電磁場導(dǎo)論時變電磁場

1、第五章 時變電磁場5-1 電磁場基本方程組5-2 坡印亭定理與坡印亭矢量 5-3 動態(tài)位及其解的特性5-4 正弦電磁場 5-5 電磁輻射 9/17/202215.1 電磁場基本方程組 5.1.1麥克斯韋方程組的微分形式 全電流定律 根據(jù)斯托克斯定理 由麥克斯韋方程組的積分形式，推導(dǎo)微分形式：本課程不涉及運流電流的磁場問題9/17/20222法拉第定律 根據(jù)斯托克斯定理 根據(jù)高斯散度定理 本課程不涉及導(dǎo)體在恒定磁場中運動產(chǎn)生感應(yīng)電場問題9/17/20223例5-1 已知無限大自由空間中電場強度 試用麥克斯韋方程求磁場強度H。 解法一：時變電場產(chǎn)生的位移電流密度為由于 9/17/20224可知 對

2、空間坐標(biāo)z進行不定積分，可得 式中C為由邊界條件確定的積分常數(shù)，在無限大空間情況下可去C=0。故得 由麥克斯韋第一方程 自由空間沒有傳導(dǎo)電流9/17/20225解法二：由麥克斯韋第二方程 由于對時間變量t 進行不定積分，可得 式中C由初始條件確定，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下可取C=09/17/202265.1.2 時變電磁場的分界面銜接條件時變電磁場的分界面銜接條件與靜態(tài)場相同 在媒質(zhì)分界面上取邊長分別為l和h的矩形閉合回路，其中h0。得 由麥克斯韋第二方程因此 E1 t = E2 t 9/17/20227由麥克斯韋第一方程得即 H1 tH2 t= K B1 n = B2 n D2 n D1 n = 同

3、理可推導(dǎo)出D和B的分界面銜接條件 當(dāng)分界面上沒有面電流時K=0，則H1 t = H2 t當(dāng)分界面上沒有自由電荷時=0, D1 n = D2 n 9/17/20228 當(dāng)分界面不存在自由面電荷和傳導(dǎo)面電流K時，同樣可以得到電磁場的折射定律 由于理想導(dǎo)體1，內(nèi)部E1=0、B1=0，由銜接條件知 理想導(dǎo)體表面存在自由電荷積累成的面電荷 = D2n沿導(dǎo)體表面流動的面電流 K= H2t理想導(dǎo)體外表面附近電力線與其表面垂直 E2t = 0 磁力線平行于其表面 B2n = 09/17/20229作 業(yè)5-1 設(shè)同軸電纜介質(zhì)參數(shù)分別為20 、0、=0。位移電流密度為，求：電場強度E和磁場強度H。5-3 已知媒

4、質(zhì)的 = 103 S/m， = 6.50 ， = 0 。傳導(dǎo)電流密度為求位移電流密度和單位體積消耗的功率。9/17/2022105.2 坡印亭定理與坡印亭矢量麥克斯韋假設(shè)，時變電磁場的能量體密度以下推導(dǎo)電磁場的能量守恒和轉(zhuǎn)化定律5.2 . 1 坡印亭定理在線性、各向同性媒質(zhì)中9/17/202211得由矢量恒等式 改寫為設(shè)體積V中含有電源， Ee為局外場強 則得 散度定理體積分由矢量恒等式 9/17/202212時變電磁場的電磁功率平衡方程坡印亭定理 物理意義電源提供的電磁功率（VA）電磁場儲能增加率（J/S）導(dǎo)電媒質(zhì)中消耗的電磁功率(W)流出閉合面的電磁功率（VA）靜態(tài)場 導(dǎo)電媒質(zhì)中消耗的焦耳

