電磁場導(dǎo)論時變電磁場

1、第五章 時變電磁場5-1 電磁場基本方程組5-2 坡印亭定理與坡印亭矢量 5-3 動態(tài)位及其解的特性5-4 正弦電磁場 5-5 電磁輻射 9/17/202215.1 電磁場基本方程組 5.1.1麥克斯韋方程組的微分形式 全電流定律 根據(jù)斯托克斯定理 由麥克斯韋方程組的積分形式，推導(dǎo)微分形式：本課程不涉及運(yùn)流電流的磁場問題9/17/20222法拉第定律 根據(jù)斯托克斯定理 根據(jù)高斯散度定理 本課程不涉及導(dǎo)體在恒定磁場中運(yùn)動產(chǎn)生感應(yīng)電場問題9/17/20223例5-1 已知無限大自由空間中電場強(qiáng)度 試用麥克斯韋方程求磁場強(qiáng)度H。 解法一：時變電場產(chǎn)生的位移電流密度為由于 9/17/20224可知 對

2、空間坐標(biāo)z進(jìn)行不定積分，可得 式中C為由邊界條件確定的積分常數(shù)，在無限大空間情況下可去C=0。故得 由麥克斯韋第一方程 自由空間沒有傳導(dǎo)電流9/17/20225解法二：由麥克斯韋第二方程 由于對時間變量t 進(jìn)行不定積分，可得 式中C由初始條件確定，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下可取C=09/17/202265.1.2 時變電磁場的分界面銜接條件時變電磁場的分界面銜接條件與靜態(tài)場相同 在媒質(zhì)分界面上取邊長分別為l和h的矩形閉合回路，其中h0。得 由麥克斯韋第二方程因此 E1 t = E2 t 9/17/20227由麥克斯韋第一方程得即 H1 tH2 t= K B1 n = B2 n D2 n D1 n = 同

3、理可推導(dǎo)出D和B的分界面銜接條件 當(dāng)分界面上沒有面電流時K=0，則H1 t = H2 t當(dāng)分界面上沒有自由電荷時=0, D1 n = D2 n 9/17/20228 當(dāng)分界面不存在自由面電荷和傳導(dǎo)面電流K時，同樣可以得到電磁場的折射定律 由于理想導(dǎo)體1，內(nèi)部E1=0、B1=0，由銜接條件知 理想導(dǎo)體表面存在自由電荷積累成的面電荷 = D2n沿導(dǎo)體表面流動的面電流 K= H2t理想導(dǎo)體外表面附近電力線與其表面垂直 E2t = 0 磁力線平行于其表面 B2n = 09/17/20229作 業(yè)5-1 設(shè)同軸電纜介質(zhì)參數(shù)分別為20 、0、=0。位移電流密度為，求：電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度H。5-3 已知媒

4、質(zhì)的 = 103 S/m， = 6.50 ， = 0 。傳導(dǎo)電流密度為求位移電流密度和單位體積消耗的功率。9/17/2022105.2 坡印亭定理與坡印亭矢量麥克斯韋假設(shè)，時變電磁場的能量體密度以下推導(dǎo)電磁場的能量守恒和轉(zhuǎn)化定律5.2 . 1 坡印亭定理在線性、各向同性媒質(zhì)中9/17/202211得由矢量恒等式 改寫為設(shè)體積V中含有電源， Ee為局外場強(qiáng) 則得 散度定理體積分由矢量恒等式 9/17/202212時變電磁場的電磁功率平衡方程坡印亭定理 物理意義電源提供的電磁功率（VA）電磁場儲能增加率（J/S）導(dǎo)電媒質(zhì)中消耗的電磁功率(W)流出閉合面的電磁功率（VA）靜態(tài)場 導(dǎo)電媒質(zhì)中消耗的焦耳

5、功率是通過其表面S由外部進(jìn)入的電磁能流提供的。9/17/202213例5-2 已知自由空間中 求：流入平行六面體（長1m、橫截面0.25m2）中的凈功率流。 解: 可見，在 z = 0 平面有功率流入，z =1 平面有功率流出 9/17/202214進(jìn)入平行六面體的凈電磁功率 自由空間中沒有電源，也不是導(dǎo)電媒質(zhì)，故進(jìn)入該體積的電磁功率使電磁場儲存的能量增加 9/17/2022155.2 . 2坡印亭矢量定義 稱為坡印亭矢量，具有功率密度的量綱，單位W/m2；大小表示在垂直于能量傳播方向的單位面積上穿過的電磁功率密度；方向與E和H垂直，表示電磁能量傳播或流動的方向。 例5-3 同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體均

