2020屆廣東省深圳市高三下學(xué)期第一次調(diào)研數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、第1頁共21頁屆廣東省深圳市高三下學(xué)期第一次調(diào)研數(shù)學(xué)(理)試題一、單選題1vA x| 1 X 1.集合V? ，集合 B= x|x X，則 A AB =()2先化簡集合，再利用交集的定義求解.【解._2. (_ , )B 1 0C. 0?. ( , )D 0 1A1,2【答案】C【詳解】12A x| 1 x ,集合集合 = x|x x= 1,2112QB = =( ,).Ax|0 x對于, = In - ，有- 0,解可得-1 . nA In In 3 log eB In Iog e In 333. n. nC In3 Iog e InD In 3 In Iog e33【答案】A【解析】利用對數(shù)

2、函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】n.函數(shù)對數(shù) = Inx和= Iog x在（0, ）上單調(diào)遞增，且,3n = ,. In In3 Ine 1又Iog ,In In3 Iog e3故選：.【點睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題，5 .將直線I: = 2x+1繞點4 1, 3）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到直線I的方（程為（ ）A . - y+1= 0【答案】D. - y+2= 0. - 2y+3= 0 D. - 6= 0【解析】 直接利用到角公式和點斜式方程求出結(jié)果.第2頁共21頁【詳45。得到直線I；I的斜率為k,則根據(jù)到角公式的應(yīng)用,設(shè)直線tan45k 21，解得 =- ,1 2k- 1

3、),整理得- 6= 0.所以直線I的方程為-3 =- 3故選：.【點睛】本題主要考查到角公式，直線方程，還考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知數(shù)列a 為等比數(shù)列，若a什a = 2，a +a = 20，則a a =( )22n4142 3A . - 8. 8. - 16D . 16【答案】A【解析】直接利用關(guān)系式的轉(zhuǎn)化和等比性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】數(shù)列a 為等比數(shù)列，若a什a = 2，n4a 2a a a4，所以：21 4 421因為 a/+a = 20，24所以 2a =-16，整理得 a a = a a =- .4? 31 4故選：.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用

4、，還考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7 .如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為( )223428. nA 9.C.-333【答案】D第3頁共21頁2的半球,【解根據(jù)幾何體的三視圖可得直觀圖為：該幾何體為上面為一個半徑為第4頁共 21頁 2,高為3【詳解】2的半球，下面為底面半徑為 2,高為3由三視圖可知：該幾何體為上面為一個半徑為342332故選：.幾何體的體積和表面積公式的應(yīng)用， 還考本題主要考查三視圖和直觀圖形之間的轉(zhuǎn)換,查空間想象和運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.【點睛】x相切，則 的斜率為（x 4 eI0lC:y8已知過原點 的直線 與曲線2e.【答

5、案】Bm, m 4 m，然后利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將0,0代入即可.【解析】設(shè)切點為【詳解】m, m由題意設(shè)切點為4 emQ y x 4 e yx 3 ekm 3 e m y e x 3,/ = ( - )xxe1所以，切線 的方程為ym 3 xm 4 emm ,m1因為切線 過原點，可得m 2,m 4m 40,k e2.2故選：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切線的求法，屬于基礎(chǔ)題.9 .珠算被譽為中國的第五大發(fā)明，最早見于漢朝徐岳撰寫的數(shù)術(shù)記遺？2013年聯(lián)第5頁共 21頁合國教科文組織正式將中國珠算項目列入教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn).如圖，我國傳統(tǒng)算盤每一檔為兩粒上珠，五粒下珠，也稱

6、為 七珠算盤”.未記數(shù)（或表示零）時，每檔的各珠位置均與圖中最左檔一樣；記數(shù)時，要撥珠靠梁，一個上珠表示“5” 一個檔撥動一珠靠梁（其它各珠不動），則在其可能表示的所有四位數(shù)中隨機取一個數(shù)，這個數(shù)能被 3整除的概率為（）122B.-531D.-3A .-C.8【答案】C【解析】 這是一個古典概型，基本事件總數(shù) n= 2 = 16,然后利用列舉法得到這個數(shù)能4被3整除包含的基本事件數(shù)，代入公式求解。【詳解】選定 個位檔” 十位檔”、百位檔”和 千位檔”規(guī)定每檔撥動一珠靠梁（其它各珠不動） ，則在其可能表示的所有四位數(shù)中隨機取一個數(shù)，基本事件總數(shù)n = 2 = 16,4這個數(shù)能被3整除包含的基本事

