教學(xué)教案-橢圓的簡單幾何性質(zhì)

1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)一、教案描述：橢圓的簡單幾何性質(zhì)包括橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、橢圓的第二定義等等，教材中單獨(dú)地把它分成幾塊拿出來討論，顯得極不自然。特別是橢圓的第二定義，教材通過一個(gè)例子給出，思路不蹈常規(guī)，這一切都是教材的簡潔性決定的。我在教學(xué)設(shè)計(jì)中，創(chuàng)設(shè)了問題情境，把這些內(nèi)容有機(jī)地串聯(lián)起來，整個(gè)過程如同一次重大戰(zhàn)役，環(huán)環(huán)緊扣，層層深入，促進(jìn)學(xué)生思維的展開，增強(qiáng)創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。過程如下：（一）、以問題為中心，注重過程教學(xué)。首先，設(shè)計(jì)如下情境，提出反常規(guī)的問題。師：上幾節(jié)課，我們導(dǎo)出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，整個(gè)過程嚴(yán)謹(jǐn)周密，現(xiàn)摘錄如下：設(shè)M是橢圓上任意一點(diǎn)，焦點(diǎn)F和F的坐標(biāo)分別是，（圖1）。

2、由橢圓的定義可得：將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得兩邊再平方，整理得問題1：為什么將（3）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？對于這一問題學(xué)生首先會感到奇怪，似乎（3）式作為標(biāo)準(zhǔn)方程那是順理成章的，進(jìn)而會展開熱烈的討論，教師總結(jié)一下大致有以下幾點(diǎn)理由：1、（3）式簡捷，具有對稱的美感。2、（3）式為我們提供了求橢圓軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程，方便用待定系數(shù)法求解軌跡的方程。3、根據(jù)解析幾何用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)這一特點(diǎn)，（3）式方便研究橢圓的幾何性質(zhì)。針對上述理由3，教師可以組織學(xué)生就如何利用（3）式從整體上把握橢圓的曲線的形狀，展開討論。這樣便自然引出：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等課文要求的內(nèi)容。若要進(jìn)一步研究橢圓

3、的曲線，自然需要列表、描點(diǎn)、連線等常用手段，于是課文中的例1便自然出來了。上述討論需要一個(gè)課時(shí)左右。（二）以探究為熱點(diǎn)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。由于有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，本節(jié)課教師的問題設(shè)計(jì)顯然容易且自然多了。師：上節(jié)課我們討論了（3）式作為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的諸多優(yōu)點(diǎn)，自然我們會有：問題2：將（3）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么缺點(diǎn)？對于這一問題學(xué)生感到有些困難，教師可以和學(xué)生一起比較圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)（3）式無法揭示橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和等于定長2a這一本質(zhì)屬性，相比之下（1）式恰好具有這一優(yōu)點(diǎn)。于是師生一起可以討論（1）式的優(yōu)缺點(diǎn)，具體可得：1、（1）式充分揭示了橢圓的定義。2、（1）式難以討論

4、橢圓的其他幾何性質(zhì)，如范圍、對稱性、頂點(diǎn)等等。通過以上討論，自然產(chǎn)生了：問題3：是否存在一個(gè)方程，同時(shí)體現(xiàn)橢圓的第一定義和橢圓的幾何性質(zhì)？自然將目光轉(zhuǎn)向（2）式，將（2）式變形，得即 同理可得 將（2）式再變形，得即 （5）（6）兩式將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為只和焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)的一維算式，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)降維思想。而（7）式正好揭示了橢圓的第二定義，正是書本上例2的意圖（圖2）。如此處理教材，自然流暢，既能完成教學(xué)任務(wù)，又充分地揭示了知識的發(fā)生過程，通過被人們所遺棄的（2）式，挖掘出如此寶貴的教學(xué)成果，這會讓學(xué)生興奮不已。在品嘗創(chuàng)新果實(shí)的同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力，以上討論約一教時(shí)。（三）、

5、以反思為主調(diào)，奏響創(chuàng)新旋律。務(wù)必指出，反思是創(chuàng)新的源泉。通過前二節(jié)課的探索，特別是第二課時(shí)獲得一系列創(chuàng)新成果以后，教師更要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，打破思維定勢，爭取更大的突破。師：總結(jié)上二節(jié)課的討論，我們發(fā)現(xiàn)對（1）式的每一次變形，都會收到一系列令人激動(dòng)的科學(xué)成果，那么自然會有：問題4：（1）式還有其他變形嗎？如果有又能得到什么收獲呢？此時(shí)，學(xué)生的思維已被激活，討論特別的活躍，熱情空然的高漲，通過討論可獲得一系列成果如下：成果一：將（1）兩邊平方，整理可得：（8）式揭示了橢圓的又一本質(zhì)屬性：，即，橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之積，和它到橢圓中心距離的平方之和等于常數(shù)（圖3）。成果二：將（5）（

