平面向量重難點解析

1、-. z.平面向量重難點解析課文目錄21平面向量的實際背景及根本概念 22平面向量的線性運算 23平面向量的根本定理及坐標表示 24平面向量的數(shù)量積 25平面向量應(yīng)用舉例 目標：1、理解和掌握平面向量有關(guān)的概念；2、熟練掌握平面向量的幾何運算和坐標運算；3、熟悉平面向量的平行、垂直關(guān)系和夾角公式的應(yīng)用；4、明確平面向量作為工具在復(fù)數(shù)、解析幾何、實際問題等方面的應(yīng)用；重難點：重點：向量的綜合應(yīng)用。難點：用向量知識，實現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的等價轉(zhuǎn)化?！疽c精講】1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個要素：大小、方向.2.向量的表示方法：用有向線段表示-(幾何表示法)；用字母、等表示(字母表

2、示法)；平面向量的坐標表示坐標表示法：分別取與軸、軸方向一樣的兩個單位向量、作為基底。任作一個向量，由平面向量根本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得，叫做向量的直角坐標，記作，其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，特別地，。；假設(shè)，則，3.零向量、單位向量：長度為0的向量叫零向量，記為； 長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.注：就是單位向量4.平行向量：方向一樣或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定與任一向量平行.向量、平行，記作.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量.性質(zhì)：是唯一 其中 5.相等向量和垂直向量：相等向量：長度相等且方向一樣的向量叫相等向量.垂直向量兩向量的夾角為性質(zhì)：

3、 其中 6.向量的加法、減法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。平行四邊形法則：起點一樣的兩向量相加，常要構(gòu)造平行四邊形三角形法則加法法則的推廣： 即個向量首尾相連成一個封閉圖形，則有向量的減法向量加上的相反向量，叫做與的差。即：= + ()；差向量的意義： = , =, 則=平面向量的坐標運算：假設(shè)，則，。向量加法的交換律：+=+；向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)常用結(jié)論：1假設(shè)，則D是AB的中點2或G是ABC的重心，則7向量的模：1、定義：向量的大小，記為 | 或 |2、模的求法：假設(shè) ，則 |假設(shè)， 則 |3、性質(zhì)：1； 實數(shù)與向量的轉(zhuǎn)化關(guān)

4、系2，反之不然3三角不等式：4 當(dāng)且僅當(dāng)共線時取=即當(dāng)同向時 ，； 即當(dāng)同反向時 ，5平行四邊形四條邊的平方和等于其對角線的平方和，即8實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：1|=|；20時與方向一樣；0；當(dāng)與異向時，0，0則=+ |=|=1=|，=|OEC中，E=600，OCE=750，由得：例2、ABC中，A2，-1，B3，2，C-3，-1，BC邊上的高為AD，求點D和向量坐標。解題思路分析：用解方程組思想設(shè)D*，y，則=*-2，y+1=-6，-3，=0 -6(*-2)-3(y+1)=0，即2*+y-3=0=(*-3，y-2)，-6(y-2)=-3(*-3)，即*-2y+1=0由

5、得： D1，1，=-1，2例3、求與向量=，-1和=1，夾角相等，且模為的向量的坐標。 解題思路分析：用解方程組思想法一：設(shè)=*，y，則=*-y，=*+y=即又|=*2+y2=2 由得 或舍=法二：從分析形的特征著手 |=|=2=0AOB為等腰直角三角形，如圖 |=，AOC=BOC C為AB中點 C說明：數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化計算。例4、在OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使|=13，|=14，設(shè)線段AN與BM交于點P，記= ，=，用 ，表示向量。解題思路分析： B、P、M共線 記=s同理，記=,不共線 由得解之得：說明：從點共線轉(zhuǎn)化為向量共線，進而引

6、入?yún)?shù)如s，t是常用技巧之一。平面向量根本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s，t的方程。例5、長方形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點，P為AB上一點利用向量知識判定點P在什么位置時，PED=450；假設(shè)PED=450，求證：P、D、C、E四點共圓。解題思路分析：利用坐標系可以確定點P位置如圖，建立平面直角坐標系則C2，0，D2，3，E1，0設(shè)P0，y=1，3，=-1，y=3y-1代入cos450=解之得舍，或y=2 點P為靠近點A的AB三等分處當(dāng)PED=450時，由1知P0，2=2，1，=-1，2=0DPE=900又DCE=900 D、P、E、C四點共圓說明：利

