線性系統(tǒng)理論第七章

1、 第七章Robust控制器設(shè)計(jì)及靈敏度分析基礎(chǔ) 基于利用狀態(tài)反饋和輸出反饋的控制器設(shè)計(jì)，能有效地解決系統(tǒng)地極點(diǎn)配置問(wèn)題，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)品質(zhì)得到保證。但是，控制器的設(shè)計(jì)是在假定受控對(duì)象模型參數(shù)已經(jīng)確切知道的前提下進(jìn)行的，實(shí)際運(yùn)行中的系統(tǒng)，由于對(duì)象建模誤差以及制造公差、環(huán)境變化、元件老化等原因，使對(duì)象參數(shù)可能處在較大范圍的變化之中，通常這種參數(shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)特性將會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重不利影響。 對(duì)于伺服系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，還存在著干擾作用下，系統(tǒng)是否仍然能夠以給定的精度跟蹤參考指令信號(hào)問(wèn)題?？紤]干擾以及模型參數(shù)不確定性的系統(tǒng)綜合問(wèn)題，一直得到控制理論和工程界的關(guān)注，其研究途徑，一為探求新型控制器設(shè)計(jì)方法，一

2、為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行靈敏度分析。本章將介紹Robust控制器的基本原理、構(gòu)造方法及其特性，并列舉了一個(gè)工程算例，它是狀態(tài)空間綜合的進(jìn)一步成果。孩介紹了線性系統(tǒng)靈敏度基本原理及其在系統(tǒng)穩(wěn)健性分析中的應(yīng)用。在許多新型系統(tǒng)中，靈敏度（Sensitivity）與穩(wěn)健性（Robustness）已作為重要的設(shè)計(jì)技術(shù)指標(biāo)，有必要深刻揭示它們之間的關(guān)系。這里側(cè)重介紹在頻域中的靈敏度分析方法，且主要討論單變量系統(tǒng)的情況。 7.1 Robust控制器設(shè)計(jì) 7.2 線性系統(tǒng)的靈敏度與穩(wěn)健性 7.3 頻域中的靈敏度分析 7.4 時(shí)域中的靈敏度比較 7.1 Robust控制器設(shè)計(jì) Robust（穩(wěn)健，魯棒）控制器問(wèn)題描述 設(shè)同

3、時(shí)有參考信號(hào) 及擾動(dòng)信號(hào) 的線性多變量受控對(duì)象的動(dòng)態(tài)方程為 (7.1) 式中 ，欲設(shè)計(jì)控制器以實(shí)現(xiàn)控制規(guī)律 ，使輸出向量 跟蹤參考輸入向量 , 。由于系統(tǒng)存在慣性，要求對(duì)每一時(shí)刻都滿足 是不現(xiàn)實(shí)的，實(shí)際上只能要求系統(tǒng)具有 無(wú)靜差跟蹤特性。具體指：閉環(huán)系統(tǒng)在穩(wěn)定的前提下 實(shí)現(xiàn)擾動(dòng) 抑制和漸進(jìn)調(diào)節(jié)，也就是在穩(wěn)態(tài)情況下，由于擾動(dòng)產(chǎn)生的輸出 為零，即 ，而輸出量 復(fù)現(xiàn)參考信號(hào) ，即 。故無(wú)靜差特性可表示為 (7.2) 式中 (7.3) 稱 為系統(tǒng)跟蹤誤差。當(dāng)受控對(duì)象參數(shù)發(fā)生變化時(shí)（這里所指的參數(shù)變化不是無(wú)限小的變化），若所設(shè)計(jì)的控制器任能是閉環(huán)系統(tǒng)具有無(wú)靜差特性，則稱這樣的控制器為Robust控制器，

4、當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，試(7.1)中諸系數(shù)矩陣變成 其中 分別與 、 、 具有相同維數(shù)，其元素的絕對(duì)值小于任意給定的正數(shù) 。 由經(jīng)典控制理論已知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用的形式和大小有關(guān)，例如在系統(tǒng)的參考輸入作用點(diǎn)至干擾信號(hào)作用點(diǎn)之間設(shè)置一個(gè)積分控制器，以對(duì)誤差（或偏差）進(jìn)行積分，可使階躍參考輸入及階躍干擾輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，顯見(jiàn)控制器的設(shè)計(jì)與外作用模型密切相關(guān)。下面先將這一過(guò)程用狀態(tài)空間來(lái)描述，進(jìn)而導(dǎo)出一般Robust控制器的設(shè)計(jì)方法。階躍參考輸入及擾動(dòng)的Robust控制器設(shè)計(jì) 為簡(jiǎn)明起見(jiàn)，受控對(duì)象動(dòng)態(tài)方程為 (7.4) 這里 且不失一般性地假定 。定義偏差向量 為 (7.5) 對(duì) 進(jìn)行積分得

5、(7.6) 含 個(gè)積分器，每個(gè)積分器得輸入偏差是偏差向量得一個(gè)分量。對(duì)式（7.6）求導(dǎo)有 (7.7) 將積分器與受控對(duì)象串聯(lián)， 作為附加得狀態(tài)向量，可構(gòu)成增廣的受控對(duì)象動(dòng)態(tài)方程為 (7.8) 為解決引入積分器以后帶來(lái)的穩(wěn)定性問(wèn)題及保障動(dòng)態(tài)品質(zhì)，且實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差跟蹤，可用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)，而為此必須要增廣受控對(duì)象能控。增廣系統(tǒng)的能控性矩陣為 (7.9) 式中 (7.10) 為 矩陣， 為 矩陣。 當(dāng) 時(shí)，增廣系統(tǒng)能控的充要條件為 (7.11) 若原受控對(duì)象能控，其能控性矩陣滿足 (7.12) 由于該能控矩陣增加一些常數(shù)列向量，并不改變秩條件故 必有 (7.13) 且矩陣 的秩為 ，于是有

6、 (7.14) 以上分析可歸結(jié)為下面定理。 定理7.1 式（7.8）所示增廣系統(tǒng)能控的充要條件為 （1）原受控對(duì)象能控； （2） 為實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置，引入下列狀態(tài)反饋以構(gòu)成 閉環(huán)控制 (7.15) 式中 為 矩陣， 為 矩陣。將式（7.15）代入（7.8）可得閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 (7.16) 式中 (7.17) 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖見(jiàn)圖7.1。令閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式 與期望的特征多項(xiàng)式 相等，即 (7.18) 可確定 、 、矩陣諸元。至此設(shè)計(jì)便告完成。 圖7.1 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 下面運(yùn)用定理來(lái)計(jì)算階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 ，藉以 校驗(yàn)該閉環(huán)系統(tǒng)的無(wú)靜差特性。由于 (7.19) 對(duì)其進(jìn)行拉氏變換，有

