人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 《正多邊形和圓形》圓課件

1、正多邊形和圓形 （2）正多邊形的性質(zhì)：各條邊都相等；各個內(nèi)角都相等。（3） n邊形的內(nèi)角和為_，n邊形的外角和為360。（4）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，即“三線合一”。（1）正多邊形的概念：各條邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。知識回顧問題探究課堂小結(jié)觀察下列圖形，從這些圖形中找出相應(yīng)的正多邊形。（1）正六邊形； （2）正八邊形； （3）等邊三角形；（4）正五邊形。探究一：從舊知識過渡到新知識活動1回顧舊知正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？探究一：從舊知識過渡到新知識活動2整合舊知 等分圓周，就可以得到圓內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓。認真思考、交流

2、，充分發(fā)表自己的見解，并互相補充。探究二：等分圓周，正多邊形的有關(guān)概念活動1為什么等分圓周就能得到正多邊形呢？重點、難點知識我們現(xiàn)以正五邊形為例進行證明。 同理可證： 五邊形ABCDE是正五邊形。A、B、C、D、E在O上，五邊形ABCDE是圓內(nèi)接正五邊形。如圖，思考、交流自己的見解，進行作圖，方法不限。用量角器度量，使AOB=BOC=COA=120，如圖2。探究二：等分圓周，正多邊形的有關(guān)概念活動2如何三等分圓周呢？重點、難點知識（1）度量法： 用量角器或30角的三角板度量，使BAO=CAO=30，如圖1。圖1圖2（2）尺規(guī)作圖：用圓規(guī)在O上截取長度等于半徑（2cm）的弦，連結(jié)AB、BC、CA

3、即可，如圖3。圖3（3）計算與尺規(guī)作圖結(jié)合法：由圓內(nèi)接正三角形的邊長與圓的半徑的關(guān)系可得，正三角形的邊長為 cm，R=2cm，用圓規(guī)在O上截取長度為 cm的弦AB、AC，連結(jié)AB、BC、CA即可。探究二：等分圓周，正多邊形的有關(guān)概念重點、難點知識（1）圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，且它的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。（2）正多邊形也是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸，當(dāng)n為偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，且繞中心旋轉(zhuǎn) ，都能和原來的圖形重合。正多邊形與圓有著密切的聯(lián)系： 給出正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等概念，同樣說明正多邊形與圓有著很多內(nèi)在的聯(lián)系。探究二：等

4、分圓周，正多邊形的有關(guān)概念重點、難點知識1. 用量角器等分圓：依據(jù)：同圓中相等的圓心角所對應(yīng)的弧相等。 操作：兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準(zhǔn)確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個圓心角，然后在圓上依次截取等于該圓心角所對弧的等弧，于是得到圓的等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最后一個等分點，使畫出的正多邊形的邊長誤差較大。探究二：等分圓周，正多邊形的有關(guān)概念活動3在作圖的基礎(chǔ)上，歸納出等分圓周的方法：重點、難點知識2. 用尺規(guī)等分圓：（1）作正四邊形、正八邊形。只要做出已知O的互相垂直的直徑即得圓內(nèi)接正方形，再過圓心作各邊的垂線與O相交，或作各中心角的角平

5、分線與O相交，即得圓內(nèi)接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形（2）作正六、三、十二邊形。 先做出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發(fā)現(xiàn)，隨著邊數(shù)的增加，正多邊形越來越接近于圓，正多邊形將越來越難畫。探究二：等分圓周，正多邊形的有關(guān)概念重點、難點知識參照下圖，按照一定比例，畫一個停車讓行的交通標(biāo)志的外緣。作圖如下：探究三：利用正多邊形和圓解決實際問題活動1實際應(yīng)用 例：某學(xué)校在教學(xué)樓前的圓形廣場中，準(zhǔn)備建造一個花園，并在花園內(nèi)分別種植牡丹、月季和杜鵑三種花卉。 為了美觀，種植要求如下：（1）種植4塊面積相等的牡丹、4