6、為理想導(dǎo)體，半徑分別為a和b，a導(dǎo)體之間為理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為U，通過電流為I。求：穿過電纜介質(zhì)橫截面的電磁功率。 9/17/202216解：同軸電纜介質(zhì)中 坡印亭矢量 說明電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿Z軸方向流動，穿過介質(zhì)橫截面的電磁功率可見，電磁能量不是在電纜導(dǎo)體內(nèi)部傳輸?shù)?，而是在?dǎo)體之間的介質(zhì)中傳遞的。9/17/202217當(dāng)導(dǎo)體不是理想導(dǎo)體時，載流導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場E1=J/。導(dǎo)體外表面的電場強(qiáng)度E2不再垂直于導(dǎo)體表面。 導(dǎo)體外的坡印亭矢量 軸向分量Sz徑向分量Sr由導(dǎo)體外部穿過表面進(jìn)入導(dǎo)體內(nèi)部，并在向深部傳輸過程中逐漸轉(zhuǎn)換為焦耳熱消耗掉。9/17/202218例

7、5-4 已知長直導(dǎo)線半徑為a，電導(dǎo)率為，其中通過恒定電流I，求：1）單位長度導(dǎo)線體積消耗的功率； 2）進(jìn)入單位長度導(dǎo)線的電磁功率 解：導(dǎo)線內(nèi)導(dǎo)線外9/17/202219作 業(yè)5-5 平板電容器極板為半徑R的圓金屬片，極間距離為d，電壓為U，中間介質(zhì)的參數(shù)分別為 、 和 。求：介質(zhì)中消耗的功率和介質(zhì)中的坡印亭矢量。 5-5題圖+ U Rd5-6 已知自由空間中 （V/m）求：穿過z為常數(shù)的平面上，半徑為2.5m園面積的瞬時功率和平均功率。9/17/2022205.3 動態(tài)位及其波動方程 時變電磁場中，也可以引入標(biāo)量電位和矢量磁位A作為輔助量，但由于在時變電磁場中和A不僅都是空間坐標(biāo)的函數(shù)，同時又

8、都隨時間變化，故稱其為動態(tài)位函數(shù)，簡稱動態(tài)位。 5.3.1 動態(tài)位的定義 由B=0，引入矢量磁位函數(shù)A，洛侖茲規(guī)范 B=A 9/17/202221將B=A代入麥克斯韋第二方程 即 定義標(biāo)量電位函數(shù) 因此 物理意義電荷產(chǎn)生的庫侖場強(qiáng)變化磁場產(chǎn)生的感應(yīng)場強(qiáng)9/17/202222例5-5 已知自由空間中求：磁感應(yīng)強(qiáng)度B、電場強(qiáng)度E和坡印亭矢量S 解： 由洛侖茲條件 知9/17/202223得在時變電磁場中不考慮靜電場，取 = 0，則 = 0 所以9/17/2022245.3.2 達(dá)朗貝爾方程 在線性、各向同性媒質(zhì)中 代入麥克斯韋第一方程 得改寫為和將洛侖茲條件 代入上式，得9/17/202225將代

9、入麥克斯韋第二方程 得即將洛侖茲條件 代入上式，得9/17/2022261）動態(tài)磁位A單獨(dú)地由傳導(dǎo)電流密度J決定；動態(tài)電位單獨(dú)地由自由電荷體密度決定。當(dāng)已知某一個激勵源（例如）便可求得動態(tài)電位（）。2）方程的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式相同，動態(tài)位A和的解答結(jié)構(gòu)形式也應(yīng)相同。當(dāng)求得某一個動態(tài)位（例如）的解答，便可仿照它寫出另一個動態(tài)位(A)的解答。非齊次波動方程達(dá)朗貝爾方程9/17/202227有源區(qū) 無源區(qū) 時變場 靜態(tài)場 泊松方程 拉普拉斯方程 3）靜電場和恒定磁場中的泊松方程和拉普拉斯方程都是達(dá)朗貝爾方程在靜態(tài)情況下或無源區(qū)域的特例。9/17/2022285.3.3 達(dá)朗貝爾方程的解設(shè)電荷分布在有限區(qū)域

