福建省福州市格致中學2022年高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員12

2、0人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是 （ ）A12,24,15,9B9,12,12,7C8,15,12,5D8,16,10,62利用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，由變成時，左邊增加了（ ）A1項B項C項D項3設函數(shù)f(x)，x表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)yf(x)的值域為()A0B1,0C1,0,1D2,04函數(shù)（ ）ABCD5在數(shù)列中，若，則（ ）A108B54C36D1865人站成一列，甲、乙兩人相鄰的不同站法的種數(shù)為（）A18B24C36D487用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字且大于3000的四位數(shù)，這樣

3、的四位數(shù)有（ ）A250個B249個C48個D24個8若，0，1，2，3，6，則的值為( )ABC1D29直線與直線平行，則=（ ）ABC7D510某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A B C D11將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將所得圖象上所有的點向左平移個單位長度，則所得圖象對應的函數(shù)解析式為（ ）ABCD12設，函數(shù)的導函數(shù)是，若是偶函數(shù)，則曲線在原點處的切線方程為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)有兩個零點，則下列判斷：；有極小值點，且.則正確判斷的個數(shù)是_.14如圖所示的數(shù)表為“森德拉姆篩”（森德拉

4、姆，東印度學者），其特點是每行每列都成等差數(shù)列.在此表中，數(shù)字“121”出現(xiàn)的次數(shù)為_.2345673579111347101316195913172125611162126317131925313715右圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲400個點，其中落入黑色部分的有225個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積為_.16在等比數(shù)列中，已知，且與的等差中項為，則_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表：溫度x/212324272

5、932產(chǎn)卵數(shù)y/個61120275777經(jīng)計算得：，線性回歸模型的殘差平方和，其中分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，（1）若用線性回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1）；（2）若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為，且相關(guān)指數(shù).試與1中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好.用擬合效果好的模型預測溫度為35時該用哪種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）附：一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計為，；相關(guān)指數(shù).18（12分）已知復數(shù)（a，），（c，）.（1）當，時，求，；（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果猜想與的關(guān)系，并證明該關(guān)系的一般性19（12分）在平面直角坐標系中，直線：，以原點為

6、極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.設直線與曲線交于，兩點.（1）當時，求，兩點的直角坐標；（2）當變化時，求線段中點的軌跡的極坐標方程.20（12分）某校高二年級成立了垃圾分類宣傳志愿者小組,有7名男同學,3名女同學,在這10名學生中,1班和2班各有兩名同學,3班至8班各有一名同學,現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學,利用節(jié)假日到街道進行垃圾分類宣傳活動(每位同學被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學是來自不同班級的概率;(2)設為選出的3名同學中女同學的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望21（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點為棱上一點，以為基底，

7、建立如圖所示的空間直角坐標系（1）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設二面角的平面角為，且，試判斷點的位置22（10分）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓相交于，兩點，若，試用表示.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級職稱抽取的人數(shù)為，中級職稱抽取的人數(shù)為，初級職稱抽取的人數(shù)為，其余人員抽取的人數(shù)為，所以各層中依次抽取的人數(shù)分別是8人，16人，10人，6人，故選D考點：分層抽樣【方法點睛】分層抽樣滿足“”，即“或”，據(jù)此在

8、已知每層間的個體數(shù)量或數(shù)量比，樣本容量，總體數(shù)量中的兩個時，就可以求出第三個2、D【解析】分別寫出、時，不等式左邊的式子，從而可得結(jié)果.【詳解】當時，不等式左邊為，當時，不等式左邊為，則增加了項，故選D.【點睛】項數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學歸納法解答問題的基礎，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規(guī)律；二是相鄰兩項之間的變化規(guī)律.3、B【解析】依題意，由于，所以.當時，當時，故的值域為.故選B.【點睛】本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域，考查新定義函數(shù)的意義，考查了分類討論的數(shù)學思想方法.屬于中檔題.4、A【解析】由于函數(shù)為偶函數(shù)又過（0，0）,排除，所以直接選A.【考

9、點定位】對圖像的考查其實是對性質(zhì)的考查，注意函數(shù)的特征即可，屬于簡單題.5、B【解析】通過，可以知道數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可以求出的值.【詳解】因為，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因此，故本題選B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的概念、以及求等比數(shù)列某項的問題，考查了數(shù)學運算能力.6、D【解析】將甲、乙兩人捆綁在一起，再利用排列公式得到答案.【詳解】將甲、乙兩人捆綁在一起，不同站法的種數(shù)為： 故答案選D【點睛】本題考查了排列組合中的捆綁法，屬于簡單題.7、C【解析】先考慮四位數(shù)的首位，當排數(shù)字4,3時，其它三個數(shù)位上課從剩余的4個數(shù)任選4個全排，得到的四位數(shù)都滿足題設條件，

10、因此依據(jù)分類計數(shù)原理可得滿足題設條件的四位數(shù)共有個，應選答案C。8、C【解析】根據(jù)題意，采用賦值法，令得，再將原式化為根據(jù)二項式定理的相關(guān)運算，求得，從而求解出正確答案【詳解】在中，令得，由，可得，故故答案選C【點睛】本題考查二項式定理的知識及其相關(guān)運算，考查考生的靈活轉(zhuǎn)化能力、分析問題和解決問題的能力9、D【解析】由兩直線平行的條件計算【詳解】由題意，解得故選D【點睛】本題考查兩直線平行的條件，直線與平行的條件是：在均不為零時，若中有0，則條件可表示為10、B【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐挖掉半個圓錐所得，所以體積為.考點：三視圖.11、D【解析】由正弦函數(shù)的周期變換以

