大連理工大學(xué)課程

1、姓名：學(xué)號：院系：班級：授課教師：張宏偉裝訂線大連理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2005 級試 A 卷答案課程名稱：計(jì)算方法授課院(系)：應(yīng)用數(shù)學(xué)系考 試 日 期：2007 年 11月 日試卷共6頁一 二三四五六七八九十總分標(biāo)準(zhǔn)分4281515155/100得 分一、填空（每一空2 分，共 42 分）16x517 x418x314x213 x 11為了減少運(yùn)算次數(shù)，應(yīng)將表達(dá)式 .x416x28x 1改寫為16x17 x18 x14 x13 x1 ；x 0 x 16 x8 x 12給定 3 個求積節(jié)點(diǎn)： x00 ， x10.5 和 x2 1，則用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分1e x 2dx 求得的

2、近似值為1 12e 0. 5e 1，04用 Simpson公式求得的近似值為 1 14e 0.5e 1。61設(shè)函數(shù) s( x)S31, 0, 1 ，若當(dāng) x1 時(shí)，滿足 s(x)0 ，則其可表示為 s( x) c1 x 1 3c2 x3c3 x 1 3 。4已知 f (0)0, f (1) 6, f (2) 12 , 則 f 0,1 6 ,f 0,1,2 0 ，逼近 f (x) 的 Newton 插值多項(xiàng)式為 6x 。用于求x的根x0的具有平方收斂的Newton 迭代5fxe1x0公式為： xk 1xk2exk1xk 。exk1000000010已知 A- 1，則 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型

3、是01001或000；6000000000-1-7設(shè) A 是 n 階正規(guī)矩陣，則A 2A ；8求解一階常微分方程初值問題u (t)(t 21)ut ，u (t0 )u0 的向后（隱式）Euler 法的顯式化的格式為： un 11unhtn 1。h 1tn219設(shè) a211.00112 為 x 的近似值，且xa0.5 10 2 ，則 a 至少有位有效數(shù)字；3410將 x3, 4T，化為 y5, 0T的 Householder矩陣為：55；4355k110.5020；k 0103112用二分法求方程f ( x)2x35x10 在區(qū)間 1,3 內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根所在區(qū)間為 1,2 ，進(jìn)行二步后根所

4、在區(qū)間為1.5, 2 。1n13 若 f xdxAk f xk n 2為 Newton-Cotes 求 積公 式，則0k0n1 ，若為 Gauss型求積公式，則nxk4 1 。Ak xkAkk 02k 0514設(shè)A112521或 10。0 1，則在 Schur 分解 AURU H 中， R 可取為100115設(shè) A01，則 eAt1 t, d eAt01。000 1dt00二、（ 8 分）已知近似值 a11.21， a23.65 ， a39.81均為有效數(shù)字，試估計(jì)算術(shù)運(yùn)算 a3a1 a2 的相對誤差界。a3-2-解：由已知，x1 a11 10 k n1 10 2 ； x2a21 10 2 ；

5、 x3a31 102。2222令f x1 , x2 , x3x1 x2x3 ， f a1, a2 , a3a1a2a3，x3a3由函數(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)式f x1 , x2 , x3f a1 , a2 ,a3fx1 a1, a2 , a3 x1 a1 + fx2 a1 , a2 ,a3 x2a2 + f x3 a1 , a2 ,a3 x3a3a2 x1a1a1 x2a21a1 a2x3a3a3a3a32從而，相對誤差可寫成f x1 , x2 , x3f a1 , a2 , a3a2 x1a1a1 x2 a21a1 a2x3 a3a3a3a32f a1 , a2 ,a3a1 a2a3a3三、（15

6、分）設(shè)線性方程組：x13x243x1x242x1x24x37（1）列主元消元法求出上述方程組的解，并利用得到的上三角矩陣計(jì)算出 det( A) （要有換元、消元過程） ；（2）試問用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel迭代法求解上述方程組是否收斂？（3）請給出可求出上述方程組解的收斂的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并說明其收斂性。解：（1）1304310431043104310413040808080833214721473304014130433-3-310故， x1,1, 1 T ， det( A) ( 1) 08032 。0340（2）由