7、故 (7.20) 式中 ， 于是有 (7.21) 上式推導(dǎo)表明，由于積分器的存在，導(dǎo)致 表達(dá)式中含有 因子 ，它與 及 的因子 構(gòu)成對(duì)消，也就是說(shuō)， 由于積分器的極點(diǎn)對(duì)消了外部作用信號(hào)的極點(diǎn)，才保證獲得了閉環(huán)系統(tǒng)無(wú)靜差的特性，這便啟示我們要基于外作用的模 型來(lái)設(shè)計(jì)Robust控制器，并將該外作用模型稱為內(nèi)模，是任 何魯棒控制其的基本特征。 當(dāng)定理7.1所述條件成立時(shí)，則增廣系統(tǒng)（7.8）能控， 這又意味著定可找到狀態(tài)反饋 和 使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定， 從而能實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差跟蹤，因此，定理7.1所示條件（增廣系 統(tǒng)能控）也就是實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差跟蹤的充要條件。 由圖7.1所示閉 環(huán)結(jié)構(gòu)圖可導(dǎo)出魯棒控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)

8、，見(jiàn)圖7.2。一 個(gè)魯棒控制系統(tǒng)，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)包含補(bǔ)償器的輸出反饋系 統(tǒng)，其中飼服補(bǔ)償器用于實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)抑制及漸進(jìn)調(diào)節(jié)，根據(jù)外作用模型來(lái)構(gòu)造；鎮(zhèn)定補(bǔ)償器用于使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定，它包含狀態(tài)反饋 及 ，當(dāng)狀態(tài)需重構(gòu)時(shí)，還包含狀態(tài)觀測(cè)器，而狀態(tài)觀測(cè)器根據(jù)受控對(duì)象模型來(lái)構(gòu)造。魯棒控制器則是飼服補(bǔ)償器和鎮(zhèn)定補(bǔ)償器的組合。下面來(lái)研究魯棒控制器的一般設(shè)計(jì)方法。 例7.1 設(shè)單變量系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 式中 為常值干擾幅度。試用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)魯棒控制 器，使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)理想跟蹤階躍參考指令 ，并使閉 環(huán)極點(diǎn)配置在 。 解由于為單輸出系統(tǒng)，引入一個(gè)積分器可消除 及 作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，有 增廣受控系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 判斷增廣系統(tǒng)能控

9、性： 故增廣系統(tǒng)能控，可用狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)且可實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差跟蹤。 狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)：令 閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程為 其 特征多項(xiàng)式為 期望特征多項(xiàng)式 為 由 解得 校驗(yàn)穩(wěn)態(tài)誤差：由式（7.16）可導(dǎo)出 為 當(dāng) 及 時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出向量為 對(duì)本例有 故 飼服補(bǔ)償器的一般設(shè)計(jì)方法 圖7.1所示積分器是一 種飼服補(bǔ)償器，其輸入為誤差（偏差）向量，其輸出為誤差 （偏差）向量的積分，它是基于參考和擾動(dòng)信號(hào)均為階躍函 數(shù)來(lái)確定的，兩種信號(hào)的拉氏變換式的分母同為s。對(duì)每個(gè) 誤差通道來(lái)說(shuō)，若取其公分母的倒數(shù)即1/s作為飼服補(bǔ)償器 單個(gè)通道的傳遞函數(shù)，那么便可實(shí)現(xiàn)飼服補(bǔ)償器的極點(diǎn)與外 作用的極點(diǎn)相對(duì)消，從而保證實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差跟蹤。這

10、里將這一 設(shè)計(jì)方法推廣到在一般形式的參考、擾動(dòng)信號(hào)作用下如何來(lái) 確定飼服補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。 實(shí)際工程問(wèn)題中的典型參考，擾動(dòng)信號(hào)通常是一個(gè)時(shí) 間的冪函數(shù)或正、余弦函數(shù)，其拉氏變換式的分母多項(xiàng)式的 根為外作用的極點(diǎn)。設(shè) 、 分別為擾動(dòng)及參考信號(hào)的 拉氏變換式的分母多項(xiàng)式，且只需考慮 和 的最小 公倍數(shù) ，設(shè) 為s的m次多項(xiàng)式，即（7.21）式中最高冪次m及系數(shù) 由外作用的結(jié)構(gòu)形式確定， 如函數(shù)類型為階躍或斜坡或正弦，正弦信號(hào)的頻率數(shù)據(jù)等，在飼服補(bǔ)償器設(shè)計(jì)中應(yīng)預(yù)先確切知道。 式未反映外作用拉氏變換式的分子多項(xiàng)式，即假定在飼服補(bǔ)償器設(shè)計(jì)中， 外作用的幅值大小可為未知或任意，但仍應(yīng)滿足系統(tǒng)工作在線性范

11、圍內(nèi)的基本要求。還應(yīng)指出，可能存在形如 一 類的外作用，其外作用極點(diǎn)處于s左半平面，該類外作用當(dāng) 時(shí)自然趨于零，只要系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，便自然滿足無(wú)靜 差跟蹤的要求，故在飼服補(bǔ)償器設(shè)計(jì)中無(wú)需考慮這類外作用極點(diǎn)， 中只需包含處于虛軸上及右半s平面中的那些外 作用極點(diǎn)所確定的最小公倍式。 有時(shí)，擾動(dòng)和參考信號(hào)用狀態(tài)空間模型來(lái)描述其生成。 如擾動(dòng)信號(hào) 可看作在初始狀態(tài) 未知情況下，由下 列動(dòng)態(tài)方程 （7.22） 來(lái)生成；如參考信號(hào) 可看作在初始狀態(tài)未知情況下 由下列動(dòng)態(tài)方程 （7.23） 來(lái)生成；這時(shí) 便是 和 中處于 虛軸上及右半s平面的那些外作用極點(diǎn)所確定的最小公倍式。 冪次m確定了在飼服補(bǔ)償器的每個(gè)