7、件有：5511 , 5115, 5151, 1155, 1515, 1551，共6個，這個數(shù)能被3整除的概率為P .316 8故選：.【點睛】本題主要考查古典概型的概率的求法，還考查考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10 .已知過拋物線 4x焦點F的直線與拋物線交于P, Q兩點，M為線段PF的中點,連接0M ,卜則厶OMQ的最小面積為（）第6頁共21頁A . 1. 2. 42第7頁共 21頁【答案】B【解析】由題意可得直線 PQ的斜率不為0，設(shè)直線PQ的方程，與拋物線聯(lián)立，可得PF的中點M的縱坐標(biāo)，有=1 ySZMQ丫 )，整理由鄉(xiāng)y221 2yS +S |OF |?g y | ?11I1 2OF

8、QOMF解。*1【詳解】如圖所示:0J=-p2設(shè) P (X , y), Q (X , y ),設(shè) P 在x軸上方，1i22由題意可得直線 PQ的斜率不為0,設(shè)直線PQ的方程為= .x my 1 24x聯(lián)立直線與拋物線的方程，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?頁共21頁整理可得y - 4my- 4= 0, y +y = 4m, y y = ,2121 2因為 為 的中點，所以 號,yMMPF所以O(shè)MQ=S +S1 OFQAOMFy212?1y2y % y)2222y 取等號2所以 OMQ的最小面積為、一2 ,故選： .B【點睛】本題主要考查直線與拋物線的綜合及均值不等式的應(yīng)用,于中檔 還考查了運算求解的能力， 屬題.

9、第9頁共21頁 ,f x sin x011.已知定義在 R上的函數(shù) 在1, 2上有且僅有3211，04x個零點，其圖象關(guān)于點和直線對稱，給出下列結(jié)論：4f 12 ；22 函數(shù)f （ ）在0，1上有且僅有3個極值點；3 5（ 函數(shù)f ）在，上單調(diào)遞增；2 4 函數(shù)f （）的最小正周期是 2.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A .C .D .【答案】A【解析】先根據(jù)條件求得函數(shù)的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判斷選項即可.【詳解】10頁共21頁11A n; + k k Z因為曲線關(guān)于點（一，0）對稱，所以：一1144143 = n , + kk Z2223=n 3=由可得： 2（k k ）1 即卩- )

10、 n, 122n 1 n Z因為f x sin x在1, 2上有且僅有3個零點，4nW ),324n,；3=n；由可得3、3=o,.0= n 6|k 又| f：)=442，(二 f()= sin 3）；n4( )1所以易知f:.錯誤；22k 15 1202EF，即 EF 上2VvEF 4v又 EF EB = 4,故選：.【點睛】本題考查空間中點、線、面的位置關(guān)系以及距離計算，還考查了空間想象能力與轉(zhuǎn)化思 維能力，屬難題.二、填空題13 .記S 為等差數(shù)列a 的前n項和，若5a = S +5，則數(shù)列a 的公差為_.nn25n【答案】-1【解析】利用等差數(shù)列的通項公式及求和公式即可得出.【詳解】設(shè)

11、等差數(shù)列 的公差為 d .an/ 5a = S +5,25 a什d）= 5a什 10d+5,5（解得d =- .故答案為：-1.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.14.某地為了解居民的每日總用電量y（萬度）與氣溫 x（）之間的關(guān)系，收集了四天的每日總用電量和氣溫的數(shù)據(jù)如表：13頁共21頁氣溫X ()192413349-1每日總用電量 （萬度）3864y? 2x a經(jīng)分析，可用線性回歸方程擬合y與 X的關(guān)系據(jù)此預(yù)測氣溫為14 【答案】32【解析】 求出樣本中心，代入回歸直線方程，求出 a,然后求解該地當(dāng)日總用電量.【詳解】19 13 9 14- 2