5、功率是通過其表面S由外部進入的電磁能流提供的。9/17/202213例5-2 已知自由空間中 求：流入平行六面體（長1m、橫截面0.25m2）中的凈功率流。 解: 可見，在 z = 0 平面有功率流入，z =1 平面有功率流出 9/17/202214進入平行六面體的凈電磁功率 自由空間中沒有電源，也不是導(dǎo)電媒質(zhì)，故進入該體積的電磁功率使電磁場儲存的能量增加 9/17/2022155.2 . 2坡印亭矢量定義 稱為坡印亭矢量，具有功率密度的量綱，單位W/m2；大小表示在垂直于能量傳播方向的單位面積上穿過的電磁功率密度；方向與E和H垂直，表示電磁能量傳播或流動的方向。 例5-3 同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體均

6、為理想導(dǎo)體，半徑分別為a和b，a導(dǎo)體之間為理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為U，通過電流為I。求：穿過電纜介質(zhì)橫截面的電磁功率。 9/17/202216解：同軸電纜介質(zhì)中 坡印亭矢量 說明電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿Z軸方向流動，穿過介質(zhì)橫截面的電磁功率可見，電磁能量不是在電纜導(dǎo)體內(nèi)部傳輸?shù)?，而是在?dǎo)體之間的介質(zhì)中傳遞的。9/17/202217當(dāng)導(dǎo)體不是理想導(dǎo)體時，載流導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場E1=J/。導(dǎo)體外表面的電場強度E2不再垂直于導(dǎo)體表面。 導(dǎo)體外的坡印亭矢量 軸向分量Sz徑向分量Sr由導(dǎo)體外部穿過表面進入導(dǎo)體內(nèi)部，并在向深部傳輸過程中逐漸轉(zhuǎn)換為焦耳熱消耗掉。9/17/202218例

7、5-4 已知長直導(dǎo)線半徑為a，電導(dǎo)率為，其中通過恒定電流I，求：1）單位長度導(dǎo)線體積消耗的功率； 2）進入單位長度導(dǎo)線的電磁功率 解：導(dǎo)線內(nèi)導(dǎo)線外9/17/202219作 業(yè)5-5 平板電容器極板為半徑R的圓金屬片，極間距離為d，電壓為U，中間介質(zhì)的參數(shù)分別為 、 和 。求：介質(zhì)中消耗的功率和介質(zhì)中的坡印亭矢量。 5-5題圖+ U Rd5-6 已知自由空間中 （V/m）求：穿過z為常數(shù)的平面上，半徑為2.5m園面積的瞬時功率和平均功率。9/17/2022205.3 動態(tài)位及其波動方程 時變電磁場中，也可以引入標(biāo)量電位和矢量磁位A作為輔助量，但由于在時變電磁場中和A不僅都是空間坐標(biāo)的函數(shù)，同時又

8、都隨時間變化，故稱其為動態(tài)位函數(shù)，簡稱動態(tài)位。 5.3.1 動態(tài)位的定義 由B=0，引入矢量磁位函數(shù)A，洛侖茲規(guī)范 B=A 9/17/202221將B=A代入麥克斯韋第二方程 即 定義標(biāo)量電位函數(shù) 因此 物理意義電荷產(chǎn)生的庫侖場強變化磁場產(chǎn)生的感應(yīng)場強9/17/202222例5-5 已知自由空間中求：磁感應(yīng)強度B、電場強度E和坡印亭矢量S 解： 由洛侖茲條件 知9/17/202223得在時變電磁場中不考慮靜電場，取 = 0，則 = 0 所以9/17/2022245.3.2 達朗貝爾方程 在線性、各向同性媒質(zhì)中 代入麥克斯韋第一方程 得改寫為和將洛侖茲條件 代入上式，得9/17/202225將代

9、入麥克斯韋第二方程 得即將洛侖茲條件 代入上式，得9/17/2022261）動態(tài)磁位A單獨地由傳導(dǎo)電流密度J決定；動態(tài)電位單獨地由自由電荷體密度決定。當(dāng)已知某一個激勵源（例如）便可求得動態(tài)電位（）。2）方程的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式相同，動態(tài)位A和的解答結(jié)構(gòu)形式也應(yīng)相同。當(dāng)求得某一個動態(tài)位（例如）的解答，便可仿照它寫出另一個動態(tài)位(A)的解答。非齊次波動方程達朗貝爾方程9/17/202227有源區(qū) 無源區(qū) 時變場 靜態(tài)場 泊松方程 拉普拉斯方程 3）靜電場和恒定磁場中的泊松方程和拉普拉斯方程都是達朗貝爾方程在靜態(tài)情況下或無源區(qū)域的特例。9/17/2022285.3.3 達朗貝爾方程的解設(shè)電荷分布在有限區(qū)域