6、6）代入（8）式可得：若將動(dòng)點(diǎn)到中心的長度稱為橢圓的半徑，那么（9）式給出了橢圓半徑的計(jì)算方法，它只和該點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)，同樣起到降維作用。成果三：若將（1）式的兩邊乘以，整理可得：（10）式給出了橢圓的又一本質(zhì)屬性：即橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差與該點(diǎn)到橢圓的一條對稱軸（垂直于焦點(diǎn)所在直線）的距離之比是一個(gè)常數(shù)。成果四：在 則由余弦定理可得：所以 將（11）式代入（8）式可得：（12）式給出了橢圓半徑與動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)連線所成角的關(guān)系。應(yīng)該指出：本節(jié)課的創(chuàng)新討論是無止境的，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，當(dāng)然由于學(xué)生的程度不同，得到的成果也不同，無論如何，教師都應(yīng)給予充分的肯定。從對（1）式作變形看，

7、自然也可考慮對其它式子變形，如將（3）式變形成 ，于是可得，橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)A,B的連線的斜率之積等于常數(shù)，等等。本內(nèi)容可以安排1至2課時(shí)。二、教案分析（一）、教學(xué)觀念是教學(xué)設(shè)計(jì)的指南針培養(yǎng)創(chuàng)造性思維是素質(zhì)教育的主要任務(wù)之一。突破舊的教學(xué)模式，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，多給學(xué)生以創(chuàng)新的條件、機(jī)遇和氛圍，突出知識的發(fā)生、形成、探索過程，寓創(chuàng)新意識于課堂教學(xué)之中，這是本節(jié)內(nèi)容教學(xué)設(shè)計(jì)的主思想、主旋律。本教案一反常規(guī)的教學(xué)過程，在注重知識落實(shí)的同時(shí)，更注重的是過程，通過一系列問題的創(chuàng)設(shè)，將課本教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地聯(lián)系起來，一切顯得那么的自然和諧、合情合理、引人入勝，這與教師的教學(xué)觀念是密切相關(guān)的。從這堂課的整體

8、效果看，因從暴露思維的角度組織材料，所以學(xué)生學(xué)得輕松愉快，主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)的熱情高漲，變被動(dòng)接受為主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高了學(xué)習(xí)效果。在教師的適當(dāng)點(diǎn)撥下，學(xué)生在力所能及的發(fā)現(xiàn)中可以領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣。從教師的教學(xué)理念看，特別注重提高思維能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，于是設(shè)計(jì)出一個(gè)又一個(gè)富有成果的、有價(jià)值的問題。給學(xué)生以探索的機(jī)會，創(chuàng)造的熱情，從而提高了素質(zhì)。我們說演繹推理能力的培養(yǎng)，無疑是重要的，但對于尋找真理、發(fā)現(xiàn)真理和探索真理而言，更要重視合乎情理的推理能力的培養(yǎng)。這一切，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)未予重視，于是說要設(shè)計(jì)一個(gè)好的教案，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念更是關(guān)鍵、是方向盤、是指南針。（二）挖掘教材是教學(xué)設(shè)計(jì)

9、的必修課?，F(xiàn)行教學(xué)教材是由很多教學(xué)教育專家經(jīng)過反復(fù)修改、討論才編就的，它的每一項(xiàng)內(nèi)容乃至每一條題目，都有其精心的考慮。當(dāng)然，編寫者不可能也無必要把他們的所有想法都寫進(jìn)教材，這就要求我們深入鉆研教材，充分挖掘教材的潛能，實(shí)際教學(xué)時(shí)，做到既源于課本，又高于課本、活于課本，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性的思維能力和解決實(shí)際問題的能力。本教案從一個(gè)反常規(guī)的問題入手，扣開了學(xué)生的創(chuàng)新思維，可能在學(xué)生的心目中，甚至在許多教師的心底里認(rèn)為（3）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是天經(jīng)地義的，從來沒有想過為什么要把（3）式作為標(biāo)準(zhǔn)方程，也從來沒有想過（3）式的許多不足和缺陷。本課時(shí)正是在這一逆向思維的基礎(chǔ)上，一下子吸引了學(xué)生的注意力，激活了他們的好奇心，整節(jié)內(nèi)容設(shè)計(jì)成幾課時(shí)，猶如一部優(yōu)秀的