12、通道中應(yīng)串入的積分 器個(gè)數(shù)。對(duì)于q維誤差向量來(lái)說(shuō)，飼服補(bǔ)償器含有q個(gè)相同 的誤差（偏差）通道，即含有q個(gè)子系統(tǒng)，因而需共計(jì)引入 qm個(gè)積分器才能實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差跟蹤。 飼服補(bǔ)償器的q個(gè)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為（7.24） 式中 均為m維飼服補(bǔ)償器子狀態(tài)向量，諸子系統(tǒng)具 有相同的系統(tǒng)矩陣 、 、 。為使每個(gè)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ，為簡(jiǎn)明起見(jiàn)可取 、 為 的能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)， 即 且有 （7.25） 即飼服補(bǔ)償器的每個(gè)子系統(tǒng)的輸出為該子狀態(tài)向量的第一分 量。對(duì)式和式作拉氏變換，可得諸子系統(tǒng)傳遞函數(shù)均為 （7.26） 顯然，這樣構(gòu)造的飼服補(bǔ)償器，諸子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)極點(diǎn)均能與外作用的極點(diǎn)相對(duì)消，因而保證具有擾動(dòng)抑制及

13、漸近調(diào)節(jié)的特性。 集合諸子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程，將其簡(jiǎn)記為分塊矩陣形式，可 得整個(gè)飼服補(bǔ)償器的動(dòng)態(tài)方程為（7.27） 式中 由于 能控，故 能控，由能控性矩陣的秩判據(jù) 及PBH秩判據(jù)有 式中 為式中 的根。 基于外作用模型確定的飼服補(bǔ)償器結(jié)構(gòu)特性如式所示 是魯棒控制器的基本特征。飼服補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)極點(diǎn)均位于虛軸上和右半s平面，因而是不穩(wěn)定的，會(huì)導(dǎo)致閉環(huán)不穩(wěn)定，為此還應(yīng)引入鎮(zhèn)定補(bǔ)償器來(lái)保證閉環(huán)的漸近穩(wěn)定性，以實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差跟蹤。 例7.2 設(shè)單變量系統(tǒng)作用有階躍參考信號(hào) 及正弦擾動(dòng)信號(hào) 。試確定飼服補(bǔ)償器動(dòng)態(tài)方程和傳遞函數(shù)。 解 的分母多項(xiàng)式 ， 的分母多項(xiàng) 式 ， 、 的最小公倍式， ，故最高冪次 。

14、由于是單輸出系統(tǒng)，飼服補(bǔ)償器只含有單個(gè)子系統(tǒng)，其 動(dòng)態(tài)方程為 式中 為 狀態(tài)向量， 為標(biāo)量誤差（偏差），有 ， 為飼服補(bǔ)償器輸出，且 飼服補(bǔ)償器傳遞函數(shù)為 增廣系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 將伺服控制器與受控對(duì)象串聯(lián)，即將式（7.1）與式聯(lián)立，且考慮式（7.3）可得增廣系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程（7.28） （7.29）據(jù)PBH秩判據(jù)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有負(fù)數(shù)域中的s，有 （7.30）則增廣系統(tǒng)能控。該能控系統(tǒng)可進(jìn)一步分解為下列幾個(gè)條件。 若假定受控對(duì)象（A，B）能控，據(jù)PBH秩判據(jù)，對(duì)所有負(fù) 數(shù)域中的s有 （7.31） 且對(duì)于不是 的特征值即不是的根的所有s，顯然有 （7.32） 故對(duì)于不是 的根的所有s，式成立。

15、若將 分解為 （7.32a） 由于飼服補(bǔ)償器為能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，故對(duì)負(fù)數(shù)域中的任一s 有 （7.33） 故式（7.32a）中左矩陣的秩為 ，而當(dāng)且僅當(dāng) 且 對(duì)于 的每一個(gè)根 均成立 （7.34） 則式（7.32a）中右矩陣的秩為 ，于是根據(jù)確定乘 積矩陣的秩的賽爾維斯特（Sylvester）不等式： 為 矩陣， 為 矩陣 可確定（7.32a）中 的秩滿足 （7.35) 故式得證。增廣系統(tǒng)能控，便可用狀態(tài)反饋使閉環(huán)漸近穩(wěn) 定，并據(jù)動(dòng)態(tài)響應(yīng)要求確定極點(diǎn)配置。 又據(jù)能觀測(cè)性PBH秩判據(jù)，當(dāng)且僅當(dāng) (7.36) 則增廣系統(tǒng)能觀測(cè)，可利用狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)增廣系統(tǒng)狀 態(tài)，保證狀態(tài)反饋的物理實(shí)現(xiàn)。由于構(gòu)造的伺

16、服補(bǔ)償器的狀 態(tài)無(wú)需估計(jì)而能直接獲得，只需估計(jì)受控對(duì)象狀態(tài)，也即要 求受控對(duì)象（A，C）能觀測(cè)，其PBH秩判據(jù)應(yīng)滿足(7.37) 以上分析可歸結(jié)為下面定理。 定理7.2 式（7.1）所示受控對(duì)象，對(duì)于滿足式所示的參考和擾動(dòng)輸入，存在線形定常魯棒控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且具有無(wú)靜差跟蹤特性的充要條件是： （1）受控對(duì)象能控、能觀測(cè)； （2） （3） （4） 一個(gè)魯棒控制系統(tǒng)具有的重要有點(diǎn)是，只要保證閉環(huán)系 統(tǒng)穩(wěn)定，則對(duì)于受控對(duì)象參數(shù)（如A、B、C、D）、鎮(zhèn)定補(bǔ) 償器參數(shù)（觀測(cè)器參數(shù)及狀態(tài)反饋增益矩陣）以及外部信號(hào)幅度的有限擾動(dòng)，均能呈現(xiàn)無(wú)靜差跟蹤特性。但對(duì)于飼服補(bǔ)償器的階次和參數(shù)變動(dòng)則是敏感的，會(huì)

