遼寧師大學(xué)附中2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1在中，已知，則的最大值為（ ）ABCD2已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（

2、 ）ABCD3在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆漂流的汽油桶?，F(xiàn)有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊相互獨(dú)立，且命中概率都是 。則打光子彈的概率是（ ）ABCD4已知函數(shù)的圖象如圖，則與的關(guān)系是：（）ABCD不能確定5已知圓柱的軸截面的周長(zhǎng)為，則圓柱體積的最大值為（ ）ABCD6已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，（為虛數(shù)單位），則（ ）ABCD7乘積可表示為（ ）ABCD8某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（）（ ）ABCD9已知f(x)=2x,

3、xb0）的離心率為e，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得是鈍角，則滿(mǎn)足條件的一個(gè)e的值為_(kāi)15若則的值為_(kāi)16已知一組數(shù)據(jù)，的線(xiàn)性回歸方程為，則_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）1，4，9，16這些數(shù)可以用圖1中的點(diǎn)陣表示，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將其稱(chēng)為正方形數(shù)，記第個(gè)數(shù)為.在圖2的楊輝三角中，第行是展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，記楊輝三角的前行所有數(shù)之和為.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并加以證明.18（12分）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部

4、處理完根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量（單位：瓶）為多少時(shí)，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？19（12分） (1)設(shè)k，且，求證：；(2)求滿(mǎn)足的正整數(shù)n的最大值；20（12分）已知復(fù)數(shù)z=

5、a+bi(a,bR)，若存在實(shí)數(shù)t，使z=(1)求證：2a+b為定值；(2)若|z-2|a，求|z|的取值范圍21（12分）某園林基地培育了一種新觀賞植物，經(jīng)過(guò)了一年的生長(zhǎng)發(fā)育，技術(shù)人員從中抽取了部分植株的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分組做出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在50,60),90,100的數(shù)據(jù)).1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的2）在選取的樣本中,從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機(jī)抽取3株,設(shè)隨機(jī)變量表示所抽取的3株高度在 80,90) 內(nèi)的株數(shù),求

6、隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.22（10分）張華同學(xué)上學(xué)途中必須經(jīng)過(guò)四個(gè)交通崗，其中在崗遇到紅燈的概率均為，在崗遇到紅燈的概率均為假設(shè)他在4個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，X表示他遇到紅燈的次數(shù)（1）若，就會(huì)遲到，求張華不遲到的概率；（2）求EX參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由題知，先設(shè)，再利用余弦定理和已知條件求得和的關(guān)系，設(shè)代入，利用求出的范圍，便得出的最大值.【詳解】由題意，設(shè)的三邊分別為，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，則，代入上式得：，所以.當(dāng)時(shí)， 符合題意，所以的最大值為，即的最大值

7、為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用的余弦定理求線(xiàn)段和得最值，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，以及根的判別式大于等于0求解.2、B【解析】由漸近線(xiàn)方程得出的值，結(jié)合可求得【詳解】雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，解得，即離心率為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)和離心率，解題時(shí)要注意，要與橢圓中的關(guān)系區(qū)別開(kāi)來(lái)3、B【解析】打光所有子彈，分中0次、中一次、中2次?！驹斀狻?次中0次：5次中一次： 5次中兩次： 前4次中一次，最后一次必中 則打光子彈的概率是+=,選B【點(diǎn)睛】本題需理解打光所有子彈的含義：可能引爆，也可能未引爆。4、B【解析】通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖像即得答案.【詳解】由于導(dǎo)數(shù)表示的幾何意義是切

8、線(xiàn)斜率，而由圖可知，在A處的切線(xiàn)傾斜角小于在B處切線(xiàn)傾斜角，且都在第二象限，故，答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，比較基礎(chǔ).5、B【解析】分析: 設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圓柱體積的最大值詳解:設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，2r+h=r+r+h3，r2hV=r2h8，圓柱體積的最大值為8，點(diǎn)睛: (1)本題主要考查圓柱的體積和基本不等式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.6、A【解析】由題意，求得，則，再根據(jù)復(fù)數(shù)的

9、除法運(yùn)算，即可求解【詳解】由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，則，則根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的表示，以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】根據(jù)對(duì)排列公式的認(rèn)識(shí)，進(jìn)行分析，解答即可【詳解】最大數(shù)為，共有個(gè)自然數(shù)連續(xù)相乘根據(jù)排列公式可得故選【點(diǎn)睛】本題是一道比較基礎(chǔ)的題型，主要考查的是排列與組合的理解，掌握排列數(shù)的公式是解題的關(guān)鍵8、A【解析】試題分析：分析題意可知，問(wèn)題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積的最大值，設(shè)長(zhǎng)方體體的長(zhǎng)，寬，高分別為，長(zhǎng)方體上底面截圓錐的截面半徑為，則，如下

10、圖所示，圓錐的軸截面如圖所示，則可知，而長(zhǎng)方體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)利用率為，故選A.考點(diǎn)：1.圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體；2.基本不等式求最值.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的最值問(wèn)題，與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類(lèi)問(wèn)題的兩大核心思路：一是化立體問(wèn)題為平面問(wèn)題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值.9、C【解析】由函數(shù)fx=2x,x0a+log2【詳解】函數(shù)fxf（1）12 ff（1）=f12解得：a0，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查

11、的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題10、B【解析】分析：根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的特征，依次算出每個(gè)循環(huán)單元的值，同時(shí)判定是否要繼續(xù)返回循環(huán)體，即可求得S的值詳解: 因?yàn)楫?dāng) 不成立時(shí)，輸出 ，且輸出 所以 所以 所以選B 點(diǎn)睛：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)在程序框圖中的應(yīng)用，按照要求逐步運(yùn)算即可，屬于簡(jiǎn)單題11、B【解析】設(shè)，可得，求解即可.【詳解】設(shè)，則，即，解得，取.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了類(lèi)比推理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】令x=y=3，利用f（3）=1即可求得f（1）=2，由f（x）+f（x8）2得fx（x8）f（1），再由單調(diào)性得到不等式組，解之即可【詳解】f（3