10、V之中，滿足齊次波動方程 在遠離V的場點P（r,），由于的分布具有球?qū)ΨQ性，只與r有關(guān)，而與、無關(guān)，即 = （r,t） 波動方程在球坐標(biāo)系中式中 9/17/202229這是（r）的一維波動方程 通解為或其中，f1和f2是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的兩個任意函數(shù) 9/17/202230通解的物理意義： f1 在 t 時間內(nèi)經(jīng)過 r 距離后不變,說明它是以有限速度 v 向 r 方向傳播，稱之為入射波。有當(dāng)時間從 t t + t 信號從 r r + r它表明： f1是一個以速度 v 沿 r 方向前進的波。9/17/202231在無限大均勻媒質(zhì)中沒有反射波，則 f2 = 0它表明： f2 在 t 時間內(nèi), 以

11、速度 v 向( -r )方向前進了( v t ) 距離, 故稱之為反射波。 當(dāng)時間從 t t位置從 r v t 時圖4.3.2 波的入射、反射與透射9/17/202232 當(dāng)電磁波在無限大均勻媒質(zhì)中傳播時，只有入射波，沒有反射波 位于坐標(biāo)原點的時變點電荷q(t)在離它r遠處產(chǎn)生的動態(tài)標(biāo)量位 體積V中任意體電荷分布（r）在場點r產(chǎn)生的動態(tài)標(biāo)量位 式中， 是場點到元電荷(r)dV的距離 9/17/202233 同理，體積V中的任意體電流分布J（r）在場點r產(chǎn)生的動態(tài)矢量位 上式表明，在電磁場中某一位置r，在時刻t的動態(tài)位和A決定于在此之前的某一時刻的激勵源情況。 也就是說，激勵源在時刻t的作用，要

12、經(jīng)過一定的推遲時間才能到達離它r遠處 的場點。真空中波速與光速相同 v = 3108 m/s。 電磁波的傳播速度 電磁能量可以脫離場源而單獨存在于空間的現(xiàn)象稱為電磁輻射。9/17/2022345.4 正弦電磁場 以一定頻率隨時間作正弦規(guī)律變化的電磁場，稱為正弦電磁場。即使是非正弦變化的電磁場，也可以采用傅里葉分析將其分解成各次諧波分量來研究。 5.4.1 麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式 正弦電磁場相應(yīng)的復(fù)數(shù)形式為式中，E是正弦量的有效值，是正弦量的初相角。 9/17/202235 麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式為：對于線性、各向同性媒質(zhì)對時間求導(dǎo)簡化為 j9/17/2022365.4.2 坡印亭矢量的復(fù)數(shù)

13、形式 在電路理論中，復(fù)功率的定義為 使用電流相量的共軛復(fù)數(shù)，從而物理意義：實部為有功功率P，虛部為無功功率Q。電磁場理論中，坡印亭矢量復(fù)數(shù)形式 9/17/202237坡印亭矢量在一個周期T內(nèi)的平均值為 實部有功功率密度，表示消耗能量的流動；虛部無功功率密度，表示電磁能量的交換。 9/17/202238 推導(dǎo)坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式：麥克斯韋第一方程的共軛 進行體積分 坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式9/17/202239若體積V內(nèi)部不包含電源，則為5.4.3 達朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式 定義 為相位常數(shù)， 單位rad/m則達朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式為9/17/202240相應(yīng)的復(fù)數(shù)形式解為與瞬時形式的解比較動態(tài)位在時