17、破壞擾動(dòng)抑制及漸近跟蹤。由于實(shí)際工程問(wèn)題中對(duì)外作用具有先驗(yàn)知識(shí)，外作用模型的不精確將導(dǎo)致有限的穩(wěn)態(tài)誤差，故上述分析設(shè)計(jì)仍能 取得較好的效果。 引入輔助控制器的魯棒控制系統(tǒng) 輔助控制器是常 規(guī)狀態(tài)觀測(cè)器的退化結(jié)構(gòu)，其中無(wú)需觀測(cè)器中為配置其極點(diǎn)的輸出反饋矩陣的設(shè)計(jì)。輔助控制器按受控對(duì)象狀態(tài)方程且令 來(lái)構(gòu)造，其狀態(tài)方程為 (7.38) 且以估計(jì)狀態(tài) 作為輔助控制器的輸出。由輔助控制器及 設(shè)置的兩個(gè)狀態(tài)反饋增益矩陣 、 ，使控制向量 滿足： （7.39） 可使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定，故鎮(zhèn)定補(bǔ)償器可看作輔助控制器及 、 的組合，而魯棒控制器則由伺服補(bǔ)償器及鎮(zhèn)定補(bǔ)償器組成。 圖7.3 具有輔助控制器的魯棒控制系統(tǒng)

18、具有輔助控制器的魯棒控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖見(jiàn)圖7.3，閉環(huán)系統(tǒng) 動(dòng)態(tài)方程為 其向量矩陣形式為（7.40） 為便于分析確定閉環(huán)特征值，現(xiàn)引入一個(gè)新?tīng)顟B(tài)向量 來(lái)代替 ，這相當(dāng)于引入坐標(biāo)變換，即令 （7.41） 閉環(huán)特征值是不會(huì)改變的。由于 故閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程又可表為(7.42) 由式（7.42）顯見(jiàn)，閉環(huán)特征值由 的特征值及 的特征值組合而成。故用輔助控制器作為鎮(zhèn)定補(bǔ)償器時(shí)，要求受控制對(duì)象 的特征值應(yīng)有負(fù)實(shí)部。當(dāng) 具有不穩(wěn)定特征值時(shí)，或 雖有穩(wěn)定特征值但需改善其動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，可對(duì) 受控對(duì)象先附加輸出反饋以改善對(duì)象性能，為魯棒控制器設(shè)計(jì)提供一個(gè)滿意的受控對(duì)象。對(duì)于已經(jīng)設(shè)計(jì)完成的魯棒控制器來(lái)說(shuō)，通過(guò)給對(duì)象引入

19、輸出反饋，也是進(jìn)一步提高魯棒控制系統(tǒng)性能的有效方法。 附加對(duì)象輸出反饋的魯棒控制系統(tǒng) 為了給受控對(duì) 象附加輸出反饋，需利用受控對(duì)象的可 測(cè)量信息，為此需 構(gòu)造受控對(duì)象的可測(cè)量輸出方程。設(shè) 為可測(cè)量輸出向量, 可測(cè)量輸出方程為 （7.43） 對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題，可不失一般性地假定 包含 ，即 （見(jiàn)例7.3如飛行器這樣的受控對(duì)象，可測(cè)量的輸出有 俯仰角速度和法向過(guò)載，而被調(diào)輸出只為法向過(guò)載）。也就 是存在一個(gè)非奇異換陣 使 及 （7.44） 成立。式中 為 矩陣， 為 維向量。并假 定 能觀測(cè)。按以下方式引入輸出反饋 ，有 （7.45） 則受控對(duì)象狀態(tài)方程變?yōu)?（7.46） 這時(shí)對(duì)象的狀態(tài)陣為 。

20、為魯棒控制器的輸出，即 （7.47） 輔助控制器的狀態(tài)陣這時(shí)應(yīng)根據(jù)引入對(duì)象輸出反饋后的狀態(tài) 陣來(lái)選取，即 （7.48） 伺服補(bǔ)償器方程仍為 （7.49）圖7.4 具有對(duì)象輸出反饋及輔助控制器的魯棒控制系統(tǒng) 具有對(duì)象輸出反饋及輔助控制器的魯棒控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖見(jiàn)圖7.4。閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 其向量矩陣形式為（7.50） 同以上分析有 （7.51） （7.52） 由式（7.52）顯見(jiàn)，閉環(huán)特征值由 的特征值以 及 的特征值組合而成。故當(dāng)受控對(duì)象狀態(tài)陣 不穩(wěn)定時(shí)，或需要改善受控對(duì)象的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，可先選擇輸出反饋陣 以配置 的極點(diǎn)位置，繼而選擇 、 來(lái)配置后一矩 陣的極點(diǎn)位置，最后來(lái)確定伺服補(bǔ)償器和輔助控

21、制器的結(jié)構(gòu)。上述三步是該類魯棒控制系統(tǒng)的一般設(shè)計(jì)步驟。例7.3 魯棒控制器在自動(dòng)駕駛儀中的應(yīng)用舉例。 地對(duì)空戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈以不同高度、速度飛行時(shí)，飛行器的 阻尼特性及傳遞系數(shù)、舵系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)及傳遞系數(shù)等參數(shù)都在寬廣范圍內(nèi)變化?；诮?jīng)典控制理論所設(shè)計(jì)的自動(dòng)駕駛儀，一種成熟的控制結(jié)構(gòu)便是：采用速率陀螺反饋以引入人 工阻尼，增強(qiáng)飛行器的阻尼性，可將阻尼系數(shù)從百分之幾提高一個(gè)量級(jí)；采用線加速度傳感器（或稱法向過(guò)載傳感器）反饋來(lái)抑制飛行器傳遞系數(shù)的變化，但這種抑制作用仍然有限，還引入了變?cè)鲆鏅C(jī)構(gòu)來(lái)增強(qiáng)對(duì)不同飛行高度、速度的適應(yīng)性，但傳遞系數(shù)也只能穩(wěn)定在的變化范圍內(nèi)。為進(jìn)一步減弱飛行參數(shù)變化對(duì)控制性能的影響，

