2023屆天津市南開中學(xué)高三上學(xué)期統(tǒng)練（二）數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 2 2頁，共 =sectionpages 4 4頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2023屆天津市南開中學(xué)高三上學(xué)期統(tǒng)練2數(shù)學(xué)試題一、單選題1全集，則（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B2若，則“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【分析】取，可得“”不能推出“”；由基本不等式可知由“”可以推出“”，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，取，則滿足，但是，所以“”不能推出“”；反過

2、來，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，即.綜上可知，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：）的分組區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，第五組，右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）A8B12C16D18【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和頻率分布直方圖求出志愿者的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出第三組的總?cè)藬?shù)，從而可以求得結(jié)果.【詳解】志愿者的總?cè)藬?shù)為50，所以第三組人數(shù)為500.3618，有療效的人數(shù)為18612故選：B.4函數(shù)的圖象大致為（）

3、ABCD【答案】D【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)的奇偶性，最后根據(jù)函數(shù)值的情況判斷即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以是偶函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除A，B；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，排除C故選：D5若，則a，b，c的大小關(guān)系為（）ABCD【答案】A【分析】由基本不等式可判斷，由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得，再作差可判斷大小.【詳解】，則.所以.故選：A6設(shè)，則 =（）ABCD【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式和輔助角公式對(duì)進(jìn)行化簡，可得，再利用二倍角的余弦公式即可得到答案【詳解】解：即，所以即，所以，故選：D7已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A直線是圖象的一條對(duì)稱軸B圖象的對(duì)稱中

4、心為，C在區(qū)間上單調(diào)遞增D將的圖象向左平移個(gè)單位長度后，可得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象【答案】C【分析】由已知圖象求得函數(shù)解析式，將代入解析式，由其結(jié)果判斷A;求出函數(shù)的對(duì)稱中心可判斷B; 當(dāng)時(shí)，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C;根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得平移后函數(shù)解析式，判斷D.【詳解】由函數(shù)圖象可知，,最小正周期為 ，所以 ，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式中，得：，結(jié)合，所以，故，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，故直線不是圖象的一條對(duì)稱軸，A錯(cuò)誤;對(duì)于B，令，則，即圖象的對(duì)稱中心為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由于正弦函數(shù)在上遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，將的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到的圖象，該函數(shù)不是奇函數(shù)，故D

5、錯(cuò)誤；故選：C8已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，若函數(shù)在上的圖像與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為（）ABCD1【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的對(duì)稱性，及在區(qū)間上的單調(diào)性，可知，又的圖像與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從而得，進(jìn)而可求出的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，又，得，令，得，所以在上的圖像與直線的第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，第二個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得，綜上所述，故的最小值為 故選：D9已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的意義將方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為各段上根的個(gè)數(shù)問題分類推

6、理討論求解.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則有：有兩個(gè)不同的實(shí)根，且無實(shí)根，或與各有一個(gè)實(shí)根，或無實(shí)根，且有兩個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)在上最多一個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)不同的實(shí)根不成立，當(dāng)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，必有，即，此時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上確有一個(gè)零點(diǎn)，方程必有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)，時(shí)，設(shè)函數(shù)，而函數(shù)對(duì)稱軸，即在上單調(diào)遞減，又，即在上必有一個(gè)零點(diǎn)，因此，方程必有一個(gè)實(shí)根，于是得當(dāng)時(shí)，與各有一個(gè)實(shí)根，若方程無實(shí)根，必有，此時(shí)方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，于是得當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的實(shí)根，且無實(shí)根，綜上得：當(dāng)或時(shí)，方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，所以實(shí)數(shù)a的取

7、值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及分段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以按各段零點(diǎn)個(gè)數(shù)和等于總的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分類分段討論解決.二、填空題10若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為_.【答案】2.5【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)z的虛部為.故答案為：.11在的展開式中，求含項(xiàng)的系數(shù)為_【答案】28【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令x的次數(shù)為5求出對(duì)應(yīng)的r的取值，從而可得其系數(shù)【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，得，可得含項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：2812設(shè)函數(shù)對(duì)任意的 均滿足，則_【答案】-1【分析】由輔助角公式先進(jìn)行化簡，再利用條件可得為奇函數(shù)，可求得的值，代入求

