《線性代數(shù)》矩陣

1、第三章 矩 陣 3.1 幾種特殊矩陣 3.2 矩陣的運(yùn)算 3.3 可逆矩陣 3.4 分塊矩陣3.5 初等矩陣 3.6 分塊矩陣的初等變換 （1）元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣， 零矩陣記作 或 .注意不同階數(shù)的零矩陣是不同的.例如第一節(jié) 幾種特殊矩陣（2）只有一行的矩陣稱(chēng)為行矩陣(或行向量)（3）只有一列的矩陣稱(chēng)為列矩陣(或列向量).（4）同型矩陣與矩陣相等的概念:1. 行數(shù)相等且列數(shù)相等的兩個(gè)矩陣,稱(chēng)為同型矩陣.例如為同型矩陣. 2. 若兩個(gè)矩陣 為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即則稱(chēng)矩陣 相等,記作例1 設(shè)解(5)行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣 ，稱(chēng)為 階方陣.也可記作上三角矩陣下三角矩陣稱(chēng)為對(duì)角矩陣

2、(或?qū)顷嚕?（6）記作（7）方陣稱(chēng)為單位矩陣（或單位陣）.全為1不全為0記作矩陣的重要性在于它可以把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題變成一個(gè)數(shù)值表，使得我們可以通過(guò)研究數(shù)值表的規(guī)律和特性來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題！例1 商品銷(xiāo)售情況比較例2 通訊網(wǎng)絡(luò)分析線性變換間的關(guān)系式為線性變換.系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.若線性變換為稱(chēng)之為恒等變換.對(duì)應(yīng) 單位陣.第二節(jié) 矩陣的運(yùn)算本次課的教學(xué)要求1、掌握矩陣的運(yùn)算：加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置.、定義1 兩個(gè) 矩陣 那末矩陣 與 的和記作 ，規(guī)定為一、矩陣的加法說(shuō)明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例12、 矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律1、定義2二、數(shù)與矩陣相乘例2

3、解2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣加法、減法、數(shù)乘統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線性運(yùn)算.（設(shè) 為 矩陣， 為數(shù)）、定義3三、矩陣與矩陣的乘積矩陣乘法是出于研究線性方程組以及線性變換的乘法的需要建立起來(lái)的。設(shè)例3 已知、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律（其中 為數(shù)）;注意矩陣一般不滿足交換律1. 例如 設(shè)則2. 課本P46例4；P48例5、例6但也有例外，比如設(shè)則有若AB=BA, 則稱(chēng)A與B可交換.例4 計(jì)算下列乘積：解定義4 把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 .例如、矩陣的轉(zhuǎn)置、轉(zhuǎn)置矩陣四、矩陣的其它運(yùn)算第i行換成第i列轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)證明例5 已知解法1解法2例5 已知2、對(duì)稱(chēng)矩陣與反稱(chēng)矩陣定義

4、5設(shè) 為 階方陣，如果滿足 ，即那末 稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣.對(duì)稱(chēng)陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相 等.說(shuō)明例6 設(shè)列矩陣 滿足 證明(1)例7 證明任一 階矩陣都可表示成對(duì)稱(chēng)陣與反稱(chēng)陣之和.證明 所以C為對(duì)稱(chēng)矩陣， 所以B為反對(duì)稱(chēng)矩陣,證畢. 所以C/2也是對(duì)稱(chēng)矩陣. 所以B/2也是反對(duì)稱(chēng)矩陣.3、方陣的行列式定義6 由 階方陣 的元素按原次序所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 的行列式，記作 或運(yùn)算性質(zhì)證明+奇異矩陣與非奇異矩陣定義行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的如下矩陣稱(chēng)為矩陣 的伴隨矩陣.定理1逆4. 伴隨矩陣矩 陣 運(yùn) 算1、加法、減法2、數(shù)與矩陣的乘法3、矩陣與矩陣的乘積4、轉(zhuǎn)置6、對(duì)稱(chēng)陣與伴

5、隨矩陣5、方陣的行列式五、小結(jié)線性運(yùn)算(1) AB有意義，要求 A的列數(shù) = B的行數(shù).注意:則矩陣 稱(chēng)為 的逆矩陣,A稱(chēng)為可逆矩陣.在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù) 時(shí)，有其中 為 的倒數(shù)， （或稱(chēng) 的逆）； 在矩陣的運(yùn)算中，單位陣 相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中 的1，那么，對(duì)于矩陣 ，如果存在一個(gè)矩陣 ,使得第三節(jié) 可 逆 矩 陣一、概念的引入例 設(shè)二、逆矩陣的概念和性質(zhì)定義7說(shuō)明 若 是可逆矩陣，則 的逆矩陣是唯一的.若設(shè) 和 是 的可逆矩陣，則有可得所以 的逆矩陣是唯一的,即例 設(shè)解設(shè) 是 的逆矩陣,則利用待定系數(shù)法考查：所以定義8行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)稱(chēng)為矩陣 的伴隨矩陣.A

6、A-1=E，則|A|A-1|=1，知|A|0；若|A|0， 能否推出AA-1=E？故同理可得證明定理1 n 階方陣 可逆的充要條件是 ，且 證明若 可逆，按逆矩陣的定義得證畢推論1證明推論2則證明逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)證明例1 求方陣 的逆矩陣.解三、逆矩陣的求法同理可得故解例2例3 設(shè)解于是例4例5解給方程兩端左乘矩陣給方程兩端右乘矩陣得給方程兩端左乘矩陣得給方程兩端右乘矩陣解例6解 例7 例8四、小結(jié)逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì).逆矩陣的計(jì)算方法逆矩陣 存在矩陣方程解在矩陣的運(yùn)算中，人們經(jīng)常用若干條橫線和縱線把矩陣分成若干塊，目的是簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算。每一小塊叫做矩陣地子塊（子矩陣），并且把每個(gè)子塊在運(yùn)算中直接看作是矩陣地元素一樣。這種以子塊為元素的形式上的矩陣，就是分塊矩陣。通過(guò)適當(dāng)?shù)胤謮K，不僅可以利用子塊的特點(diǎn)簡(jiǎn)化運(yùn)算，而且使得矩陣結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔清晰，意義更加明確。第四節(jié) 分塊矩陣一、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則例12 34 5作A+B運(yùn)算，要求對(duì)A和B的行、列的分法相同.作A運(yùn)算，對(duì)A的分法無(wú)要求.作AB運(yùn)算，要求對(duì)A的列的分法與B的行的分法相同.分塊對(duì)角矩陣的具有下述性質(zhì):(5) 分塊對(duì)角陣的行列式與逆陣其中A、B分別為 m 階、n 階可逆方陣，則有：例2 設(shè)解 (2) 設(shè)