22、近代學(xué)者和控制工程師對(duì)自適應(yīng)控制理論及應(yīng)用進(jìn)行了廣泛的研究，在此我們來(lái)介紹另一種先進(jìn)的控制方案，即為該類導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)一個(gè)魯棒控制器，構(gòu)成一種新型的魯棒控制系統(tǒng)。一 、受控對(duì)象及外部輸入的數(shù)學(xué)模型 設(shè)受控對(duì)象包括舵系統(tǒng)及飛行器，且只研究飛行器縱 向通道的運(yùn)動(dòng)情況，它是一個(gè)單輸入單輸出對(duì)象，已知其傳遞幻術(shù)結(jié)構(gòu)圖如圖7.5所示。 圖7.5 受控對(duì)象結(jié)構(gòu)圖 圖中 控制量，輸給舵系統(tǒng)； 舵偏角； 舵系統(tǒng)傳遞系數(shù)，由于舵系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)比飛行器 時(shí)間常數(shù)為小，故忽略之； 飛行器俯仰角； 飛行器軌跡傾斜角； 飛行器法向過(guò)載，是受控對(duì)象的輸出量； 、 、 、 分別為飛行器的傳遞系數(shù)、時(shí)間常數(shù)、 阻尼系數(shù)、

23、微分時(shí)間常數(shù)； 飛行器速度； 重力加速度。 由 至 的傳遞關(guān)系可得微分方程 由 至 的傳遞關(guān)系有 考慮 并代入式經(jīng)整理有 受控對(duì)象輸出方程為 記狀態(tài)向量 及輸出向量 ，可 得向量矩陣形式的受控對(duì)象動(dòng)態(tài)方程 式中 由于受控對(duì)象可測(cè)量的輸出包括俯仰角速率 及法向過(guò)載 ，記可測(cè)量輸出向量 為 故 設(shè)參考輸入 為單位階躍函數(shù)，干擾 為正弦函數(shù) ， 為圓頻率， 的引入只疊加了一項(xiàng)俯仰加速 度，故有 且已推知外部輸入模型 為 其最高冪次 ； 的根為 二、 存在魯棒控制器的充要條件的驗(yàn)證（1）計(jì)算 ： 故 能控制。（2）計(jì)算 ： 故 能觀測(cè)。（3）按外部輸入模型所確定的 ， 計(jì)算，有 （4）由于 ， ，顯見(jiàn)

24、 包含 ，這時(shí)總 存在非奇異變換 ，使 成立。顯然最簡(jiǎn)單的有 。 三、給受控對(duì)象附加輸出反饋 令 則受控對(duì)象的狀態(tài)方程變?yōu)?式中輸出反饋矩陣 ， 其特征方程為 根據(jù)整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置需求，從中選擇兩個(gè)希望閉環(huán)極點(diǎn)來(lái)確定輸出反饋矩陣的參數(shù)和。這里假定保留原來(lái)設(shè)置的速率陀螺反饋和過(guò)載傳感器反饋，且采用原有的設(shè)計(jì)參數(shù)。受控對(duì)象的狀態(tài)變量圖見(jiàn)圖7.6，實(shí)線部分示出未加輸出反饋的情形，虛線部分為附加的輸出反饋部分。圖7.6 受控對(duì)象狀態(tài)變量圖 四、伺服補(bǔ)償器設(shè)計(jì) 由于受控對(duì)象是單輸入單輸出系統(tǒng)，故伺服補(bǔ)償器只含有一個(gè)子系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為 式中 為伺服補(bǔ)償器狀態(tài)陣， 、 分別為伺服補(bǔ)償器控制、 輸出向

25、量， 和 是外部輸入模型的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。由于 式的最高冪次 ，故 為 向量， ， 為標(biāo)量，有 伺服補(bǔ)償器的狀態(tài)變量圖見(jiàn)圖7.7。伺服補(bǔ)償器的輸出為 圖7.7 伺服補(bǔ)償器狀態(tài)變量五、輔助控制器設(shè)計(jì)根據(jù)附加輸出反饋的受控對(duì)象狀態(tài)方程式（令 ）來(lái)構(gòu)造輔助控制器狀態(tài)方程 式中 為輔助控制器狀態(tài)向量， 由狀態(tài)反饋控 制規(guī)律確定。輔助控制器的輸出即 ，其狀態(tài)變量圖與圖 7.6相同，唯將圖中變量 、 、 分別更改為 、 、 。六.狀態(tài)反饋控制規(guī)律 式中 七、按閉環(huán)極點(diǎn)配置需求確定 、 已知閉環(huán)極點(diǎn)包括 的極點(diǎn)及矩陣 的特征值。 式中 、 已經(jīng)確定，狀態(tài)反饋增益矩陣參數(shù) 、 、 及 、 、 可由其余的希望閉

26、環(huán)極點(diǎn)位置需求來(lái)確定。 仿真結(jié)果表明，按經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)的速率陀螺及過(guò)載 傳感器式自動(dòng)駕駛儀回路，在沿同一條彈道的飛行過(guò)程中的不同時(shí)刻，其調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量是變化較大的，而該魯棒控制方案，則對(duì)不同時(shí)刻能獲得幾乎相同的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，對(duì)階躍指令及正弦干擾等外部輸入作用能實(shí)現(xiàn)漸近調(diào)節(jié)。 7.2 線性系統(tǒng)的靈敏度與穩(wěn)健性問(wèn)題的提出在控制工程中，總存在著實(shí)際系統(tǒng)相對(duì)于作為設(shè)計(jì)依據(jù)的額定模型的結(jié)構(gòu)變異或參數(shù)攝動(dòng)。這是由于有制造容差，任何理論構(gòu)思或設(shè)計(jì)計(jì)算結(jié)果不可能絕對(duì)準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)；再者，隨著時(shí)間的推移。任何系統(tǒng)都會(huì)由于零、部件發(fā)生老化、磨損等原因而造成性能的改變；此外，系統(tǒng)的運(yùn)行條件和環(huán)境也常發(fā)生變化；更何況為了

27、簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)計(jì)算或便于 數(shù)學(xué)處理，常有必要把一些復(fù)雜的情況或模型進(jìn)行簡(jiǎn)化或 理想化。至于用系統(tǒng)辯識(shí)法辯識(shí)所得的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，也僅能準(zhǔn)確到一定的程度?；谝陨峡紤]，可把實(shí)際系統(tǒng)如圖 7.8那樣，描繪成在具有額定值的數(shù)學(xué)模型上同時(shí)作用著指令信號(hào)、外干擾信號(hào)、以及等效于上述結(jié)構(gòu)變異或參數(shù)攝動(dòng)的某種外作用信號(hào)。也正因此，上述結(jié)構(gòu)變異及參數(shù)攝動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響問(wèn)題得到控制工程界的充分重視，于是系統(tǒng)靈敏度理論及與這有密切關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)穩(wěn)健性理論成了工程控制論中的一個(gè)重要分支。本間主要對(duì)系統(tǒng)靈敏度問(wèn)題作簡(jiǎn)要的介紹。 系統(tǒng)參數(shù)的分類 為了便于研究，系統(tǒng)靈敏度理論中把 系統(tǒng)由于前述原因造成的結(jié)構(gòu)變異與參數(shù)攝動(dòng)都?xì)w結(jié)為參