6、塊面積相等的月季和一塊杜鵑（注意：面積相等必須由數(shù)學(xué)知識作保證）；（2）花卉總面積等于廣場面積；（3）花園邊界只能種植牡丹花，杜鵑花種植在花園中間且與牡丹花沒有公共邊。探究三：利用正多邊形和圓解決實際問題活動2方案設(shè)計認真思考后，設(shè)計出最美的圖案，并用實物投影展示自己的作品。要求：尺規(guī)作圖；說明畫法；指出作圖依據(jù)；學(xué)生獨立完成。探究三：利用正多邊形和圓解決實際問題活動2方案設(shè)計符合要求的方案很多，最后一種設(shè)計不合要求。例1.已知正六邊形的邊長為2，則它的內(nèi)切圓的半徑為（）。 A1 B. C. 2D. 2解：如下圖，由正六邊形的性質(zhì)知，三角形AOB為等邊三角形。所以，OAOBAB2，AC1，由勾

7、股定理，得內(nèi)切圓半徑：OC ?！舅悸伏c撥】構(gòu)成以半徑、邊心距、邊長為邊的直角三角形是解題關(guān)鍵。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用活動1基礎(chǔ)性例題練習(xí)：如圖，AD是正五邊形ABCDE的一條對角線，則BAD= 。解：設(shè)O是正五邊形的中心，連接OD、OB。 則DOB= 360=144， BAD= DOB=72， 故答案是：72?！舅悸伏c撥】設(shè)O是正五邊形的中心，連接OD、OB，求得DOB的度數(shù)，然后利用圓周角定理即可求得BAD的度數(shù)。正確理解正多邊形的內(nèi)心和外心重合是關(guān)鍵。72探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用 例2.蜂巢的構(gòu)造非常美麗、科學(xué)，如圖是由7個形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)絡(luò)，正六邊形的頂點稱為格

8、點，ABC的頂點都在格點上。設(shè)定AB邊如圖所示，則ABC是直角三角形的個數(shù)有（）。A. 4個 B. 6個 C.8個 D.10個解：如圖，AB是直角邊時，點C共有6個位置，即，有6個直角三角形，AB是斜邊時，點C共有2個位置，即有2個直角三角形，綜上所述，ABC是直角三角形的個數(shù)有6+2=8個。故選C。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用【思路點撥】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，分AB是直角邊和斜邊兩種情況確定出點C的位置即可得解。熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用練習(xí)：正多邊形的一個外角等于20，則這個正多邊形的邊數(shù)是。解：因為外角是20 ，36020=18，則這個

9、多邊形是18邊形?！舅悸伏c撥】根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用 例3.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，其邊長為4，則O的內(nèi)接正三角形EFG的邊長為_。解：連接AC、OE、OF，作OMEF于M，四邊形ABCD是正方形，AB=BC=4，ABC=90，AC是直徑，AC= ，OE=OF= ，OMEF，EM=MF。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用活動2提升型例題【思路點撥】連接AC、OE、OF，作OMEF于M，先求出圓的半徑，在RtOEM中利用30度角的性質(zhì)即可解決問題。EFG是等邊三角形，GEF=60，在RtOME中，OE=

10、，OEM= GEF=30OM= ，EM= OM= ，EF= 。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用 練習(xí)：如圖，正十二邊形A1A2A12，連接A3A7，A7A10，則A3A7A10=。解：設(shè)該正十二邊形的圓心為O，如圖，連接A10O和A3O，由題意知A3OA10= =150，A3A7A10=75?！舅悸伏c撥】作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，靈活運用正多邊形及其外接圓的性質(zhì)及圓周角定理來分析是解答此題的關(guān)鍵。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用 例4.如圖，平面直角坐標(biāo)系的原點O是正方形ABCD的中心，頂點A，B的坐標(biāo)分別為（1，1），（-1，1），把正方形ABCD繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)45得正方形ABCD，則正方形ABCD與正方形