7、于 Gauss-Seidel迭代法的特征值滿足：30det D L U304 336 24 29 0，則24BG - S0, 0 , 9 ，故BG - S91 ，從而 Gauss-Seidel迭代法發(fā)散。又由于 Jacobi迭代法的迭代矩陣為：03030BJ300， detIBJ303929 ，則111012424BJ0, 3,3 ，故BJ31，從而 Jacobi 迭代法發(fā)散。（3）將上述方程組的第一個方程與第二個方程對調(diào)后，新的方程組的系31041304是嚴(yán)格對角占有的，故Jacobi 和 Gauss-Seidel數(shù)矩陣為： A2147迭代法均收斂。且新的方程組與原方程組同解。Jacobi、

8、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分別為：x1(k 1)1 4 x2(k)x1( k 1)1 4 x2(k )33x2(k 1)1 4 x1(k)和x2(k 1)1 4 x1(k )#33x3(k 1)1 7 2 x1( k)x2(k)x3(k 1)1 7 2x1(k 1)x2(k 1)44四、（ 15 分） 對于如下求解一階常微分方程初值問題u (t) f (t, u) ，u(t0 )u0 的數(shù)值方法un 21 un 11 unh 3 fn 2 8 f n 1fn228證明其收斂性；求出它的局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)及絕對穩(wěn)定區(qū)間；要用此方法解 u20 u ，u(0)1 。為使方法絕對

9、穩(wěn)定， 求出步長 h 的-4-取值范圍并以 u0 1 ，u11初值， h0.01為步長，求出 u(0.02)的近似值 u2 。解：（1）注意，01 ,11 ,21, 01 ,1 1,23 ，從而2288C0110212C121( 1 13)0288C21 ( 14)(123) 0228C31 (123 )1(1 223) 06228C41 (124 )1(1 233)14!23!848故此為線性隱式二步三階法 ，其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為：1h4u (4 ) (tn )。48（2）令， ( )211110，得 11， 21 ，2222滿足根條件；又方法階p31，故此差分格式收斂。（3）又對于模型問題

10、： uu (0 ),取 hh1133111hh( )h()12hh22280h2283381h1h88而要使得1的充要條件為：1h11 h4h231281211383hhh88而 14h2自然成立?，F(xiàn)在再由48h44h 得83h83h83h44h 4 8h 4 4h1 h 1 2h 1 h由1h12h，可推出2h0 ，即 h2,0 。#五、（15 分）（1） 用 Schimidt 正交化方法，構(gòu)造 1,1上以( x)1權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式系：0 (x) ， 1( x) ，2 ( x) ， 3 (x) ;-5-1（2）構(gòu)造計(jì)算f ( x) dx, 具有 5 次代數(shù)精度的數(shù)值求積公式；1（3） 利用

11、 2)的結(jié)果求出4 sin xdx 的數(shù)值解。0 x解：由 2n15n2 ，即應(yīng)構(gòu)造具有3 個 Gauss 點(diǎn)的求積公式。首先構(gòu)造 3 次正交多項(xiàng)式，令202102020220220233333200 x202 20220 x2020 x33x1+3x 0333202x23252522000002003255553500 x3588x388x27 15 x325 45 x 8152745251527452532 x332 x ；令3 x0 即得，1352253x1x31xx1x210，得 x0, 21353， x101352251352252255取 f x1 ， x ， x2 ，令f x d

12、x A0 f3A1 f 0A2 f31155即得到方程組：332332 A0A1A2 ，05A05A2， 35 A05 A2解之，得 A0A25，A18 ，從而具有5 次代數(shù)精度 Gauss求積公式5 f995 ff x dx38 f 031195995（2） x2 1t ，則有4212 1 tdtf x dxf012 5 f 2 138 f 2 5 f 2 1395533sin 2 1sin 2 14sin x dx2550516 sin 2 5x9332 12 155-6-50sin 10 215sin 102 15532sin 250591021599102 15sin 102 1550 1015128sin 2sin 10 2 1550 10 155536六、證明題（ 5 分）任選一題1設(shè) A, BCn n 均為可逆矩陣，且齊次線性方程組AB x 0 有非零解，證明：對于 C n n 中的任何矩陣范數(shù)，都有 A 1B1 。（1）由題意，可知矩陣A BA-1IA-1 B 奇異。故 I A-1B 奇異。反證法，若存在某種范數(shù)，使得 A 1B1 ，則A 1 B1 ，則可知 IA-1 B非奇異，與條件矛盾。（2）由于 AB x0 有非零解，故對 x0 ，取與向量 x 的范數(shù)相容的矩陣范數(shù)，則由A B x A 1 I A 1B x 0I A 1 B x 0 x - A