12、4 34 38 644由題意可知：x10,y40,x所以 40=- 2 10+a，解得 = 60 ? 2x 60所以線性回歸方程,預(yù)測氣溫為14C時，可得 =- 28+60 = 32 故答案為：32 【點睛】本題值域考查回歸直線方程的求法及應(yīng)用還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.13AD - AB15 .已知等邊三角形 ABC的邊長為3,點D , E分別在邊AB, BC上，且,uur uur”,DC DE1BE BC，則的值為_ 3【答案】3【解析】 以B為原點，BC和垂直 BC的線分別為 、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，再分別寫出、E三點坐標(biāo)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得解.【詳解】以B為原

13、點，BC和垂直 BC的線分別為 、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示14頁共21頁uuir_LUU DC DE 2 . 3 0 33., 、【點睛】本題主要考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，還考查運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.221a b2 216 .已知點F、F 分別為雙曲線 爲(wèi) a , )的左、右焦點，點Mi2v(x , y ) (x 0C的漸近線與圓x +y = a 的一個交點，O為坐標(biāo)原點，若直線222oooFM與C的右支交于點 ，且|MN =|NF |+|OF ，則雙曲線 C的離心率為 _.i2254【答案】5【解析】由題意畫出圖形，可得直線FM與圓O相切于點M,且|MF|=,再由雙曲線的定義

14、隱含ii條件列式求解雙曲線的離心率.【詳解】如圖所示：由題意可得，直線 FM與圓O相切于點 ，且|MF|= b,ii由雙曲線的定義可知, 2a =|NF| |NF = |MN|+|MF| |NF ,i2i2 =|NF |+|OF ,且 |OF = c,222 2a = b+c, 即卩b= 2a - c, b =( 2a- ) = c - 4ac+4a ,2222又 b = c - a , 聯(lián)立解得4c= ，即e - 5 .222a 454故答案為：-.【點睛】15頁共21頁2本題主要考查雙曲線的定義以及簡單幾何性質(zhì),函數(shù)f () 的最小正周期Tn;還考查數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能2A力，屬于

15、中檔題.(2) f(=2sin ( A )+1 = , sin (A ) = 0,2335三、解答題3VV 2A,3 3n)17 .函數(shù) f() = ( sinx+cosx) , 3 cos 2x+ .-A2即A -,033(1)求函數(shù)f()的最小正周期；A2,f1 sinC 2sinB,(2)已知ABC的內(nèi)角, , C的對邊分別為a, b, c,若且a=2,求厶) ；( ) .【答案】(12 邁3【解析】(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)為f () =2sin (2x) +1，再利用周期公3式求解；(2)先求出A的值，再根據(jù)正弦定理余弦定理即可求出b的值，然后利用三角形的面積公式求解.【詳解】)

16、 ( ) = (1 f x)( n) =3sinx+cosx TJcos 2x+ 1+sin2xcos2x= 2sin2+1,、一(2x由正弦定理以及 sinC= 2sinB可得= 2b,由余弦定理可得 a = b +c - ，可得b 空 322232,331Sbcs inAAABC2第16頁共21頁【點睛】2第17頁共 21頁本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用， 還考查了轉(zhuǎn)化思想和運算求解的能力， 屬于中檔題.18 .已知三棱柱 ABC- ABC的所有棱長都相等，平面 BBCC丄平面 ABC ,BC= CC.i i i

17、i iii(1) 求證：AB丄平面 ABC;ii i(2) 求二面角 A- AC- B 的余弦值.iii【答案】(i)見解析(2).5【解析】(i)設(shè)直線AB 與直線 BA 交于點,連結(jié)CG,推導(dǎo)出AB丄 AB, CG丄AB, 由此能證iiiiiii明AB丄平面 ABC.ii i( )取 中點0為坐標(biāo)原點，分別以 , , OC 所在直線為 , , z軸，建立空 間直角坐標(biāo)2BCi系，利用向量法能求出二面角【詳解】A - AC - B 的余弦值.iii(1) 證明：設(shè)直線 AB 與直線BA 交于點 ,連結(jié)CG,iii四邊形 ABBA 是菱形， AB丄AB,i iiiTBC = CC= CA, G