14、間上推遲R/v秒，相當(dāng)于在相位上滯后(R/v)=R弧度。9/17/202241 場點的動態(tài)位與激勵源在時間上的差異，就是電磁波從激勵源傳播到場點所需的時間。 如果激勵源變化得很快，推遲現(xiàn)象就比較明顯；如果變化不快，雖然仍有推遲作用，但對場量的影響不太大，有時可以忽略不計。電氣工程中的許多實際問題便屬于這樣的問題。洛侖茲條件的復(fù)數(shù)形式 則9/17/202242作 業(yè)5-10 已知無限大均勻媒質(zhì)中，求：1）E和H的復(fù)數(shù)形式； 2）坡印亭矢量S的平均值；5-7 已知某媒質(zhì)中，動態(tài)磁位求：1）A的散度和旋度；2）磁感應(yīng)強度B(z,t)和電場強度E(z,t) 9/17/2022435.5 電磁輻射 空間

15、電磁場并不取決于同一時刻的場源特性。即使當(dāng)前時刻的場源已經(jīng)消失，但前一時刻它釋放出的電磁能量仍然單獨存在于空間電磁場中，并以電磁波的形式按一定的速度在空間傳播，這種現(xiàn)象稱為電磁輻射。 本節(jié)研究單元偶極子的輻射特性 單元偶極子天線是一段很短的載流細導(dǎo)線 實際的線性天線可以看成由許多單元偶極子天線串聯(lián)而成，電磁場是所有單元偶極子天線所輻射的電磁場的疊加。高頻信號源單元偶極子 當(dāng)電偶極子p=qd 以簡諧方式振蕩時, 向外輻射電磁波9/17/202244開放電路，就必須降低電路中的電容值和電感值。可知，要提高振蕩頻率、從LC 電路的振蕩頻率 以平行板電容器和長直載流螺線管為例。 增加電容器極板間距d，

16、縮小極板面積 S，減少線圈數(shù)n，就可達到上述目的，具體方式如圖所示?？梢?，開放的LC電路就是大家熟悉的天線！當(dāng)有電荷（或電流）在天線中振蕩時，就激發(fā)出變化的電磁場在空中傳播。9/17/2022455.5.1單元偶極子的輻射設(shè)復(fù)數(shù)形式為 由于單元偶極子的長度l遠遠小于電流的波長和它與觀察點間的距離R，且Rr ，故AAArereerxyz圖5-7Il I9/17/202246轉(zhuǎn)換為球坐標(biāo)，為 H 和 E 均由（r）不同冪次的多項式組成。9/17/202247E 線與H 線在空間的動態(tài)分布動態(tài)描述單元偶極子天線輻射形成的過程 時單元偶極子天線E線與H線分布9/17/202248動態(tài)描述單元偶極子天線

17、輻射形成的過程9/17/2022495.5.2 近區(qū)場的特性近區(qū)場r1, r1， 或 r 的區(qū)域，磁場：只保留括號內(nèi)的含（r）的一項瞬時表達式9/17/202253電場：只保留含（2r2）的一項 瞬時表達式9/17/2022541. 遠區(qū)場中的電場只有E分量，磁場只有H分量，兩者在空間上相互垂直，而且同相位；3. 遠區(qū)中任意一場點的坡印亭矢量平均值 特點：2. 電場和磁場的振幅都與r成反比，兩者的比值稱為波阻抗真空中9/17/202255可見，遠區(qū)的電磁能量以電磁波的形式向無限遠空間輻射，稱為輻射場。 4. 單元偶極子天線的輻射功率：5.單元偶極子的等效輻射電阻增大輻射功率有三個途徑：1)增加

18、天線長度；2)減少波長增大頻率；3)增大發(fā)射機的電流。 9/17/202256 輻射的方向性用兩個相互垂直的主平面上的方向圖表示，E平面（電場所在平面） 和H平面（磁場所在平面）。E平面與H平面的方向性函數(shù)分別為9/17/2022576. E和H與有關(guān)，說明電磁波具有方向性。 輻射的方向性用兩個相互垂直的主平面上的方向圖表示，E平面（電場所在平面） 和H平面（磁場所在平面）。E平面與H平面的方向性函數(shù)分別為 （a）E平面方向圖（ b）H 平面方向圖 立體方向圖9/17/202258輻射場強隨和角度變化的函數(shù) f(,) 稱為天線的方向圖因子。根據(jù) f(,) 畫出的描述天線輻射場強在空間分布情況的