28、數(shù)攝動(dòng)來(lái)研究。1953年，K.Smiller和F.J.Murray對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的參數(shù)提出了以下分類法。 參數(shù) 會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)微分方程系數(shù)發(fā)生變化的一類參 數(shù)稱為參數(shù)。 參數(shù) 與系統(tǒng)微分方程的初始條件有關(guān)的一類參數(shù)， 稱為參數(shù)。 參數(shù) 凡額定值為零，攝動(dòng)會(huì)影響微分方程階次變化 的一類參數(shù) 稱為參數(shù)。如樞控直流電機(jī)中的電感，不計(jì) 其影響時(shí)，電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程，計(jì)其影響時(shí)剛為 二階微分方程，幫電感為參數(shù)。 圖7.8 考慮結(jié)構(gòu)變異與參數(shù)攝動(dòng)的系統(tǒng)輸入輸出情況 例 7.4 高有系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為 式中 ，i=0，1，2為微分方程的系數(shù)，u(t)是已知的輸入 函數(shù)。試按上述對(duì)、參數(shù)的定義，判斷其中各參數(shù)的類

29、別。 解 把題給微分方程中參數(shù)值看成為各參數(shù)值的額定值。 假設(shè)各參數(shù)有所攝動(dòng)，相應(yīng)的微分方程成為 于是，按前述各種參數(shù)的定義 ， ， ， 皆為參 數(shù)； ， 為參數(shù)； =0為參數(shù)。 系統(tǒng)參數(shù)靈敏度 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能受參數(shù)攝動(dòng)影響的屬性稱為系統(tǒng)的參數(shù)靈敏度，簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)靈敏度。有人把系承受外干擾作用的能力也看作是一種系統(tǒng)的靈敏度的屬性。一般文獻(xiàn)中的系統(tǒng)靈敏度都是指系統(tǒng)摻數(shù)靈敏度。這里所指的動(dòng)態(tài)性能可能指系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)、狀態(tài)向量、傳遞函數(shù)或其它表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo)、變量等。 常采用以下三種靈敏度函數(shù)來(lái)分析與計(jì)算參數(shù)靈敏度： 絕對(duì)靈敏度函數(shù)、相對(duì)靈敏度函數(shù)以及半相對(duì)靈敏度函數(shù)。 下面以系統(tǒng)變量及參數(shù)皆為

30、標(biāo)量的情況為例說(shuō)明之。 如果系統(tǒng)變量y與參數(shù) 的關(guān)系為 ，剛絕對(duì)靈 敏度函數(shù)定義為 (7.53) 相對(duì)靈敏度函數(shù)定義為 (7.54) 兩種半相對(duì)靈敏度函數(shù)分別定義為（7.55) (7.56) 下標(biāo) 皆表示在參數(shù)額定值處取值。 70年代末，術(shù)語(yǔ)“系統(tǒng)穩(wěn)健性”出現(xiàn)了，它的做含義與系統(tǒng)靈敏度相關(guān)聯(lián)，系統(tǒng)靈敏度低表示系統(tǒng)穩(wěn)健性高。不真實(shí)性穩(wěn)健性比靈敏度的含意還要廣泛，通常穩(wěn)健性指系統(tǒng)特性對(duì)搞各種攝動(dòng)因素的影響的能力，例如包括對(duì)搞模型結(jié)構(gòu)不確定性的能力。目前閉環(huán)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)計(jì)算的傳統(tǒng)作法是先孤立地研究受控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，然后依據(jù)設(shè)計(jì)出來(lái)的控制器往往與真實(shí)受控對(duì)象不能很好的匹配。這就是系統(tǒng)建模誤差造成的系

31、統(tǒng)穩(wěn)健性問(wèn)題。下面列舉幾個(gè)有關(guān)系統(tǒng)靈敏度的例子。 例7.5 反饋系統(tǒng)的靈敏度分析 設(shè)有圖7.9所示的炮塔隨動(dòng)系統(tǒng)，它的指令信號(hào)是靠搖動(dòng)手柄來(lái)給出的。電位器 與 構(gòu)成敏感元件，它的輸出信號(hào)加到差動(dòng)放大器去綜合比較，然后通過(guò)放大器與校正裝置去推動(dòng)執(zhí)行電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)。執(zhí)行電動(dòng)機(jī)剛通過(guò)齒輪 和 組成的減速裝置帶動(dòng)炮塔運(yùn)行。系統(tǒng)中反饋裝置由齒輪 及 構(gòu)成。圖中 和 表示齒輪間隙。圖7.9 炮塔隨機(jī)系統(tǒng)示意圖 圖7.10圖7.9所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。圖7.10是圖7.9所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。圖中 表示敏 感元件 的傳遞函數(shù)； 表示反饋通路的傳遞函數(shù)； 是系統(tǒng)前向通路的傳遞函數(shù)。由圖可見(jiàn)，該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可求得為 現(xiàn)在

32、來(lái)研究 及 分別變化對(duì)系統(tǒng)傳遞函 數(shù)W(s)的影響，即求 及 。 先求 。由前述定義， 其中，下標(biāo) 表示求得的導(dǎo)數(shù) 應(yīng)在處取值。 顯然， 故 =1意味著參數(shù)一旦有變，就會(huì)在系統(tǒng)傳遞函數(shù)W（s） 中毫無(wú)保留地全部反映出來(lái)。正因此，要求 這個(gè)參數(shù)極 其穩(wěn)定。由圖7.9可見(jiàn)，這相應(yīng)于要求電位器 及其電源電 壓 不受環(huán)境溫度，濕度等各種外界因素的影響且保持十 分穩(wěn)定。再看 .由于 ，故 通常取 ，故 這個(gè)結(jié)果意為一旦 有變，也會(huì)在W(s)中毫無(wú)保留 地全部反映出來(lái)。因此，要求圖7.9中的電位器 及它的電 源電壓 穩(wěn)定，齒輪 及 做得比較準(zhǔn)確與耐磨。最后 看 。讀者不難求得 這意味著G一旦有變，它對(duì)系統(tǒng)