7、用向量處理幾何問題一步要驟為：建立平面直角坐標系；設(shè)點的坐標；求出有關(guān)向量的坐標；利用向量的運算計算結(jié)果；得到結(jié)論?！究键c剖析】考點一：向量的概念、向量的根本定理【內(nèi)容解讀】了解向量的實際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示，掌握平面向量的根本定理。注意對向量概念的理解，向量是可以自由移動的，平移后所得向量與原向量一樣；兩個向量無法比擬大小，它們的模可比擬大小。如果和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對該平面內(nèi)的任一向量有且只有一對實數(shù)1、2，使=1+2. 注意：假設(shè)和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，【命題規(guī)律】有關(guān)向量概念和向量的根本定理的命題

8、，主要以選擇題或填空題為主，考察的難度屬中檔類型。例1、2007*直角坐標系中，分別是與軸正方向同向的單位向量在直角三角形中，假設(shè)，則的可能值個數(shù)是1 2 3 4解：如圖，將A放在坐標原點，則B點坐標為(2,1)，C點坐標為(3,k)，所以C點在直線*=3上，由圖知，只可能A、B為直角，C不可能為直角所以k 的可能值個數(shù)是2，選B點評：此題主要考察向量的坐標表示，采用數(shù)形結(jié)合法，巧妙求解，表達平面向量中的數(shù)形結(jié)合思想。例2、2007*如圖，平面內(nèi)有三個向量、,其中與與的夾角為120，與的夾角為30,且|1，| ，假設(shè)+，R,則+的值為.解：過C作與的平行線與它們的延長線相交，可得平行四邊形，由

9、角BOC=90角AOC=30，=得平行四邊形的邊長為2和4，2+4=6點評：此題考察平面向量的根本定理，向量OC用向量OA與向量OB作為基底表示出來后，求相應(yīng)的系數(shù)，也考察了平行四邊形法則?？键c二：向量的運算【內(nèi)容解讀】向量的運算要求掌握向量的加減法運算，會用平行四邊形法則、三角形法則進展向量的加減運算；掌握實數(shù)與向量的積運算，理解兩個向量共線的含義，會判斷兩個向量的平行關(guān)系；掌握向量的數(shù)量積的運算，體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進展平面向量積的運算，能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系?！久}規(guī)律】命題形式主

10、要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，考察重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標運算，有時也會與其它內(nèi)容相結(jié)合。例3、(2008*文、理)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)c= A.(15,12)B.0 C.3 D.11解：(a+2b)，(a+2b)c，選C點評：此題考察向量與實數(shù)的積，注意積的結(jié)果還是一個向量，向量的加法運算，結(jié)果也是一個向量，還考察了向量的數(shù)量積，結(jié)果是一個數(shù)字。例4、(2008*文)平面向量，且，則= A-2，-4 B. -3，-6 C. -4，-8 D. -5，-10解：由，得m4，所以，2，46，124，8，應(yīng)選C。點評：兩個向量

11、平行，其實是一個向量是另一個向量的倍，也是共線向量，注意運算的公式，容易與向量垂直的坐標運算混淆。例5、(2008*、*文)平面向量=1，3，=4，2，與垂直，則是 A. 1 B. 1C. 2D. 2解：由于，即，選點評：此題考察簡單的向量運算及向量垂直的坐標運算，注意不要出現(xiàn)運算出錯，因為這是一道根底題，要爭取總分值。例6、(2008*理)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F. 假設(shè), ,則 AB.C. D. 解:,由A、E、F三點共線,知而滿足此條件的選擇支只有B，應(yīng)選B.點評：用三角形法則或平行四邊形法則進展向量的加減法運算是向量運算

12、的一個難點，表達數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。例7、2008*向量和的夾角為，則解：=，7點評：向量的模、向量的數(shù)量積的運算是經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容，難度不大，只要細心，運算不要出現(xiàn)錯誤即可?？键c三：定比分點【內(nèi)容解讀】掌握線段的定比分點和中點坐標公式，并能熟練應(yīng)用，求點分有向線段所成比時，可借助圖形來幫助理解。【命題規(guī)律】重點考察定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現(xiàn)，難度一般。由于向量應(yīng)用的廣泛性，經(jīng)常也會與三角函數(shù)，解析幾何一并考察，假設(shè)出現(xiàn)在解答題中，難度以中檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。例8、(2008*理)設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且則與( )A.反向平行 B.同向平

13、行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直解：由定比分點的向量式得:同理，有：以上三式相加得所以選A.點評：利用定比分點的向量式，及向量的運算，是解決此題的要點.考點四：向量與三角函數(shù)的綜合問題【內(nèi)容解讀】向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，考察了向量的知識，三角函數(shù)的知識，到達了高考中試題的覆蓋面的要求?！久}規(guī)律】命題以三角函數(shù)作為坐標，以向量的坐標運算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問題，屬中檔偏易題。例9、2008*福田等向量 ,函數(shù)(1)求的最小正周期; (2)當(dāng)時, 假設(shè)求的值解：(1) . 所以，T. (2) 由得，點評：向量與三角函數(shù)的綜合問