11、ABCD重疊部分所形成的正八邊形的邊長為。【思路點撥】如圖，首先求出正方形的邊長、對角線長；進而求出OA的長；證明AMN為等腰直角三角形，求出AN的長度；同理求出DM的長度，即可解決問題。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用解：如圖，由題意得：正方形ABCD的邊長為2，該正方形的對角線長為 ，OA= ；而OM=1，AM= ；由題意得：MAN=45，AMN=90，MNA=45，MN=AM= ；由勾股定理得：AN= ；同理可求DM= ，MN= ，正八邊形的邊長為 。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用 練習(xí)：如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，若直線PA與O相切于點A，則PAB=（）。A30 B35 C45 D60解

12、：連接OB，AD，BD，多邊形ABCDEF是正多邊形，AD為外接圓的直徑， AOB= =60，ADB= AOB= 60=30。直線PA與O相切于點A，PAB=ADB=30，故選A。【思路點撥】連接OB，AD，BD，由多邊形是正六邊形可求出AOB的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可求出ADB的度數(shù)，利用弦切角定理求PAB。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用例5.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，1），點P在線段OA上，以AP為半徑的P周長為1。 點M從A開始沿P按逆時針方向轉(zhuǎn)動，射線AM交x軸于點N（n，0）。設(shè)點M轉(zhuǎn)過的路程為m（0m1）。 隨著點M的轉(zhuǎn)動，當(dāng)m從 變化到 時，點N相應(yīng)移動的路徑長為。

13、【思路點撥】先求到點M轉(zhuǎn)動的圓周角的度數(shù)，由對稱性得到OAN的度數(shù)，從而求得點N相應(yīng)移動的路徑長。若動點的運動路徑是一條線段，常?？赏ㄟ^考慮臨界位置（動點的始點和終點）來解決。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用活動3探究型例題解：當(dāng)m= 時，連接PM，如圖1，APM= 360=120。PA=PM，PAM=PMA=30。在RtAON中，NO= 。當(dāng)m= 時，連接PM，如圖2，APM= 360- 360=120。同理可得：NO= 。綜合、可得：點N相應(yīng)移動的路經(jīng)長為 。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用 練習(xí)：有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1S2等于（）。解：設(shè)正方形ABCD的邊

14、長為x，根據(jù)圖形可得：A1 B12 C23 D49探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用 例6.如圖，邊長為a的正六邊形內(nèi)有兩個三角形（數(shù)據(jù)如圖），則 =（）。A. 3 B. 4 C.5 D.6解：如圖，三角形的斜邊長為a， 兩條直角邊長為 ，S空白= AB=a，OC= ，S正六邊形=S陰影=S正六邊形S空白=探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用【思路點撥】正六邊形的邊長等于半徑，面積可以分成六個等邊三角形的面積來計算。先求得兩個三角形的面積，再求出正六邊形的面積，求比值即可。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用 練習(xí)：如圖（1）、（2）、（3）、（n），M、N分別是O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE

15、、正n邊形ABCDE的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連結(jié)OM、ON。（1）求圖（1）中MON的度數(shù)；（2）圖（2）中MON的度數(shù)是_，圖（3）中MON的度數(shù)是_；（3）試探究MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系（直接寫出答案）。探究四：正多邊形和圓的應(yīng)用解：（1）方法一：連結(jié)OB、OC.正ABC內(nèi)接于O，OBM=OCN30，BOC=120。又BM=CN，OB=OC，OBMOCN。BOMCON。MON=BOC=120。方法二：連結(jié)OA、OB。正ABC內(nèi)接于O，AB=AC，OAM=OBN=30，AOB=120。又BMCN，AM=BN。又OA=OB，AOMBON。AOM=BON。MON=AOB=120。（2） 90 ， 72（3）MON=探