10、V之中，滿足齊次波動方程 在遠(yuǎn)離V的場點(diǎn)P（r,），由于的分布具有球?qū)ΨQ性，只與r有關(guān)，而與、無關(guān)，即 = （r,t） 波動方程在球坐標(biāo)系中式中 9/17/202229這是（r）的一維波動方程 通解為或其中，f1和f2是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的兩個任意函數(shù) 9/17/202230通解的物理意義： f1 在 t 時間內(nèi)經(jīng)過 r 距離后不變,說明它是以有限速度 v 向 r 方向傳播，稱之為入射波。有當(dāng)時間從 t t + t 信號從 r r + r它表明： f1是一個以速度 v 沿 r 方向前進(jìn)的波。9/17/202231在無限大均勻媒質(zhì)中沒有反射波，則 f2 = 0它表明： f2 在 t 時間內(nèi), 以

11、速度 v 向( -r )方向前進(jìn)了( v t ) 距離, 故稱之為反射波。 當(dāng)時間從 t t位置從 r v t 時圖4.3.2 波的入射、反射與透射9/17/202232 當(dāng)電磁波在無限大均勻媒質(zhì)中傳播時，只有入射波，沒有反射波 位于坐標(biāo)原點(diǎn)的時變點(diǎn)電荷q(t)在離它r遠(yuǎn)處產(chǎn)生的動態(tài)標(biāo)量位 體積V中任意體電荷分布（r）在場點(diǎn)r產(chǎn)生的動態(tài)標(biāo)量位 式中， 是場點(diǎn)到元電荷(r)dV的距離 9/17/202233 同理，體積V中的任意體電流分布J（r）在場點(diǎn)r產(chǎn)生的動態(tài)矢量位 上式表明，在電磁場中某一位置r，在時刻t的動態(tài)位和A決定于在此之前的某一時刻的激勵源情況。 也就是說，激勵源在時刻t的作用，要

12、經(jīng)過一定的推遲時間才能到達(dá)離它r遠(yuǎn)處 的場點(diǎn)。真空中波速與光速相同 v = 3108 m/s。 電磁波的傳播速度 電磁能量可以脫離場源而單獨(dú)存在于空間的現(xiàn)象稱為電磁輻射。9/17/2022345.4 正弦電磁場 以一定頻率隨時間作正弦規(guī)律變化的電磁場，稱為正弦電磁場。即使是非正弦變化的電磁場，也可以采用傅里葉分析將其分解成各次諧波分量來研究。 5.4.1 麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式 正弦電磁場相應(yīng)的復(fù)數(shù)形式為式中，E是正弦量的有效值，是正弦量的初相角。 9/17/202235 麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式為：對于線性、各向同性媒質(zhì)對時間求導(dǎo)簡化為 j9/17/2022365.4.2 坡印亭矢量的復(fù)數(shù)

13、形式 在電路理論中，復(fù)功率的定義為 使用電流相量的共軛復(fù)數(shù)，從而物理意義：實(shí)部為有功功率P，虛部為無功功率Q。電磁場理論中，坡印亭矢量復(fù)數(shù)形式 9/17/202237坡印亭矢量在一個周期T內(nèi)的平均值為 實(shí)部有功功率密度，表示消耗能量的流動；虛部無功功率密度，表示電磁能量的交換。 9/17/202238 推導(dǎo)坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式：麥克斯韋第一方程的共軛 進(jìn)行體積分 坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式9/17/202239若體積V內(nèi)部不包含電源，則為5.4.3 達(dá)朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式 定義 為相位常數(shù)， 單位rad/m則達(dá)朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式為9/17/202240相應(yīng)的復(fù)數(shù)形式解為與瞬時形式的解比較動態(tài)位在時

