二重積分的計算-直角坐標系下的計算

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)7.1 重積分7.1.2 二重積分的計算-直角坐標系下的計算一、相關問題1. 觀察如下的曲頂柱體，能否用平行截面面積已知的立體體積的定積分計算公式給出其體積計算？解：時， （曲頂柱體的體積）。可用平行截面面積已知的立方體體積的公式求該曲頂柱體的體積如下：（1）： ；，過點作垂直于軸的平面，平面與曲頂柱體有一截面，設截面面積為，則為：；由的任意性，有，截面面積為：；根據平行截面面積已知立體體積的計算公式，曲頂柱體的體積為從而，二次積分（累次積分）上述積分叫做先對Y,后對X

2、的二次積分,即先把看作常數,只看作的函數,對計算從到的定積分,然后把所得的結果( 它是的函數 )再對從到計算定積分.（以上積分區(qū)域D也稱為X型區(qū)域）注：為了書寫方便，這個先對y, 后對x的二次積分也常寫為： (7.2.1)在上述討論中,假定了，利用二重積分的幾何意義,導出了二重積分的計算公式(7.2.1).但實際上,公式(7.2.1)并不受此條件限制,對一般的(在D上連續(xù)),公式(7.2.1)總是成立的.（2）同理，若積分區(qū)域為型區(qū)域，即：，寫出相應的二次積分公式：二、有關知識1. 給定如下簡單的積分區(qū)域，怎樣用不等式組的形式來描述它們？解：； （2）或；（3）或2. 積分區(qū)域的不等式組描述的

3、一般方法？答：平面上的簡單區(qū)域及其不等式組的表示方法，如圖型區(qū)域：將區(qū)域D向x軸投影得，在內任取一點，作垂直于的直線，交區(qū)域的下、上邊界曲線，得，于是區(qū)域D可以表示為 同理可以確定型區(qū)域的不等式表示：如果積分區(qū)域不是以上簡單區(qū)域，則應當適當劃分為簡單區(qū)域，分別用不等式組表示出來。3. 直角坐標系下計算二重積分的關鍵步驟是什么？答：關鍵步驟是選擇合適的積分變量，并將積分區(qū)域表示為直角坐標系下的關于（X，Y）的不等式組的形式。4. 如果積分區(qū)域D為：，時，則二重積分的計算公式簡化為什么形式？答：；三、練習題1求，其中是由拋物線和所圍平面閉區(qū)域.解：求兩曲線的交點如圖，將D看成X型 2（分別按將D看成X型或Y型區(qū)域討論，對比其計算上的差異）解：交點坐標為（1，1），（2,1/2）,（2,2），將看成X-型區(qū)域若將看成型區(qū)域，則需將分成兩部分3求，其中D是以為頂點的三角形.解：無法用初等函數表示，積分必須考慮次序，先對x積分，即將D看成Y-型區(qū)域4改變二次積分的積分順序。解：D如圖所示，即，原積分化為四、思考題1直角坐標系下計算二重積分時，如何確定合適的積分次序？答：要根據積分區(qū)域的特點，同時兼顧被積函數的特點選擇合適的積分次序。2如何交換二重積分的積分次序？答：先利用已給的的積分次序，得