12、）=1，f（1）=f（33）=f（3）+f（3）=2；函數(shù)f（x）是定義在（0，+）上的增函數(shù)，f（xy）=f（x）+f（y），f（1）=2，f（x）+f（x8）2fx（x8）f（1），解得：8x1原不等式的解集為：（8，1故選：B【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查解不等式組的能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】逐項(xiàng)分析.【詳解】如圖當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，可知也是中點(diǎn)且，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正確；如圖取靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)記為，記，因?yàn)?，所以，所以為靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則為中點(diǎn)，又為

13、中點(diǎn)，所以，且，所以平面平面，且平面，所以平面，故正確；如圖作，在中根據(jù)等面積得：，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知：，又，所以是等腰三角形，則，故錯(cuò)誤；如圖設(shè)，在平面內(nèi)的正投影為，在平面內(nèi)的正投影為，所以，當(dāng)時(shí)，解得：，故正確.故填：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的綜合問(wèn)題，難度較難.對(duì)于判斷是否存在滿(mǎn)足垂直或者平行的位置關(guān)系，可通過(guò)對(duì)特殊位置進(jìn)行分析得到結(jié)論，一般優(yōu)先考慮中點(diǎn)、三等分點(diǎn)；同時(shí)計(jì)算線(xiàn)段上動(dòng)點(diǎn)是否滿(mǎn)足一些情況時(shí)，可以設(shè)動(dòng)點(diǎn)和線(xiàn)段某一端點(diǎn)組成的線(xiàn)段與整個(gè)線(xiàn)段長(zhǎng)度的比值為，然后統(tǒng)一未知數(shù)去分析問(wèn)題.14、（答案不唯一，e1）【解析】當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大，因此滿(mǎn)足題意時(shí)，此角必為鈍角【詳解】由題意當(dāng)為短軸

14、端點(diǎn)時(shí)，為鈍角，答案可為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)解題中注意性質(zhì)：是橢圓上任意一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大15、 【解析】由排列數(shù)和組合數(shù)展開(kāi)可解得n=6.【詳解】由排列數(shù)和組合數(shù)可知，化簡(jiǎn)得，所以n=6,經(jīng)檢驗(yàn)符合，所以填6.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)組合數(shù)方程，一般用公式展開(kāi)或用排列數(shù)組合公式化簡(jiǎn)，求得n,注意n取正整數(shù)且有范圍限制。16、【解析】樣本數(shù)據(jù)的回方程必經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，該組數(shù)據(jù)的中心為，代入回歸方程，得到關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)這組數(shù)據(jù)的中心為，整理得：.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線(xiàn)方程經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)中心，考查統(tǒng)計(jì)中簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)處理能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文

15、字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（），（），證明見(jiàn)解析【解析】（）由正方形數(shù)的特點(diǎn)知，由二項(xiàng)式定理的性質(zhì)，求出楊輝三角形第行個(gè)數(shù)的和，由此能求出和的通項(xiàng)公式；（）由時(shí)，時(shí)，證明：時(shí)，時(shí)，可以逐個(gè)驗(yàn)證；證明時(shí)，時(shí)，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明【詳解】（）由正方形數(shù)的特點(diǎn)可知；由二項(xiàng)式定理的性質(zhì)，楊輝三角第行個(gè)數(shù)的和為，所以.（），所以；，所以；，所以；，所以；，所以；猜想：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.證明如下：證法1：當(dāng)時(shí)，已證.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，已證：假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，所以；那么，所以，當(dāng)時(shí)，猜想也成立根據(jù)，可知當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，以及數(shù)學(xué)歸納法不等式的證明

16、，其中解答中要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)式定理和數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題18、（1）分布列見(jiàn)解析；（2）520.【解析】分析：（1）根據(jù)題意所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，；（2）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別得到利潤(rùn)表達(dá)式.詳解：（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，.因此的分布列為0.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮當(dāng)時(shí)，若最高氣溫不低于25，則；若最高氣溫位于區(qū)間，則；若最高氣溫低于20，則因此當(dāng)時(shí)，若最高氣溫不低于20，則，若最高氣溫低于20，則，因

17、此所以時(shí)，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.方法點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.19、 (1)略；(2)7【解析】（

18、1）根據(jù)組合數(shù)公式可證得左右兩側(cè)形式相同，從而可得結(jié)論；（2）將問(wèn)題變?yōu)?，將不等式左?cè)根據(jù)組合數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可求得等于，從而可將不等式變?yōu)?，根?jù)為正整數(shù)求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，（2），即：又，即又為正整數(shù) ，即正整數(shù)的最大值為：【點(diǎn)睛】本題考查利用組合數(shù)公式及其性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算或證明，考查對(duì)于公式的掌握程度，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.20、（1）詳見(jiàn)解析；（2）(22【解析】(1)由條件利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，求得2a+b=6，從而可以證得結(jié)論。(2)由|z-2|a，可得0a5；再根據(jù)|z|=5a2【詳解】(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)，若存在實(shí)數(shù)t使則ta-tbi=2+(4-3at2)i，可得ta=2，-tb=4-3a化簡(jiǎn)可得2a+b=6，即2a+b為定值(2)若|z-2|0，求得0a5而|z|=a當(dāng)0a5時(shí)，綜上可得，|z|的取值范圍為(22【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難點(diǎn)是乘除法法則，設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)21、 (1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）由莖葉圖及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y；（2）由題意可知，高度在80,90)