)2,(0)