14、間上推遲R/v秒，相當(dāng)于在相位上滯后(R/v)=R弧度。9/17/202241 場點(diǎn)的動態(tài)位與激勵源在時間上的差異，就是電磁波從激勵源傳播到場點(diǎn)所需的時間。 如果激勵源變化得很快，推遲現(xiàn)象就比較明顯；如果變化不快，雖然仍有推遲作用，但對場量的影響不太大，有時可以忽略不計(jì)。電氣工程中的許多實(shí)際問題便屬于這樣的問題。洛侖茲條件的復(fù)數(shù)形式 則9/17/202242作 業(yè)5-10 已知無限大均勻媒質(zhì)中，求：1）E和H的復(fù)數(shù)形式； 2）坡印亭矢量S的平均值；5-7 已知某媒質(zhì)中，動態(tài)磁位求：1）A的散度和旋度；2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B(z,t)和電場強(qiáng)度E(z,t) 9/17/2022435.5 電磁輻射 空間

15、電磁場并不取決于同一時刻的場源特性。即使當(dāng)前時刻的場源已經(jīng)消失，但前一時刻它釋放出的電磁能量仍然單獨(dú)存在于空間電磁場中，并以電磁波的形式按一定的速度在空間傳播，這種現(xiàn)象稱為電磁輻射。 本節(jié)研究單元偶極子的輻射特性 單元偶極子天線是一段很短的載流細(xì)導(dǎo)線 實(shí)際的線性天線可以看成由許多單元偶極子天線串聯(lián)而成，電磁場是所有單元偶極子天線所輻射的電磁場的疊加。高頻信號源單元偶極子 當(dāng)電偶極子p=qd 以簡諧方式振蕩時, 向外輻射電磁波9/17/202244開放電路，就必須降低電路中的電容值和電感值?？芍?，要提高振蕩頻率、從LC 電路的振蕩頻率 以平行板電容器和長直載流螺線管為例。 增加電容器極板間距d，

16、縮小極板面積 S，減少線圈數(shù)n，就可達(dá)到上述目的，具體方式如圖所示?？梢?，開放的LC電路就是大家熟悉的天線！當(dāng)有電荷（或電流）在天線中振蕩時，就激發(fā)出變化的電磁場在空中傳播。9/17/2022455.5.1單元偶極子的輻射設(shè)復(fù)數(shù)形式為 由于單元偶極子的長度l遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電流的波長和它與觀察點(diǎn)間的距離R，且Rr ，故AAArereerxyz圖5-7Il I9/17/202246轉(zhuǎn)換為球坐標(biāo)，為 H 和 E 均由（r）不同冪次的多項(xiàng)式組成。9/17/202247E 線與H 線在空間的動態(tài)分布動態(tài)描述單元偶極子天線輻射形成的過程 時單元偶極子天線E線與H線分布9/17/202248動態(tài)描述單元偶極子天線

17、輻射形成的過程9/17/2022495.5.2 近區(qū)場的特性近區(qū)場r1, r1， 或 r 的區(qū)域，磁場：只保留括號內(nèi)的含（r）的一項(xiàng)瞬時表達(dá)式9/17/202253電場：只保留含（2r2）的一項(xiàng) 瞬時表達(dá)式9/17/2022541. 遠(yuǎn)區(qū)場中的電場只有E分量，磁場只有H分量，兩者在空間上相互垂直，而且同相位；3. 遠(yuǎn)區(qū)中任意一場點(diǎn)的坡印亭矢量平均值 特點(diǎn)：2. 電場和磁場的振幅都與r成反比，兩者的比值稱為波阻抗真空中9/17/202255可見，遠(yuǎn)區(qū)的電磁能量以電磁波的形式向無限遠(yuǎn)空間輻射，稱為輻射場。 4. 單元偶極子天線的輻射功率：5.單元偶極子的等效輻射電阻增大輻射功率有三個途徑：1)增加

18、天線長度；2)減少波長增大頻率；3)增大發(fā)射機(jī)的電流。 9/17/202256 輻射的方向性用兩個相互垂直的主平面上的方向圖表示，E平面（電場所在平面） 和H平面（磁場所在平面）。E平面與H平面的方向性函數(shù)分別為9/17/2022576. E和H與有關(guān)，說明電磁波具有方向性。 輻射的方向性用兩個相互垂直的主平面上的方向圖表示，E平面（電場所在平面） 和H平面（磁場所在平面）。E平面與H平面的方向性函數(shù)分別為 （a）E平面方向圖（ b）H 平面方向圖 立體方向圖9/17/202258輻射場強(qiáng)隨和角度變化的函數(shù) f(,) 稱為天線的方向圖因子。根據(jù) f(,) 畫出的描述天線輻射場強(qiáng)在空間分布情況的