11、及平移變換即可得出正確答案.【詳解】函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）得到，再將所得圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到故選：D【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的周期變換以及平移變換，屬于中檔題.12、C【解析】先由求導公式求出，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出，然后利用導函數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而寫出切線方程【詳解】，因為是偶函數(shù)，所以，即解得，所以，則，所以切線方程為故選C【點睛】本題主要考查利用導函數(shù)求曲線上一點的切線方程，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】對函數(shù)進行求導，然后分類討論函數(shù)的單調(diào)性，由題意可以求出的取值范圍，然后對四個判

12、斷逐一辨別真假即可.【詳解】，.當時，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，而，所以函數(shù)只有一個零點，不符合題意；當時，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)遞減，故函數(shù)的最小值為，要想函數(shù)有兩個零點，則必有，故判斷不對；對于：，取，所以，故判斷不對；對于：構(gòu)造函數(shù)，所以函數(shù)是上單調(diào)遞增，故，而，所以，故本判斷是正確的；對于：因為，而，所以有，故本判斷是錯誤的，故正確的判斷的個數(shù)為1.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點、極值點，考查了推理論證能力.14、1【解析】第1行數(shù)組成的數(shù)列是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，第列數(shù)組成的數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，求出通項公式，可求出結(jié)果【詳解】根據(jù)題意，第行第列的數(shù)

13、記為那么每一組與的組合就是表中一個數(shù)因為第一行數(shù)組成的數(shù)列是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以第列數(shù)組成的數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，所以令.則 ，則120的正約數(shù)有422=1個.所以121在表中出現(xiàn)的次數(shù)為1次故答案為：1【點睛】本題考查歸納推理的應用，涉及行列模型的等差數(shù)列應用,和正約數(shù)的個數(shù)的求解，解題時利用首項和公差寫出等差數(shù)列的通項公式，運用通項公式求值，15、9. 【解析】分析：計算正方形二維碼的面積，利用面積比等于對應的點數(shù)比求得黑色部分的面積.詳解：邊長為4的正方形二維碼面積為，設圖中黑色部分的面積為S，則，解得.據(jù)此估計黑色部分的面積為9.故答案為：9.點睛：本

14、題考查了用模擬實驗的方法估計概率的應用計算問題，是基礎題.16、31【解析】根據(jù)，求出，又與的等差中項為，得到，所以可以求出，即可求出【詳解】依題意，數(shù)列是等比數(shù)列，即，所以 ，又與的等差中項為，所以，即，所以，所以，所以，故答案為：31【點睛】本題考查等比中項、等比數(shù)列的通項公式以及求和公式，需熟記公式。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1） （2）用非線性回歸模型擬合效果更好；190個【解析】（1）求出、后代入公式直接計算得、，即可得解；（2）求出線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)，與比較即可得解；（3）直接把代入，計算即可得解.【詳解】（1）由題意，則，y關(guān)于x的

15、線性回歸方程為.（2）對于線性回歸模型，相關(guān)指數(shù)為 因為，所以用非線性回歸模型擬合效果更好.當，時（個）所以溫度為時，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計為190個.【點睛】本題考查了線性回歸方程的求解、相關(guān)指數(shù)的應用以及非線性回歸方程的應用，考查了計算能力，屬于中檔題.18、（1），（2）猜想，見解析【解析】（1）由復數(shù)模的定義計算模，對，可先求出，再計算模；（2）由（1）猜測，用復數(shù)的一般形式進行證明即可【詳解】（1）由題知，所以所以（2）猜想證明：因為，所以因為，所以，所以猜想成立.【點睛】本題考查復數(shù)的簡單運算和合情推理，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，導向?qū)Πl(fā)展數(shù)學抽象、邏輯

16、推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，與直線方程聯(lián)立，即可求解（2）設，根據(jù)已知可得在曲線上，即可求解.【詳解】（1）由得，聯(lián)立，消去得，解得，或，當時，當時，兩點的直角坐標分別為；（2）直線與曲線有一交點為極點，不妨為，設，則在曲線上，所以，即，因為不重合，所以所以線段中點的軌跡的極坐標方程【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、軌跡方程，意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于基礎題.20、 (1) (2)見解析【解析】（1）設“選出的3名同學是來自不同班級”為事件，由題目信息可知事件A對應的基本事件有個，總的基本事件有個，利

17、用概率公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，可知隨機變量的所有可能值為，結(jié)合，分別求得的值，進而列出分布列，利用公式求得其期望.【詳解】（1）設“選出的3名同學是來自不同班級”為事件，則 答：選出的3名同學是來自不同班級的概率為.（2）隨機變量的所有可能值為 的分布列為0123答：選出的3名同學中女同學人數(shù)的數(shù)學期望為.【點睛】該題考查的是有關(guān)離散型隨機變量的問題，涉及到的知識點有古典概型概率公式，離散型隨機變量分布列及其期望，屬于簡單題目.21、（1）；（2）點位于棱的三等分點處.【解析】先由題意，得到，的坐標，以及向量，的坐標；（1）根據(jù)題中條件，得到，求出平面的一個法向量，根據(jù)，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果；（2）先由題意，得到存在實數(shù)，使得，進而得到，分別求出平面和平面的一個法向量，根據(jù)向量夾角公式，結(jié)合題中條件，列出等式，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，可得，則，（1）因為為的中點，所以，因此，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，即，設直線與平面所成角，則；（2）因為點為棱上一點，所以存在實數(shù)，使得，則，即；所以，；因為平面與平面是同一平面，因此其一個法向量為；設平面的一個法向量為，則，即，則，令，則，即，因為二面角的平面角為，且，所以，解得：或，即或，因