線性代數(shù)電子教案（同濟二版）：5-1 二次型與對稱矩陣

1、5.1 二次型與對稱矩陣一、二次型的矩陣表示1、二次型定義令其中A是一個n階對稱矩陣則二次型的矩陣形式為A稱為二次型矩陣，A的秩稱為二次型的秩.說明：（1）、二次型的矩陣都是對稱矩陣；（2）、二次型和它的矩陣是相互唯一決定的（一一對應(yīng)）；例1解020例2解 不是對稱 故應(yīng)展開再求故二次型矩陣為2、變量的線性變換定義關(guān)系式令則線性變換的矩陣形式為X = CY說明（1）、線性變換把二次型變成新二次型.是非退化（或可逆）的，此時（2）、如果系數(shù)矩陣C可逆，即|C|0，則稱線性變換X = CY新二次型矩陣（3）、非退化線性變換不改變二次型的秩.變換前后兩個二次型矩陣的關(guān)系3、矩陣的合同合同是等價關(guān)系，

2、具有反身性、對稱性、傳遞性。結(jié)論（1）、二次型經(jīng)過非退化線性變換后，所得到的二次型矩陣與原二次型矩陣是合同的.（2）、合同矩陣有相同的秩.5.2、化二次型為標準形此形狀稱為f的標準形.標準形的矩陣為對角矩陣標準形的秩等于d1, , d n中非0元素的個數(shù).1、定義2、主要結(jié)果（1）、任何一個二次型都可以通過非退化的線性變換變成 標準形.（2）、任何一個對稱矩陣都合同于一對角矩陣.3、計算方法（1）配方法例2關(guān)鍵是找可逆C關(guān)鍵找非退化的線性變換解把含有x1各項集中在一起把含有x1各項配完全平方把含有x2各項集中在一起，再配平方令顯然則標準形為驗證例3解令有構(gòu)造平方項令則這兩次線性變換的結(jié)果相當于

3、作一個總的線性變換：顯然即其中說明 1、標準形是不唯一的，與所作的非退化線性變換有關(guān)，而系數(shù)不為0的平方項的個數(shù)由二次形的秩決定，所以是唯一的，與所作的非退化線性變換無關(guān) .例如2、令這樣計算對嗎？正確的做法應(yīng)該是什么？（2）、正交變換法結(jié)論：任意一個實二次型都可經(jīng)過正交線性變換化為標準形.正交變換線性變換的系數(shù)矩陣是正交矩陣.即其中是二次型矩陣A的全部特征值,關(guān)鍵找正交矩陣Q,使QTAQ=例4解二次型矩陣A的特征多項式A的特征值為把1=1（2重）代入齊次方程組，得基礎(chǔ)解系為將它們正交化，得再單位化，得把2=10代入齊次方程組，得基礎(chǔ)解系為單位化，得正交矩陣則令正交變換X=QY，則（注）：正交變換化二次形為標準形具有保持幾何圖形不變 的特點，使其易于識別。（3）初等變換即用初等變換把二次型矩陣化為對角矩陣，為保持所得矩陣與原矩陣合同，必須成對地施行行初等變換與列初等變換，即作一次初等列變換后必須作一次相同的行變換.4、規(guī)范形標準形秩A = r規(guī)范形P為正慣性指標，rp為負慣性指標（1）、任何一個實二次型都可以通過一適當非退化的線性 變換變成 規(guī)范形.（2）、任何一個實二次型的規(guī)范形都由r,p這兩個數(shù)唯一決 定，規(guī)范形是唯一的,與所作的非退化的線性變換無關(guān).（3）