常微分方程21變量分離方程與變量變換課件

1、第二章 一階微分方程的初等解法 9/24/2022常微分方程第二章 一階微分方程的初等解法 9/24/2022常微分方程2.1 變量分離方程與變量變換先看例子：9/24/2022常微分方程2.1 變量分離方程與變量變換先看例子：9/24/20定義1形如方程,稱(chēng)為變量分離方程.9/24/2022常微分方程定義1形如方程,稱(chēng)為變量分離方程.9/24/2022常微分方一、變量分離方程的求解這樣變量就“分離”開(kāi)了.9/24/2022常微分方程一、變量分離方程的求解這樣變量就“分離”開(kāi)了.9/24/20例：分離變量:兩邊積分:9/24/2022常微分方程例：分離變量:兩邊積分:9/24/2022常微分方

2、程注:例1求微分方程的所有解.解:積分得:9/24/2022常微分方程注:例1求微分方程的所有解.解:積分得:9/24/2022常故方程的所有解為:9/24/2022常微分方程故方程的所有解為:9/24/2022常微分方程解:分離變量后得兩邊積分得:整理后得通解為:例2求微分方程的通解.9/24/2022常微分方程解:分離變量后得兩邊積分得:整理后得通解為:例2求微分方程的例3求微分方程解:將變量分離后得兩邊積分得:由對(duì)數(shù)的定義有9/24/2022常微分方程例3求微分方程解:將變量分離后得兩邊積分得:由對(duì)數(shù)的定義有9即故方程的通解為9/24/2022常微分方程即故方程的通解為9/24/2022

3、常微分方程例4解:兩邊積分得:因而通解為:再求初值問(wèn)題的通解,所以所求的特解為:9/24/2022常微分方程例4解:兩邊積分得:因而通解為:再求初值問(wèn)題的通解,所以所求9/24/2022常微分方程9/24/2022常微分方程二、可化為變量分離方程類(lèi)型（I）齊次方程 9/24/2022常微分方程二、可化為變量分離方程類(lèi)型（I）齊次方程 9/24/2022(I) 形如方程稱(chēng)為齊次方程,求解方法:9/24/2022常微分方程(I) 形如方程稱(chēng)為齊次方程,求解方法:9/24/202例4求解方程解:方程變形為這是齊次方程,即將變量分離后得9/24/2022常微分方程例4求解方程解:方程變形為這是齊次方程

4、,即將變量分離后得9/兩邊積分得:即代入原來(lái)變量,得原方程的通解為9/24/2022常微分方程兩邊積分得:即代入原來(lái)變量,得原方程的通解為9/24/202例6求下面初值問(wèn)題的解解:方程變形為這是齊次方程,將變量分離后得9/24/2022常微分方程例6求下面初值問(wèn)題的解解:方程變形為這是齊次方程,將變量分離兩邊積分得:整理后得變量還原得故初值問(wèn)題的解為9/24/2022常微分方程兩邊積分得:整理后得變量還原得故初值問(wèn)題的解為9/24/20(II) 形如的方程可經(jīng)過(guò)變量變換化為變量分離方程.分三種情況討論為齊次方程,由(I)可化為變量分離方程.9/24/2022常微分方程(II) 形如的方程可經(jīng)過(guò)

5、變量變換化為變量分離方程.分三這就是變量分離方程9/24/2022常微分方程這就是變量分離方程9/24/2022常微分方程作變量代換(坐標(biāo)變換)則方程化為為 (1)的情形,可化為變量分離方程求解.9/24/2022常微分方程作變量代換(坐標(biāo)變換)則方程化為為 (1)的情形,可化為變量解的步驟:9/24/2022常微分方程解的步驟:9/24/2022常微分方程例7求微分方程的通解.解:解方程組9/24/2022常微分方程例7求微分方程的通解.解:解方程組9/24/2022常微分方將變量分離后得兩邊積分得:變量還原并整理后得原方程的通解為9/24/2022常微分方程將變量分離后得兩邊積分得:變量還

6、原并整理后得原方程的通解為9注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類(lèi)型.此外,諸如9/24/2022常微分方程注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類(lèi)型.此外,諸如9/以及例8求微分方程的通解.9/24/2022常微分方程以及例8求微分方程的通解.9/24/2022常微分方程解:代入方程并整理得即分離變量后得兩邊積分得變量還原得通解為9/24/2022常微分方程解:代入方程并整理得即分離變量后得兩邊積分得變量還原得通解為三、應(yīng)用舉例例8、雪球的融化 設(shè)雪球在融化時(shí)體積的變化率與表面積成比例，且在融化過(guò)程中它始終為球體，該雪球在開(kāi)始時(shí)的半徑為6cm，經(jīng)過(guò)2小時(shí)后，其半徑縮小為3cm，求雪球的體積隨時(shí)間變化的關(guān)系。解:根據(jù)球體的體積和表面積的關(guān)系得9/24/2022常微分方程三、應(yīng)用舉例例8、雪球的融化 解:根據(jù)球體的體積和表面積的關(guān)分離變量并積分得方程的通解為由初始條件得代入得雪球的體積隨時(shí)間的變化關(guān)系為9/24/2022常微分方