坐標(biāo)系與參數(shù)方程課件

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程-2-3-2.極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系:如圖所示,在平面內(nèi)取一個(gè)O,叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)O引一條Ox,叫做極軸;再選定一個(gè)單位,一個(gè)單位(通常取)及其正方向(通常取方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo):設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的叫做點(diǎn)M的極徑,記為;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角,記為.有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記為.定點(diǎn) 射線 長度 角度 弧度 逆時(shí)針 距離|OM| xOM (,) M(,) -4-3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(1)設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y),它的極坐標(biāo)為(,),(2)把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),通常有不同的表示法(極角相差

2、2的整數(shù)倍).一般取0,0,2).-5-4.直線的極坐標(biāo)方程(1)若直線過點(diǎn)M(0,0),且與極軸所成的角為,則直線的方程為:sin(-)=.(2)幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程直線過極點(diǎn):=0和;直線過點(diǎn)M(a,0),且垂直于極軸:;0sin(0-) =+0 cos =a sin =b -6-5.圓的極坐標(biāo)方程(1)若圓心為M(0,0),半徑為r,則圓的方程為.(2)幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程圓心位于極點(diǎn),半徑為r:=;圓心位于M(a,0),半徑為a:=;r 2acos 2asin -7-參數(shù)方程 參數(shù) y0+tsin -8-a+rcos b+rsin acos bsin 2pt2 2pt

3、 -9-考向一直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程;(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為 (R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N,求C2MN的面積.思考如何把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程? -10-11-考向二極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程例2在極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為 以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線C與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A,B,P是曲線C上一點(diǎn),求ABP面積的

4、最大值.思考如何把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程?-12-13-14-解題心得1.直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,只需把公式x=cos 及y=sin 直接代入化簡即可.2.極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程要通過變形,構(gòu)造形如cos ,sin ,2的形式,進(jìn)行整體代換.其中方程的兩邊同乘(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1:(x-3)2+y2=9,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C2的圓心的極坐標(biāo)為 ,半徑為1.求圓C1的極坐標(biāo)方程;設(shè)圓C1與圓C2交于A,B兩點(diǎn),求|AB|.-15-(2)在極坐標(biāo)系下,已知圓O:=cos +sin

5、和直線l: 以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程;當(dāng)(0,)時(shí),求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo).-16-17-18-(1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程;(2)設(shè)A(1,0),若橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其到直線l的距離相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo).思考參數(shù)方程與普通方程的互化的基本方法是什么?-19-20-解題心得1.參數(shù)方程化為普通方程的基本方法就是消參法,常用的消參技巧有代入消元、加減消元、平方后再加減消元等.對(duì)于與角有關(guān)的參數(shù)方程,經(jīng)常用到公式sin2+cos2=1;在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時(shí),還要注意其中的x,y的取值范

6、圍,即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性.2.直線、圓、圓錐曲線的普通方程有其較為固定的參數(shù)方程,只需套用公式即可.-21-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2018江西六校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (其中t為參數(shù)).在以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為=4sin .(1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)M是曲線C上的一動(dòng)點(diǎn),OM的中點(diǎn)為P,求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.-22-23-(1)寫出曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線OM:=0(0)平分曲線C2,且與曲線C1交于點(diǎn)A,曲線C1上的點(diǎn)B滿足AOB

7、= ,求|AB|.思考在極坐標(biāo)系中,如何求兩點(diǎn)之間的距離?-24-25-解題心得1.在極坐標(biāo)系中求兩點(diǎn)間的距離,可以結(jié)合極坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置、圖形中點(diǎn)的對(duì)稱等均可求得兩點(diǎn)間的距離;也可以利用點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,將點(diǎn)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo),然后利用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式求A,B兩點(diǎn)間的距離.2.在極坐標(biāo)系中,經(jīng)過極點(diǎn)的直線上兩點(diǎn)A(1,),B(2,)的距離|AB|=|2-1|.-26-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos =4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|OP|=16,求

8、點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;-27-解:(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(,)(0),M的極坐標(biāo)為(1,)(10). 由|OM|OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程=4cos (0).因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B,)(B0).由題設(shè)知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面積-28-例5(2018全國,理22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O的參數(shù)方程于A,B兩點(diǎn).(1)求的取值范圍;(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.思考如何利用直線的參數(shù)方程求直線與曲線相交的弦長?-29-解:(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1. -30-解題心得求直線與圓錐曲線相交

9、所得的弦長,可以利用直線參數(shù)方程中t的幾何意義,即弦長=|t1-t2|.-31-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知直線l在直角坐標(biāo)系xOy中的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),為傾斜角),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,曲線C的極坐標(biāo)方程為=4cos .(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C與直線l相交于不同的兩點(diǎn)M,N,設(shè)P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范圍.-32-33-34-(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:(cos +sin )- =0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.思考求解參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程綜合問題的一般思路是什么?-35-解:(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2); -36-解題心得求解極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問題的一般思路:分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解.轉(zhuǎn)化后可使問題變得更加直觀,它體現(xiàn)了化歸思想的具體運(yùn)用.當(dāng)然,還要結(jié)合題目本身特點(diǎn),確定選擇何種方程.-37-別與圓C1和圓C2交于不同于原點(diǎn)的點(diǎn)A和點(diǎn)B.(1)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極