19、圖形稱為天線的方向圖。 幾種細線天線的E平面方向圖對于單元偶極子：=0處輻射為零，=900處輻射最強。9/17/202259例5-6 GSM系統(tǒng)雙頻移動電話天線的發(fā)射功率，當(dāng)f=900MHz時為 0.12W；當(dāng)f=1800MHz時為 0.11W。 若將移動電話天線近似看作為單元偶極子天線，試分別計算距移動電話3cm處的最大功率密度。說明：移動電話有兩個頻率：900MHz電磁波=33.3cm；1800MHz電磁波=16.7cm。嚴格地說手機天線長度不符合單元偶極子l）的條件。因此只能近似計算。解：為了方便，將坡印亭矢量用輻射功率表示最大功率面密度出現(xiàn)在=900位置9/17/202260當(dāng)f=18

20、00MHz時， 應(yīng)該指出，由于13GHz頻率范圍的電磁波能夠被皮膚、脂肪和肌肉吸收，使人體深處的細胞加熱，導(dǎo)致內(nèi)部器官損傷。因此，世界各國均對功率面密度限值作了規(guī)定。如美國IEEE/ANSI標(biāo)準規(guī)定功率面密度限值為1mW/cm2。本例的計算結(jié)果已遠遠超過標(biāo)準限值，因此從健康的角度考慮，不應(yīng)長時間使用移動電話。 當(dāng)f=900MHz時， 9/17/2022619/17/2022629/17/2022639/17/2022649/17/2022655.5.4 似穩(wěn)條件與似穩(wěn)場理想介質(zhì)中的時變電磁場如果滿足以下似穩(wěn)條件：1) 推遲時間t/v周期T= 1/f ； 2) 場點距離 r波長= vT ； 3)

21、 滯后相位 r1，ejr e0 = 1 ；則可以不計推遲效應(yīng)，按靜態(tài)場處理。B=A A和分別滿足泊松方程 9/17/202266動態(tài)位積分解的復(fù)數(shù)形式為相應(yīng)的瞬時值形式為 雖然A和都是隨時間變化的，但磁準靜態(tài)場卻遵循靜態(tài)場的規(guī)律，稱為似穩(wěn)場。 只要已知電流和電荷的分布，就完全可以仿照靜態(tài)情況下的公式計算。 也就是說，可以略去電磁場的波動性，認為場量與場源之間具有類似于靜態(tài)場的瞬時對應(yīng)關(guān)系。9/17/20226719世紀偉大的英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家麥克斯韋1847年進入愛丁堡大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理1850年轉(zhuǎn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)1854年以第二名的成績獲史密斯獎學(xué)金，畢業(yè)留校任職兩年1856年在蘇格蘭阿伯丁的馬里沙耳任自然哲學(xué)教授1860年到倫敦國王學(xué)院任自然哲學(xué)和天文學(xué)教授1861年選為倫敦皇家學(xué)會會員1865年春辭去教職回到家鄉(xiāng)系統(tǒng)地總結(jié)他的關(guān)于電磁學(xué)的研究成果，完成了電磁場理論的經(jīng)典巨著論電和磁，并于1873年出版1871年受聘為劍橋大學(xué)新設(shè)立的卡文迪什試驗物理學(xué)教授，負責(zé)籌建著名的卡文迪什實驗室，1874年建成后擔(dān)任這個實驗室的第一任主任，直到1879年11月5日在劍橋逝世。1831年11月13日生于蘇格蘭的愛丁堡9/17/202268 麥克斯韋對前人和他自己的工作進行了綜合概括，將電磁場理論用簡潔、對稱、完美數(shù)學(xué)形式表示出來，經(jīng)后人整理和改寫，成為