18、 為 AB的中點， CG丄 AB,iii iiiiT PAB CG= ,. AB丄平面 ABC.iiii i(2) 解：取BC中點 O為坐標(biāo)原點，如圖，分別以 , OC, OC 所在直線為 , , z 軸，建i立空間直角坐標(biāo)系：第i3頁共 2i頁(73732,則 C(, 1, ), C 0, 0, ) , A , , 0) , B( 0,-1,i0),ULuuu uuuACULU UULBC BCAC ,3 0 . 3 AG( , , ),3, ,10),( 0, 2, 0),(ii設(shè)平n, , ),AAC的一個法向量 (xy z面iiuuuu/rr n AG. 3x y 0.3 :=1，得n

19、uuuv,1),則(1,1 nrAC,3x . 3z 01設(shè)棱柱的棱長為設(shè)平m(a, ,ABC的一個法向量為b c ),i i面q設(shè)二面角A - AC B 的平面角為iii|rm n|則 cos 0 r11r210丁_ -.=Tuuurm rm.面 A- AC - B 的余弦值為Ciii=i，得 m0，取1(1, ),貝UULB C1m|n V5 V25【點睛】 本題主要考查線面垂直的證明，二面角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證,22i9 已知橢圓:令占3，左頂點為2，離心率為 2a b i a b 0的短軸長為運算求解的能力，屬于中檔題.過點A的直線I與C交于另一個點M，且與直線x=

20、 t交于點N .(1) 求橢圓C的方程；(O C)N|(2) 是否存在實數(shù)t，使得1 為定值？若存在，求實數(shù)t的值；若不存在，請MM說明理由.第19頁共21頁232【答案】(1) y = 1；(2)存在，t -24【解析】a, b,c的關(guān)系，可得a, c,l的方程為= k (), Muuju uuu(2)假設(shè)存在OM ON為定值可設(shè)直線= t ,使得t得o而到橢圓方程;(x , y ),聯(lián)立橢圓的方程，運用韋達(dá)定理，求得M的坐標(biāo)，將t = t 代入= k (),ooo求得N的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合定值，可得所求值.【詳解】(1)由題意可得= ,即卩b= , e _J, a -b

21、 = c ,222a 223解得 = 、 ，則橢圓C的方程為 y = ；a2 c,214UUJU uur(2)假設(shè)存在實數(shù)t= t ,使得OM ON為定值.o由題意可得直線I的斜率存在，由A (- , o),可設(shè)直線I的方程為= k (x+2) , M (x ,oy ),oy k x 216k 48k 2224k1 4k1 4k2即 x2oy k x +2= ( )由韋達(dá)定理可得-ooo1 4k24k即 M ( -),1 4 21 4k2x y聯(lián)立 ，可得4=,1+4k2 x2+16k2x+16k2 4 o()-22422 t 8k t4k t 8k4 2 t k 2tuuuuuuir。222

22、小則oooo2 , 1 4kOM?ON1 4k2uuuu uuu8 4t 2tooOM若ON為定值，則iuuu此時ONOM解得to為定值 ,3將 t= t 代入 = k (),可得 N(t , kt +2),ooouuiu luiT2uuunHIT所以存在實數(shù)，使得OM ON為疋值，+第20頁共21頁3【點睛】本題主要考查橢圓方程的求法，直線和橢圓的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積的運算，還考查運算求解的能力，屬于中檔題.20 某市為提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉辦了一次數(shù)學(xué)文化知識大賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié). 已知共有8000名學(xué)生參加了預(yù)賽， 現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機地抽取

23、100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到如下頻率分布直方圖.#(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于8060分的學(xué)生從上述樣本中預(yù)賽成績不低于中隨機地抽取2人，求恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率；(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布N(卩,(3) 預(yù)賽成績不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽，復(fù)賽規(guī)則如下：每人的復(fù)賽初始分均為100分；參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量減去)一定分?jǐn)?shù)來獲取答題資格，規(guī)定答第k題時 花”掉的分?jǐn)?shù)為0.1k ( k1, 2n)；每答對一題加1.5分，答錯既不加分也不減分；答完 n題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即n ,每一題都需要花”掉(即為復(fù)賽成績.已知學(xué)生甲答對每道