33、傳遞函數(shù)W（s）的影 響 是不大的。這是因?yàn)橐话闱闆r下，系統(tǒng)總是按 進(jìn)行設(shè)計(jì)的緣故。在圖7.9所示的系統(tǒng)中，上述結(jié)論意為： 對(duì)各放大器、校正裝置及馬達(dá)的性能穩(wěn)定性不必要求過(guò)高，齒輪 也無(wú)須做得特別準(zhǔn)確。 例7.6 參數(shù)的靈敏度問(wèn)題 設(shè)有伺服直流電動(dòng)機(jī)的微分方 程 若u=0時(shí)，參數(shù) 的額定值 =1，初始條件為 ，試求狀態(tài)向量的絕對(duì)靈敏度向量，并求 有10%變異后狀態(tài)向量的誘發(fā)變化 。 由題給微分方程轉(zhuǎn)相變型的狀態(tài)方程進(jìn)行計(jì)算比較方便。 取狀態(tài)變量為 ，故動(dòng)態(tài)方程為 考慮u=0，狀態(tài)方程的解為 取 作為參數(shù)，即取 ，狀態(tài)向量的靈敏度向量 定義 為 式中，括號(hào)外的下標(biāo)“0”表示求得的結(jié)果在相應(yīng)的額定

34、值處取值。計(jì)算可得 參數(shù)變化的誘發(fā)狀態(tài)誤差由下式求得 式中， 為了把參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響看得更清楚，可以畫(huà)出 相應(yīng)于額定參數(shù)的額定相跡和參數(shù)變化后的實(shí)際相跡。為 此，先求相跡方程。 由前述狀態(tài)方程，考慮u(t)=0,有 故有關(guān)系式 額定參數(shù)時(shí)的相跡為 ， 即 積分之，即 。 故相跡方程式為 實(shí)際參數(shù)時(shí)的相跡可用類似的方法求得。由 可求得相跡方程為 由于 上式成為 額定參數(shù)時(shí)的相跡與實(shí)際相跡如圖7.11所示。 圖7.11 例題7.6的相跡圖7.3頻域中的靈敏度分析 問(wèn)題的提出 因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)有時(shí)域與頻域分析法，故相應(yīng)地產(chǎn)生了頻域中的靈敏度問(wèn)題。在頻域靈敏度分析中，用得最多的是伯德靈敏度函數(shù)。我們以

35、圖7.12所示的單變量系統(tǒng)為例，說(shuō)明伯德靈敏度函數(shù)的做做含意。由該圖可見(jiàn)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 不僅取決于復(fù)變量s，還同時(shí)取決于參數(shù)向量 。 伯德靈敏度函數(shù) 設(shè) 及 分別是系統(tǒng)的實(shí)際及額定值的傳遞函數(shù)，其中， 及 分別為實(shí)際的及額定的參數(shù)向量，則伯德靈敏度函數(shù) 定義為 （7.57） 注意，由上述定義可見(jiàn)，伯德靈敏度函數(shù)實(shí)為相對(duì)靈敏度函數(shù)，理該寫(xiě)為 ，但實(shí)際上總寫(xiě)成 圖7.12 考慮參數(shù)向量的系統(tǒng)傳遞函數(shù) 圖7.13 閉環(huán)控制系統(tǒng) 例7.7 設(shè)有圖7.13所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)，圖中，被控對(duì)象 為 ，參數(shù) ，試求伯德靈敏度函數(shù) 。 由定義， 可極方便地求得，即 開(kāi)環(huán)與閉環(huán)的靈敏度比較 從靈敏度分析看，閉環(huán)

36、控制是否一定優(yōu)于開(kāi)環(huán)控制？ 下面以圖7.14所示的單變量反饋系統(tǒng)為例進(jìn)行研究。由圖 可見(jiàn)，該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 如果把被控對(duì)象P（s,）看成是一個(gè)變?cè)?，則不難想 象可把伯德靈敏度函數(shù)推廣于變?cè)闆r，于是圖7.14 單變量單位反饋系統(tǒng)用L表示開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，即令L=PR，上式成為 相應(yīng)的閉環(huán)頻率特性為 由于 = 是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率性， 故畫(huà)出它的開(kāi)環(huán)幅相特性（即所謂的乃奎斯特圖），并求得 不同頻率時(shí)的系統(tǒng)回差向量 。由上述 的表達(dá)式可見(jiàn)，如果在某些頻率上呈現(xiàn) ，則在這些頻率上，閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)參數(shù) 變化的穩(wěn)健性比開(kāi)環(huán)系統(tǒng)要好；反之，如果在另一些頻率上 有 則在這些頻率上，閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)參 數(shù)變化的穩(wěn)健性就比

37、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)要差。圖7.15畫(huà)出了一個(gè)開(kāi)環(huán) 傳遞函數(shù)的分母階次比分子階次高出3階的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相特 性圖，其中還畫(huà)出了回差向量的求法。 由圖可見(jiàn)，在頻率為 至 的低頻段中，閉環(huán) 系統(tǒng)比開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)健；而在 至 的高頻段中，情 況正好相反。 著名美國(guó)科學(xué)家伯德（Bode,H.W）對(duì)上述現(xiàn)象進(jìn)行了 深入的研究，總結(jié)出了一個(gè)相應(yīng)的定理，該定理告訴我們， 對(duì)任何一個(gè)具有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)至少比零點(diǎn)多兩個(gè)以上的穩(wěn)定的控 制系統(tǒng)而言，在 至 的頻段中，靈敏度函數(shù)幅值 的對(duì)數(shù)平均值為零，也即在0分貝線上下的 部分的面積相等，至于 的頻率 則可通過(guò)選擇控制 器的傳遞函數(shù)R（s）來(lái)確定。 選取 的原則為：保證在 輸入信號(hào)的主要頻

