復(fù)變函數(shù)習(xí)題解答

1、z dz5. 由積分 1/( + 2) 之值證明d(1 + 2 cos )/(5 + 4cos )zzzdzCdi e /(e + 2)iCCd(1+2cos )/(5+4cos )d因(1 + 2cos )/(5 + 4cos )以2 為周期，故因(1 + 2cos )/(5 + 4cos )為偶函數(shù)，故dfz gzDfzzdz( ) ( ) = ( ( ) ( )|Dfzgzfz gz【解】因 ( ), ( )區(qū)域fzgz Dfzz gzzfzgz ( )，以及( ( ) ( ) 的積分都與路徑無(wú)關(guān)gz zdz( ) =Dfg( ) ( ) = ( ( ) ( )|gz zdzfzgzC

2、z ztt內(nèi)單葉解析且線C zt D( )時(shí)， 不是閉曲線此時(shí) ( )是 , 到 內(nèi)的單射，C因 是曲線 在映射 下的象，所以 可表示為 = ( ( )(fw fztt)tzt DfDfzttzt tCfzDfzztDz( ) 0，故在 , 上，|所以， 是光滑曲線zCzt t1 , ( ( ) ( )|( ( ) ( ) =( ) = ( )，可知 z 1由 ( )于區(qū)域 內(nèi)單葉，因此我們有 ( ( )DtDD內(nèi)單葉解析且Cw其中 ( )沿曲線 連續(xù)tfz z dzfzt ztt dt( ( ) ( ) CCfz zfzfzzfzMfzfzfz所以函數(shù)1/ ( )在 上解析，且| 1/ (

3、) |fzfzDx2fzuv wfzuwuu vvxxywwxx因?yàn)?, 都是調(diào)和函數(shù)，所以xxxxxyyyyyyyu vu u u u u u uv v v v v v v+ = ( + ) = 0；xx+= ( + ) = 0，xxyyxxyyyyu v2yxyuvuyyxyy) | ( ) | = 4 | ( ) |yfzzDzzln | ( ) D r，因區(qū)域 是開(kāi)集，故存在 0，使得zz( )是連續(xù)的，故存在 0，使得Ka r( , )1用三角不等式，此時(shí)有|a( )| eesba e| | | |max, |【解】因?yàn)?( ) =bsasefz在 上解析，故 ( )的積分與路徑無(wú)關(guān)

4、sze seszbsasC, e dzszesz+ i )zzCCCCeedsba e= | |max, zmax, CCeesba e| | | |max, bsaszzCz用 內(nèi)曲線 連接0與 ，試證：Re( 1/(1 + )zDyzzzz arg 0 ， 1zzzzzzzi ) )/(2i)是1/(1 + )的一個(gè)原函數(shù)C0, zzln(1= (ln |(1 + i )/(1i(1/2) ln |(1 +i )/(1i )/(2i)= ln(1 +i )/(1zzzi )| + i arg (1 +i )/(1zzzi )| + arg (1 +i )/(1z) = arg (1 + i

5、 )/(1z(1+i )/(1zi )=(1+i(cos +isin )/(1z) = arg (1 + i )/(1zz求1/(1 + ) = 1/(1 + i ) + 1/(1zzzzCCz6. 試計(jì)算積分 ( | |CC【解】在 上，函數(shù)| |zzaze sin 的相同，故其積ze sin 與函數(shù)zz dzaCCze sin 在 上解析，由Cauchy-Goursat定理， (azCCfz7. 設(shè)(1) ( )在| |zrr1上連續(xù)；(2) 對(duì)任意的 (0 1)，fz( )|z| =rdz| z| = 1zrzMwz(1)z w Dzzknn1)是所有的 次單位根2k i/nkK n n

6、將 (1)分成 個(gè)弧段 (1), (2), ., ( )nk kz其中 ( ) ( = 1, .,弧段k記() k= 1, .,n線段zzkjn當(dāng) 充分大時(shí)，max Length( ( ) = 2 / 0時(shí)是連續(xù)的；(2) ( )表| ( ) :(1)(1)Mrfzz z r r| |= 上的最大值；(3)lim0fz dz( ) = 0rr()r r【解】當(dāng) 時(shí)，我們有()()()r()fz z a9. (1) 若函數(shù) ( )在點(diǎn) = 的鄰域內(nèi)連續(xù)，則fz z a dzr| z a| = rzrr| z a| = r| z a| = r| z a| = r| z a| = r| z a| =

7、 rz a ds rMr1/| | = 2 ( )| z a| = rr| z a| = rfz z a dzfa( )/( ) = 2 i ( )r(2) 根據(jù)(1)，lim| z a| = rfz zdz f( )/ = 2 i (0)r而當(dāng) 充分小時(shí)，我們有| z| = rrfr r r d( e )/( e )( e i) =ii i i| z| = rfr d( e ) fr drfz zz| z| = 1z z fz zdz(2 ( + 1/ ) ( )/|z| = 1fz z zfz z zfz z dz(2 ( )/ ( ( )/ + (1/ ) ( )/ )| z| = 1=

8、 (1/(2 i)(| z| = 1| z| = 1| z| = 1ff fzD11. 若函數(shù) ( )在區(qū)域 內(nèi)解析， 為 內(nèi)以 , 為端點(diǎn)的直線段，試證：存C D a bC fb fab a CztCba(1 ) + ) ( )在 上恒為零此時(shí)取 = 0，任意取 ，則有Cfaba( ) ( ) = ( )(1t)a+t)dt=0= (bdt(2) 若 | (1 ) + ) | 0，00(1 ) + ) )/ ( )(1 ) + ) )/ ( ) |t a tb dt fa t a tb dt b a(1 ) + ) = ( )且 ( ) ( ) = ( )( )zfzzfnnnn| (0)

9、| ( + 1)!(1 + 1/ ) e ( + 1)!， =1, 2, .()nz由Cauchy積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式，有fn fz| ( !/(2 ) | ( )|/|()()()zdsnzzr r()rnfr()r r) )最小，即要使(1 ) 最大nnr rrrnnnrrnrnn(1 ) + (/ ) + . + (/ )/( + 1) = /( + 1)nnr rnr n nr rn nnnn+1因此，我們?nèi)?= /( + 1)，此時(shí)有r n nfnr rn n nn()nnnn 的 必存在z【解】若不然，當(dāng)| | 時(shí)，| ( ) |Rxxxxyyuvxxxyxz uxyx yxfzz 2 + ，其中 為常數(shù)zx yu v x y xxy yuczzc ci ) ，其中 為任意實(shí)數(shù)fz書(shū)上答案有誤設(shè) ( ) =a bfzx y