24、題的概率均為學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績，則他的答題數(shù)量0.7，且每題答對與否都相互獨立.若n應(yīng)為多少？J362 19U；若 Z N ( , /),貝 P(廠 X Z卩+ 0.6827 P (參考數(shù)據(jù)：- (r V ( (r20 100= 40 人，X其中成績優(yōu)良的人數(shù)為 0.0075 20 = 15人，記 從樣本中預(yù)賽成績不低于 60分的學(xué)生中隨機地抽取 2人，恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良”為事件,則恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率：Cg 25P ()C 52：.(2)由題意知樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值為:XXXXX = ,10 0.1+30 .2+50 .3+70 .25+90 . 15 53

25、 則尸 530=又由 /= 362，二 19,P (91 = P +2) 121 P 220.02275,X= ,估計全市參加參賽的全體學(xué)生中成績不低于 91分的人數(shù)為：8000 0.02275 182即全市參賽學(xué)生中預(yù)賽成績不低于 91分的人數(shù)為182 .E(3)以隨機變量 表示甲答對的題數(shù)，則 B (n,E=0.7),且E ,E記甲答完n題所加的分?jǐn)?shù)為隨機變量,則= 1.5=E=,EX 1.5E 1.05n依題意為了獲取答 n題的資格，甲需要花”掉的分?jǐn)?shù)為：0.1 X( 1+2+3+)= 0.05 n ),2設(shè)甲答完n題的分?jǐn)?shù)為M (n),則 M n)=100 -0.05 ( n ) +1

26、.05n=- 0.05( - 10) +105,22由于n ，當(dāng)n = 10時，M( )取最大值105，即復(fù)賽成績的最大值為105.若學(xué)生甲期望獲得最佳復(fù)賽成績，則他的答題量【點睛】n應(yīng)該是10 .本題主要考查概率、頻數(shù)、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，頻率分布直方圖、二項分布，還考第17頁共21頁查了運算求解的能力，屬于中檔題.21 .已知函數(shù) f()= 2cos x+ax .22f x(1) 當(dāng)a= 1時，求f)的導(dǎo)函數(shù) 在 ，一 上的零點個數(shù)；2 2(2) 若關(guān)于x的不等式2cos 2si ) +a x 0f ()在(-+上恒成立，求實數(shù) a2 2(); ( ) , R).【答案】 1 零點個數(shù)為

27、3 2 1 +f x【解析】 )易得 = (-12 x sin2x0),再用導(dǎo)數(shù)法研究( ,)上的零點情況，2f x然后結(jié)合 的奇偶性求解.v v(2)令sinx=t -1,1，轉(zhuǎn)化為不等式cos2ta (1 -t )恒成立，再t=1 和-1 t 1分類2討論求解.【詳解】f xf 0= 0,(1) 易知所以= 0是( )的一個零點，令 g( )= x- sin2x( 0又 g( 0)=0，且g(所以g (乂)在(,)0,22)上存在唯一零點X (, )，02 26f x則 = 2g ( )在(0,)上亦存在唯一零點，2X因為 是奇函數(shù)，所以 在(, )上也存在唯一零點- ,fxf0X0f X

28、 ，綜上所述，當(dāng)a= 1時，f)的導(dǎo)函數(shù) 在 上的零點個數(shù)為 ;322(2) 不等式2cos ()+a x af ()恒成立，即不等式cos )弟cos x恒成立,令sinx=2 22t - , 1,則等價于不等式cos2ta (1- t )()恒成立，2若t = ,即t=1時，不等式()顯然成立，此時a ,2cos2t L L(1 t)v v若-1 t 1時，不等式(1)等價于a(2)第24頁共21頁2 tcos2t 1 t sin2t2h tw當(dāng) o 1 時，(1 t )22設(shè) ()罟(- )，th t110( )=( - )( W ,令 t tcos2t 1 t si n2t O12t- )( W ),則 =( 2t 1 cos2t O 12已知=0,2= ,且二 _ ,42 4o則 (”在(o, ),(,1)上單調(diào)遞減，在(2,)上單調(diào)地增,442220 ( )= , 0()=- , 0 ()1綜上所述，滿足題意的實數(shù) a1 , +R).【點睛】分類討論的思想和運算求解的能力，屬于難題.C,AD22 如圖，有一種賽車跑道類似 梨形”曲線，由圓??？和線段 B , CD四部分組A42ABC D成,在極坐標(biāo)系 Ox中，( 2, - B( , ),( ,),D