2021屆新高考數(shù)學(xué)一輪課件專題七概率與統(tǒng)計

1、專題七 概率與統(tǒng)計題型 1概率與統(tǒng)計概率與統(tǒng)計的綜合題，自從 2005 年走進新高考試題后，就以嶄新的姿態(tài)，在高考中占有極其重要的地位，每年出現(xiàn)一道大題(都有一定的命題背景，其地位相當(dāng)于原來的應(yīng)用題).連續(xù)五年都為一題多問，前面考統(tǒng)計，后面考概率，預(yù)計這一趨勢在全國高考中會得到延續(xù)！例 1：(2019 年新課標(biāo))為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多 4 只時，就停止試

2、驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得 1 分，乙藥得1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分，甲藥得1 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得 0 分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為 X.(1)求 X 的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予 4 分，pi(i0，1，8)表示“甲藥的累計得分為 i 時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則 p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中 aP(X1)，bP(X0)，cP(X1).假設(shè)0.5，0.

3、8.證明：pi1pi(i0,1,2，7)為等比數(shù)列；求 p4，并根據(jù) p4 的值解釋這種試驗方案的合理性.X101P(1)(1)(1)(1)(1)解：X 的所有可能取值為1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1),X 的分布列為(2)證明：由(1)得 a0.4，b0.5，c0.1.因此 pi0.4pi10.5 pi0.1pi1，故 0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即 pi1pi4(pipi1).又p1p0p10，pi1pi(i0,1,2，7)為公比為4，首項為 p1 的等比數(shù)列.解：由可得 p8 p8p7p7p6p1p0p0【名師點評】(1)高考中經(jīng)常以統(tǒng)

4、計圖的形式顯示相關(guān)的數(shù)據(jù)信息，以統(tǒng)計圖為載體來考查概率的相關(guān)問題.本小題主要考查概率、分布列等概念和用樣本頻率估計總體分布的統(tǒng)計方法，考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力；(2)散點圖與線性回歸方程的有關(guān)知識，是高考考試的重要知識點，因此是高考命題的一種重要題型，要注意熟練掌握.統(tǒng)計問題最容易出錯的兩個方面：公式記錯、計算出錯！【跟蹤訓(xùn)練】1.(2016 年新課標(biāo))某公司計劃購買 2 臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個 200 元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個 500 元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損

5、零件，為此搜集并整理了 100 臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖 7-1：圖 7-1以這 100 臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替 1 臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記 X 表示 2 臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n 表示購買 2 臺機器的同時購買的易損零件數(shù).(1)求 X 的分布列；(2)若要求 P(Xn)0.5，確定 n 的最小值；(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在 n19 與 n20 之中選其一，應(yīng)選用哪個？解：(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為 8,9,10,11 的概率分別為 0.2 ，0.4 ，0.

6、2,0.2，從而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.X 的分布列為：(2)由(1)知，P(X18)0.44，P(X19)0.68，P(Xn)0.5 中，n 的最小值為 19.(3)記 Y 表示 2 臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元).當(dāng) n19 時， E(

7、Y) 19200 5000.2 10000.08 15000.044040.當(dāng) n20 時，E(Y)202005000.0810000.044080.可知當(dāng) n19 時所需費用的期望值小于 n20 時所需費用的期望值，故應(yīng)選 n19.題型 2離散型隨機變量的期望與方差隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望緊密相連，只有知道隨機變量的分布列，才能夠計算出隨機變量的數(shù)學(xué)期望，它們之間是層層遞進的關(guān)系.因此，這類試題經(jīng)常是以兩個小題的形式出現(xiàn)，第一問是為第二問作鋪墊的.例 2: (2017 年天津)從甲地到乙地要經(jīng)過 3 個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別(1)記 X 表示一輛

8、車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若有 2 輛車獨立地從甲地到乙地，求這 2 輛車共遇到 1個紅燈的概率.【規(guī)律方法】(1)會用頻率估計概率，然后把問題轉(zhuǎn)化為互斥事件的概率；(2)首先確定 X 的取值，然后確定有關(guān)概率，注意運用對立事件、相互獨立事件的概率公式進行計算，列出分布列后即可計算數(shù)學(xué)期望.(3)離散型隨機變量分布列的性質(zhì) p1p2pn1，這條性質(zhì)是我們檢驗分布列是否正確最有效的工具，希望同學(xué)們在求分布列時盡量將每個變量的概率求出，而不要偷懶，否則將失去自我檢查的機會.【跟蹤訓(xùn)練】2.某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行 5 次統(tǒng)一測試，學(xué)生如

9、果通過其中 2 次測試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測試，而每個學(xué)生最多也只能參加過與否相互獨立.規(guī)定：若前 4 次都沒有通過測試，則第 5 次不能參加測試.(1)求該學(xué)生獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)的概率；(2)如果獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)或參加 5 次測試就結(jié)束，記該生參加測試的次數(shù)為 X，求變量 X 的分布列及均值 E(X).題型 3獨立性檢驗獨立性檢驗是新課標(biāo)增加的內(nèi)容，高考試卷多次以解答題形式考查，體現(xiàn)新課程的理念，因此我們在備考時也應(yīng)該引起足夠的重視.例 3：(2017 年新課標(biāo))海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了 100 個網(wǎng)箱，測量各

10、箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg), 其頻率分布直方圖如圖 7-2：圖 7-2(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記 A 表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于 50 kg”，估計 A 的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有 99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到 0.01).附：養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法P(K2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：(1)記 B 表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50 kg”，C 表示事

11、件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于 50 kg”，由題意知 P(A)P(BC)P(B)P(C)，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50 kg 的頻率為(0.012 0.014 0.0240.0340.040)50.62，故 P(B)0.62.新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于 50 kg 的頻率為(0.0680.0460.0100.008)50.66，故 P(C)0.66.因此，事件 A 的概率估計值為 0.620.660.4092.養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量6.635，故有 99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg 的直方圖面積為(0.0040.0200.044)50.340.5

12、，故 新 養(yǎng) 殖 法 箱 產(chǎn) 量 的 中 位 數(shù) 的 估 計 值 為 50 0.50.340.06852.35(kg).分類喜歡盲擰不喜歡盲擰總計男2330女11總計50【跟蹤訓(xùn)練】3.大型綜藝節(jié)目最強大腦中，有一個游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來很神奇，其實原理是十分簡單的，要學(xué)會盲擰也是很容易的.根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān).為了驗證這個結(jié)論，某興趣小組隨機抽取了 50 名魔方愛好者進行調(diào)查，得到的情況如下表：表(1)成功完成時間/分0,10)10,20)20,30)30,40人數(shù)/人101055并邀請這 30 名男生參加盲擰三階魔方比賽，其完成情況如下表：表(2)(1)將表(1)補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025 的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)？P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.