38、段內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)在穩(wěn)健性方面優(yōu)于相應(yīng)的 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，也即 。 在實(shí)際的輸出反饋系統(tǒng)中，伯德定理提到的關(guān)于開(kāi)環(huán)傳 遞函數(shù)的極點(diǎn)比零點(diǎn)多兩個(gè)以上的條件幾乎總是滿足的，因 此，伯德定理指出的現(xiàn)象幾乎到處可見(jiàn)。圖7.15 一個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性及回差向量求法 狀態(tài)反饋與輸出反饋系統(tǒng)的穩(wěn)健性比較 從所周知，狀 態(tài)反饋系統(tǒng)的性能在很多方面都優(yōu)于輸出反饋系統(tǒng)，在穩(wěn)健 性方面是否也是這樣？我們用一個(gè)例子來(lái)講座這個(gè)問(wèn)題。 假定被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)圖如圖7.16所示。 為了實(shí)現(xiàn)對(duì)它 的控制，我們采用了三個(gè)不同的方案。第一個(gè)方案是圖7.17 的輸出反饋控制；第二個(gè)用圖7.18所示的狀態(tài)反饋控制；第 三個(gè)取圖7.19那樣的狀態(tài)

39、反饋等效方案。 圖7.16 被控對(duì)象圖7.17 輸出反饋控制方案圖7.18 狀態(tài)反饋控制方案輸出反饋方案的閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖7.19 狀態(tài)反饋等效控制方案 狀態(tài)反饋方案的閉環(huán)傳遞函數(shù)是 狀態(tài)反饋等效方案的閉環(huán)傳遞函數(shù)是 輸出反饋控制方案與狀態(tài)反饋控制方案在參數(shù) 時(shí)的根軌跡圖分別示于圖7.20及7.21。為了比較二個(gè)方案的 穩(wěn)健性，取阻尼系數(shù) 的值皆為0.7076。由圖7.20可見(jiàn)， 此時(shí)輸出反饋系統(tǒng)的根軌跡增益為 ，對(duì)應(yīng)的放大系 數(shù) 。對(duì)狀態(tài)反饋系統(tǒng)而言，由圖7.21可見(jiàn)，對(duì)應(yīng)有A=10。，圖7.20 輸出反饋方案在取 ， 時(shí)的根跡圖圖7.21狀態(tài)反饋方案在取 ， 時(shí)的根跡圖 在輸出反饋與狀態(tài)反

40、饋系統(tǒng)的額定值分別取為 ，這兩種系統(tǒng)的靈敏度幅值隨頻率變化的曲線 ， 及 如圖7.22所示。注意，該圖中有二條狀態(tài)反饋系統(tǒng)的 曲線，其 中，一條相應(yīng)于 不可達(dá)的情況?，F(xiàn)在我們來(lái)看參數(shù) 分別變化100%時(shí)，在額定頻帶上限頻率 處閉環(huán)頻率特 性幅值的變化情況。注意，在額定參數(shù)時(shí)，輸出反饋系統(tǒng) 的 ，狀態(tài)反饋系統(tǒng)的 。為了一目了然， 有關(guān)的計(jì)算結(jié)果分別列于表7.1及表7.2中。表中% ， 為額定參數(shù)時(shí)的 值，計(jì)算中取 。圖7.22 狀態(tài)反饋與輸出反饋的各種靈敏度曲線 表7.1 輸出反饋系統(tǒng)的靈敏度分析（ ）參數(shù)情況開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)1.額定參數(shù)A=0.210.707-1.091.281.292. 變化10

41、0%0.3380.321.2352、45574、0- 由上述兩表的計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)以下幾點(diǎn)：第1點(diǎn)是狀態(tài)反 饋系統(tǒng)比輸出反饋系統(tǒng) 更穩(wěn)健，這由輸出反饋系統(tǒng)在頻帶 的上限頻率 的靈敏度函數(shù) 及 遠(yuǎn)大于狀態(tài)反饋系統(tǒng)在相應(yīng)的 處的靈敏度函 及 便可十分明顯地看出。第 2點(diǎn)是狀態(tài)反饋系統(tǒng)對(duì)參數(shù) 變化的靈敏度函數(shù)值 十分特別。當(dāng)狀態(tài)反饋由狀態(tài)變量 處經(jīng)由反饋系數(shù) 直 接取出時(shí)（即所謂的 是可達(dá)的），狀態(tài)反饋系統(tǒng) 的會(huì)遠(yuǎn)大于輸出反饋系統(tǒng)的相應(yīng)值；反之，當(dāng)狀態(tài)反饋經(jīng)結(jié) 構(gòu)圖變換，用圖7.19所示的方案，把狀態(tài)反饋經(jīng)由 引出 時(shí)，情況就截然不同了，此時(shí)狀態(tài)反饋的 遠(yuǎn)小于 輸出反饋的值廁保持了狀態(tài)反饋的優(yōu)異穩(wěn)健特性

42、。這種把原 為可達(dá)的狀態(tài)變量 改為不可達(dá)的做法對(duì)改進(jìn)狀態(tài)反饋系 統(tǒng)的穩(wěn)健性是十分有利的。把以上分析的結(jié)果推而廣之，可 知，如果狀態(tài)變量的取向是由右向左，即 ，則在狀 態(tài)反饋系統(tǒng)中，凡處在 至 之間的 任何參數(shù)變化都對(duì)系 統(tǒng)特性影響甚微；反之，系統(tǒng)對(duì)狀態(tài)變量 至 之間的參 數(shù)變化卻極敏感。為減小系統(tǒng)對(duì)這些參數(shù)變化的敏感性，應(yīng) 把狀態(tài)反饋信號(hào)引出點(diǎn) 向右移，這樣才能保 證狀態(tài)反饋系統(tǒng)遠(yuǎn)比相應(yīng)的輸出反饋系統(tǒng)更為穩(wěn)健。 表7.2 狀態(tài)反饋系統(tǒng)及其等效系統(tǒng)的靈敏度分析（ ） 參數(shù)情況等效的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)0.7070.683-3.390.0360.051-0.1600.6821.71777.43.541.41- 比較靈敏度函數(shù) 在頻域靈敏度分析中，除了應(yīng)用伯德 靈敏度函數(shù)外，還常使用所謂的比較靈敏度函數(shù)，它是伯德 靈敏度函數(shù)的推廣。這種靈敏度函數(shù)特別適宜于進(jìn)行各種系 統(tǒng)的靈敏度比較。 設(shè)有圖7.23的兩個(gè)系統(tǒng)，一個(gè)是開(kāi)環(huán)的，另一個(gè)閉環(huán)的。 圖中， 是受參數(shù)變化影響的被控對(duì)象；F（s）R(s)及 H(s