19、圖形稱為天線的方向圖。 幾種細(xì)線天線的E平面方向圖對于單元偶極子：=0處輻射為零，=900處輻射最強(qiáng)。9/17/202259例5-6 GSM系統(tǒng)雙頻移動電話天線的發(fā)射功率，當(dāng)f=900MHz時為 0.12W；當(dāng)f=1800MHz時為 0.11W。 若將移動電話天線近似看作為單元偶極子天線，試分別計(jì)算距移動電話3cm處的最大功率密度。說明：移動電話有兩個頻率：900MHz電磁波=33.3cm；1800MHz電磁波=16.7cm。嚴(yán)格地說手機(jī)天線長度不符合單元偶極子l）的條件。因此只能近似計(jì)算。解：為了方便，將坡印亭矢量用輻射功率表示最大功率面密度出現(xiàn)在=900位置9/17/202260當(dāng)f=18

20、00MHz時， 應(yīng)該指出，由于13GHz頻率范圍的電磁波能夠被皮膚、脂肪和肌肉吸收，使人體深處的細(xì)胞加熱，導(dǎo)致內(nèi)部器官損傷。因此，世界各國均對功率面密度限值作了規(guī)定。如美國IEEE/ANSI標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定功率面密度限值為1mW/cm2。本例的計(jì)算結(jié)果已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過標(biāo)準(zhǔn)限值，因此從健康的角度考慮，不應(yīng)長時間使用移動電話。 當(dāng)f=900MHz時， 9/17/2022619/17/2022629/17/2022639/17/2022649/17/2022655.5.4 似穩(wěn)條件與似穩(wěn)場理想介質(zhì)中的時變電磁場如果滿足以下似穩(wěn)條件：1) 推遲時間t/v周期T= 1/f ； 2) 場點(diǎn)距離 r波長= vT ； 3)

21、 滯后相位 r1，ejr e0 = 1 ；則可以不計(jì)推遲效應(yīng)，按靜態(tài)場處理。B=A A和分別滿足泊松方程 9/17/202266動態(tài)位積分解的復(fù)數(shù)形式為相應(yīng)的瞬時值形式為 雖然A和都是隨時間變化的，但磁準(zhǔn)靜態(tài)場卻遵循靜態(tài)場的規(guī)律，稱為似穩(wěn)場。 只要已知電流和電荷的分布，就完全可以仿照靜態(tài)情況下的公式計(jì)算。 也就是說，可以略去電磁場的波動性，認(rèn)為場量與場源之間具有類似于靜態(tài)場的瞬時對應(yīng)關(guān)系。9/17/20226719世紀(jì)偉大的英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家麥克斯韋1847年進(jìn)入愛丁堡大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理1850年轉(zhuǎn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)1854年以第二名的成績獲史密斯獎學(xué)金，畢業(yè)留校任職兩年1856年在蘇格蘭阿伯丁的馬里沙耳任自然哲學(xué)教授1860年到倫敦國王學(xué)院任自然哲學(xué)和天文學(xué)教授1861年選為倫敦皇家學(xué)會會員1865年春辭去教職回到家鄉(xiāng)系統(tǒng)地總結(jié)他的關(guān)于電磁學(xué)的研究成果，完成了電磁場理論的經(jīng)典巨著論電和磁，并于1873年出版1871年受聘為劍橋大學(xué)新設(shè)立的卡文迪什試驗(yàn)物理學(xué)教授，負(fù)責(zé)籌建著名的卡文迪什實(shí)驗(yàn)室，1874年建成后擔(dān)任這個實(shí)驗(yàn)室的第一任主任，直到1879年11月5日在劍橋逝世。1831年11月13日生于蘇格蘭的愛丁堡9/17/202268 麥克斯韋對前人和他自己的工作進(jìn)行了綜合概括，將電磁場理論用簡潔、對稱、完美數(shù)學(xué)形式表示出來，經(jīng)后人整理和改寫，成為