2021版高考文科數(shù)學(xué)人教A版一輪復(fù)習(xí)核心考點·精準(zhǔn)研析選修4-42參數(shù)方程

1、 Ctrl, 考點一 參數(shù)方程與普通方程的互化1.若曲線C 的參數(shù)方程為程.(為參數(shù)),求曲線 C的方2.在平面直角坐標(biāo)系中,若曲線C的參數(shù)方程為數(shù)),求曲線的普通方程.【解析】將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得x+2y-2=0(02,01).2.依題意,消去參數(shù)可得x-2=y-1,即 x-y-1=0.3.因為 x=,y=4-3又 x=4-3x.=2-0,2),所以x0,2),所以所求的普通方程為3x+y-4=0(x0,2).將參數(shù)方程化為普通方程的方法(1)將參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)參數(shù)方程的特征,選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)的參數(shù)方程,常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參.(2)將參數(shù)方程化為普通方程時,要

2、注意原參數(shù)方程中自變量的取值范圍,不要增解.考點二 參數(shù)方程的應(yīng)用【典例】xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l 的參數(shù)方程為為參數(shù)). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(t(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程.(2)若曲線C截直線l 所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題(1)直線的參數(shù)方程化為普通方程時注意分類討論(2)直線的參數(shù)方程性質(zhì)的應(yīng)用【解析】(1)曲線 C的直角坐標(biāo)方程為 + =1.當(dāng) cos 0時,l的直角坐標(biāo)方程為y=tan x+2-tan ,當(dāng) cos =0時,l的直角坐標(biāo)方程為x=1.(2)將 l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos

3、)t+4(2cos +sin )t-8=0.22因為曲線C截直線l所得線段的中點恰為(1,2),所以有兩個解,設(shè)為t,t t +t =0.1212又由得t+t=-,12故 2cos +sin =0,于是直線l的斜率 k=tan =-2.1.直線的參數(shù)方程有多種形式,只有標(biāo)準(zhǔn)形式中的參數(shù)才具有幾何意義,即參數(shù)t的絕對值表示對應(yīng)的點到定點的距離.2.根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中t 的幾何意義,有如下常用結(jié)論:(1)若直線與圓錐曲線相交,交點對應(yīng)的參數(shù)分別為t,t ,則弦長12l=|t-t|.12(2)若定點M(標(biāo)準(zhǔn)形式中的定點)是線段M M(點M ,M 對應(yīng)的參數(shù)分別01212為 t ,t,下同

4、)的中點,則t +t=0.1212(3)設(shè)線段MM 的中點為M,則點M 對應(yīng)的參數(shù)為t =.12M設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t 為參數(shù),為傾斜角),圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)若直線l經(jīng)過圓C 的圓心,求直線l的斜率.(2)若直線l與圓 C交于兩個不同的點,求直線 l的斜率的取值范圍.【解析】由已知得直線l經(jīng)過的定點是P(3,4),而圓C的圓心是C(1,-1),所以,當(dāng)直線 l經(jīng)過圓C的圓心時,直線l的斜率 k= .(2)由圓 C的參數(shù)方程(為參數(shù)),得圓C的圓心是C(1,-1),半徑為 2.由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù),為傾斜角),得直線l的普通方程為y-4=k(x-3)(斜率存在),即

5、kx-y+4-3k=0.當(dāng)直線l與圓C交于兩個不同的點時,圓心到直線的距離小于圓的半徑,即 .即直線l的斜率的取值范圍為.考點三 極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用考什么:(1)考查距離、弦長、位置關(guān)系、取值范圍等問題.(2)考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、分怎么考:與直線、圓、橢圓、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識結(jié)合考查求弦長、距離、討論位置關(guān)系等問題.學(xué)霸 (1)求最值問題:結(jié)合直線與圓的關(guān)系,求圓上的點到直線的距好方 離的最值,用圓心到直線的距離加減半徑.法 (2)求取值范圍問題:根據(jù)極坐標(biāo)與參數(shù)方程的關(guān)系,結(jié)合三角函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)的有界性求取值范圍.交點、距離、弦長問題【典例】以平面直角

6、坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點O 為極點,以x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C 的極坐標(biāo)方程為sin =4cos .2(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程.(2)設(shè)直線l與曲線C 相交于A,B 兩點,求|AB|.【解析】由sin=4cos 可得 sincos ,222所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=4x.2(2)將直線 l的參數(shù)方程代入y=4x,2整理得4t+8t-7=0,所以 t+t=-2,tt =- ,2121 2所以|AB|=.曲線的位置關(guān)系【典例】以極點為原點,以極軸為x 軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,已知曲線C 的極坐標(biāo)方程為=10,曲線C 的參數(shù)方程為12(為參數(shù)

7、).(1)判斷兩曲線C 和 C 的位置關(guān)系.12(2)若直線l與曲線C 和C 均相切,求直線l 的極坐標(biāo)方程.12【解析】由=10得曲線C 的直角坐標(biāo)方程為x+y=100,由221得曲線C 的普通方程為(x-3)+(y+4)=25.222曲線C 表示以(0,0)為圓心,10為半徑的圓;1曲線C 表示以(3,-4)為圓心,5為半徑的圓.2因為兩圓心間的距離5等于兩圓半徑的差,所以圓C 和圓C 的位置關(guān)系12是內(nèi)切.(2)由(1)建立方程組解得可知兩圓的切點坐標(biāo)為(6,-8),且公切線的斜率為 以直線l的直角坐標(biāo)方程為y+8= (x-6),即 3x-4y-50=0,所以極坐標(biāo)方程為 -4sin -50=0.取值范圍(最值)問題【典例】xOy 中,曲線C 的參數(shù)方程為極坐標(biāo)系,直線l 的極坐標(biāo)方程為2cos + sin +11=0. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)求C 和 l的直角坐標(biāo)方程;(2)求C 上的點到l距離的最小值.【解析】(1)因為-11,且 x+=+=1,所以 C2的直角坐標(biāo)方程為x+ =1(x-1).2l的直角坐標(biāo)方程為2x+ y+11=0.(2)由(1)可設(shè) C的參數(shù)方程為.C上的點到l的距離為=.當(dāng)=-