14、題是當(dāng)前的一個熱點，但通常難度不大，一般就是以向量的坐標形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，并結(jié)合簡單的向量運算，而考察的主體局部則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識點.例10、2007*文在中，角的對邊分別為1求；2假設(shè)，且，求解：1又 解得，是銳角2由， ，又點評：此題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，考察向量的數(shù)量積，余弦定理等內(nèi)容。例11、2007*將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為解： 由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取一對對應(yīng)點，則，代入到解析式中可得選點評：此題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的根本知識，以平移公式切入，為中檔題。注意不要將向量與對應(yīng)點的順序搞反，

15、或死記硬背以為是先向右平移個單位，再向下平移2個單位，誤選考點五：平面向量與函數(shù)問題的交匯【內(nèi)容解讀】平面向量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問題為主，要注意自變量的取值*圍?！久}規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中檔題。例12、2008*六校聯(lián)考向量(cos*，sin*)，()，且*0，1求2設(shè)函數(shù)+，求函數(shù)的最值及相應(yīng)的的值。解：= 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I由條件： ， 得： 2因為：，所以：所以，只有當(dāng)： 時， ，或時，點評：此題考察向量、三角函數(shù)、二次函數(shù)的知識，經(jīng)過配方后，變成開口向下的二次函數(shù)圖象，要注意sin*的取值*圍，否則容易搞錯?？键c六：平

16、面向量在平面幾何中的應(yīng)用O*O*ACBa例13圖yACBaQP【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。例13、如圖在RtABC中，BC=a，假設(shè)長為2a的線段PQ以A為中點，問與的夾角取何值時，的值最大？并求出這個最大值。 解：以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立如下圖的平面直角坐標系。設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則A0，0，Bc，0，C0，b.且|PQ|=2a，|BC|=a.設(shè)點P的坐標為*，y，則Q-*，-y，c*-by=a2cos.=- a2+ a2cos.故當(dāng)cos=1，即=0方向一樣時，的值最大，其最大值為0.點評：此題主要考察向量的概念，運算法則及函數(shù)的

17、有關(guān)知識，平面向量與幾何問題的融合?？疾鞂W(xué)生運用向量知識解決綜合問題的能力。平面向量 全章檢測說明：本試卷分第一卷和第二卷兩局部.第一卷60分，第二卷90分，共150分，答題時間120分鐘.第一卷選擇題，共60分一、選擇題每題5分，共60分，請將所選答案填在括號內(nèi)1在ABC中，一定成立的是 AasinA=bsinB BacosA=bcosB CasinB=bsinADacosB=bcosA2ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則ABC為 A直角三角形B等腰直角三角形C等邊三角形D等腰三角形3在ABC中，較短的兩邊為,且A=45,則角C的大小是 A15B75C120D604在ABC中，

18、,則等于 A2B2C2D45設(shè)A是ABC中的最小角，且，則實數(shù)a的取值*圍是 Aa3Ba1C1a3Da06在ABC中,三邊長AB=7，BC=5，AC=6，則等于 A19B14C18D197在ABC中，AB是sinAsinB成立的什么條件 A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要 8假設(shè)ABC的3條邊的長分別為3，4，6，則它的較大的銳角的平分線分三角形所成的兩個三角形的面積比是 A11B12C14D34 9向量，假設(shè)與垂直，則實數(shù)= A1B1C0D2 10向量a=，向量b=，則|2ab|的最大值是 A4B4C2D211a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(ab)垂直的 A充

19、分但不必要條件 B必要但不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件12有一長為1公里的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)要將傾斜角改為10，則坡底要伸長 A1公里Bsin10公里Ccos10公里Dcos20公里第二卷非選擇題，共90分二、填空題每題4分，共16分，答案填在橫線上13在ABC中，BC=3，AB=2，且，A=.14在ABC中，AB=l，C=50，當(dāng)B=時，BC的長取得最大值.15向量a、b滿足ab2a+b=4，且|a|=2，|b|=4，則a與b夾角的余弦值等于 .16ab、c與a、b的夾角均為60，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2bc).三、解答題本大題共74分，1721題每題12分，22題14分17設(shè)e1、e2是兩個互相垂直的單位向量，且a=3e1+2e2,b=3e1+4e2,求ab.18設(shè)三角