8、解即可.【詳解】因?yàn)橛忠驗(yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)即 所以故答案為-1【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)以及化簡，利用輔助角公式是解題的關(guān)鍵，熟悉三角函數(shù)性質(zhì)，屬于較為基礎(chǔ)題.13若實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最小值是_.【答案】【分析】通過換元使變量系數(shù)相同，巧用“1”的代換結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】解析：令，則，因?yàn)?，所?從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.14已知，函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，則的最大值是_【答案】0.625【分析】將題設(shè)轉(zhuǎn)化為，分類討論求得，再求出的最大值即可.【詳解】由題意得：，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí).則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，畫

9、出在的圖象，令，解得，此時(shí)相切，可得；當(dāng)時(shí)，；則，即當(dāng)時(shí)，又，則；當(dāng)時(shí)，又，則；當(dāng)時(shí)，又，則；綜上可得，即的最大值是.故答案為：.三、雙空題15袋中有大小形狀相同的紅球、黑球和白球共9個(gè)，其中白球有2個(gè)，從袋中取出2球，至少得到1個(gè)紅球的概率為，則紅球有_個(gè)在此情況下，若從袋中取出3球，記取到黑球的個(gè)數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為_【答案】 4 1【分析】設(shè)出紅球個(gè)數(shù)，直接由至少得到1個(gè)紅球的概率為得到方程，解方程即可；分別求出X為的概率，再按照期望公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)紅球個(gè)，則黑球個(gè)，至少取到1個(gè)紅球的概率為，解得；由上知：黑球有3個(gè)，易知X的所有取值為，故期望為.故答案為：4；1.四

10、、解答題16已知，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用倍角公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算；（2）利用兩角和與差的余弦公式計(jì)算，注意角的范圍.【詳解】(1).(2)因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)?，所以，所?所以.17已知函數(shù)(1)求的最小正周期及其圖象的對(duì)稱軸方程；(2)若的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，求函數(shù)在上的值域【答案】(1)，（）(2)【分析】（1）由2倍角及輔助角公式可得，從而可求解；（2）由平移得，再通過整體思想求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?，所以的最小正周期令，則，所以圖象的對(duì)稱軸方程是，(2)由題可知因?yàn)?，所以，所以，即，故在上的值域?8如圖

11、，平面，(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明平面BCF平行于平面ADE，即可證明直線BF平行于平面ADE；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDE的法向量，利用向量數(shù)量積即可求解；（3）分別求出平面BDE和平面ADE的法向量，利用向量數(shù)量積即可.【詳解】(1) ， 平面ADE， 平面ADE， ， 平面BDE， 平面BDE， ，平面ADE 平面BDE， 平面BDE， 平面ADE；(2)依題意， ，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：則 ， ， ，設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為 ，則有 ， ，令x=2

12、，則y=-2，z=-1， ，設(shè)CE與平面BDE的夾角為 ，則有 ，(3)顯然平面ADE的一個(gè)法向量為 =(0，1，0)，設(shè)平面ADE與平面BDE的夾角為 ，則 ；綜上，CE與平面BDE的夾角的正弦值為 ，平面ADE與平面BDE的夾角的余弦值為 .19已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若關(guān)于x的方程在無實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)【分析】（1）代入，求導(dǎo)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值情況；（2）構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)，確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值，對(duì)進(jìn)行分類討論，確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)镽，令，解得：，當(dāng)時(shí)，

13、單增，當(dāng)時(shí)，單減所以在處取得極小值，極小值為，無極大值.(2)即在無實(shí)數(shù)解，令，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以，即在上單調(diào)遞增，其中，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，令，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，故，所以，又，故存在，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，且令，令，所以在上單調(diào)遞增，又，故時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，故，又，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在，故在內(nèi)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，綜上：時(shí)滿足題意即的取值范圍是【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題，通常需要構(gòu)造函數(shù)，求出構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，確定其單調(diào)性，極值和最值情況，本題中

14、要注意到特殊點(diǎn)的函數(shù)值，確定參數(shù)的取值范圍，即必要性探究，再進(jìn)行充分性證明.20已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，證明對(duì)任意，恒成立.【答案】（1）；（2）在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)；（3）見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，進(jìn)而得到，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，三種情況分類討論，即可求解（3）把，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則函數(shù)，則，則，曲線在點(diǎn)處切線的方程為，即.（2）由函數(shù)，則，令，又，若，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+0-0+極大值極小值所以在區(qū)間和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).若，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+0-0+極大值極小值所以在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).