數(shù)學解題活動教學的思考

1、數(shù)學解題活動教學的考慮摘要：本文通過一個數(shù)學問題的解題過程，探究解題中浸透的數(shù)學思維與數(shù)學方法，并概括了數(shù)學解題教學應到達的目的，力求可以指導數(shù)學解題的教學。關(guān)鍵詞：數(shù)學解題；邏輯思維；非邏輯思維；數(shù)學思維學數(shù)學就要解數(shù)學題，數(shù)學解題學習對學生穩(wěn)固知識、培養(yǎng)素質(zhì)、開展才能和促進個性心理開展都有及其重要的作用和意義，因此數(shù)學教學離不開數(shù)學解題的教學，數(shù)學解題過程中存在著三種思維活動：數(shù)學家的思維活動、數(shù)學老師的思維活動、學生自己的思維活動。數(shù)學解題教學就是教學生學習數(shù)學家的思維活動，并逐步使其思維構(gòu)造與數(shù)學家的相似，學會數(shù)學的思維。一、問題的提出數(shù)學解題活動主要是利用認知構(gòu)造(知識構(gòu)造和思維構(gòu)造

2、)對抽象的形式化思想材料進展加工的過程，是數(shù)學符號及數(shù)學命題在人的大腦里的內(nèi)部操作過程，也就是一種思維活動。這就必然導致數(shù)學解題教學是一個讓學生體驗數(shù)學思維的過程。首先看一例題：例1：根據(jù)下面數(shù)列找出它的規(guī)律11，31，41，61，71，101，131，.答案：末位數(shù)為1的素數(shù)然而此題給20名數(shù)學系大四的學生15分鐘的考慮時間，20人竟無一人能答復正確。他們中間的同學試圖從數(shù)字之和去考慮問題，比方1+1=2，3+1=4，4+1=5，6+1=7，這樣可以出現(xiàn)131、151、161(錯)、181。行不通：而后又考慮3+1=4，4+3-1=6，6+4-3=7，7+6-4=9，9+7-6=10，10+

3、9-7=11，11+10-9=12，12+11-10=13這樣得出除末位數(shù)外的前面的數(shù)字，出現(xiàn)了41、61、71、91(錯)、101、111(錯)、121(錯)、131、。之所以沒有答案筆者認為他們的思維方向不對。課后的追訪驗證了我的答案。老師：這些數(shù)有什么的特點?學生：個位數(shù)都是1老師：還有什么特點?學生：憑感覺認為后面的數(shù)是151、181，再往后就不知道了，看不到它們的規(guī)律。老師：再從另一個角度考慮，比方素數(shù)、和數(shù)方面想想?學生：呵!它們都是素數(shù)。老師；這樣你可以說出答案了吧。學生：(想)還是不行，還是找不到它的通項公式。老師：答案是末位數(shù)為1的素數(shù)。學生：就是這樣的答案嗎?不是讓找它的通

4、項公式嗎?我考慮的太多了，我們都認為是讓找通項公式?？梢钥吹綄W生認為這道數(shù)列的題目是讓找通項公式，這與他們在高中數(shù)學學習中作過大量這樣的題目有關(guān)，以前的思維定勢讓他們認為應該有一個通項公式來表達這個規(guī)律，然而此題卻沒有通項公式。從上面例題可以看出，在解決問題時往往從特殊的簡單情形開場，給人一種返璞歸真的感覺，但在解題中必須明確，返璞歸真的目的不是為了找出幾個簡單情形的解法，而是為了通過簡單情形的解法，悟出規(guī)律，抓住題魂，所謂的“返璞歸真不為玉，意在靈性通題魂，表達了“以退為進的角色形式。但是，邏輯思維才能是一個需要畢生精力不斷苦練的功夫，功夫不到就可能跌入新的誤區(qū)，任何人跌入誤區(qū)的原因都是未能

5、把握住這條邏輯鏈詳細問題詳細分析，這是研究一切問題的靈魂。如上面的例題一樣，遇到數(shù)列找規(guī)律的問題就不能想當然的認為找通項公式。二、數(shù)學解題教學的幾點考慮與建議學習數(shù)學必須學會解題，我國是解題的王國，學生解題的根本功非常好，但相當局部學生的功夫是通過“解題類型+方法機械訓練而來的，無視理解題中數(shù)學思維與方法的學習，造成出現(xiàn)上面的種種弊端。因此如何應用數(shù)學思維與數(shù)學方法論指導解題是當前一個非常關(guān)鍵的問題。(一)更新解題觀念什么是解題，不同的人有不同的觀念，按現(xiàn)代教學論與心理學，可以這么說，數(shù)學解題是在數(shù)學思維與方法指導下，有目的地運用數(shù)學根底知識和根本技能分析與解決數(shù)學問題的過程。G.Plya在?

6、怎樣解題?一書一開場，把解題過程歸結(jié)為四個階段：(1)弄清問題；(2)制定方案；(3)實現(xiàn)方案：(4)回憶；另外，在?數(shù)學發(fā)現(xiàn)?中，波利亞又從思維活動的形式這一角度對此作出了更為明確的描繪：他指出解題過程是由以下的思維活動所組成的：集中目的，估計前景，對途經(jīng)的尋找，對更有希望場面的尋找，對有關(guān)知識的尋找，重新估計形式。他認為解題是人類最富有特征的一種活動，是學生學習數(shù)學的中心環(huán)節(jié)，是一種理論性技能，是開展學生思維才能、培養(yǎng)良好心理品種的重要手段。我們應從“過程、環(huán)節(jié)、技能、手段角度去理解數(shù)學解題的概念，數(shù)學解題教學是用通過典型數(shù)學題的學習，去探究數(shù)學問題解決的根本規(guī)律，學會象數(shù)學家那樣“數(shù)學的

7、思維，因此數(shù)學解題的教學目的不僅是進步學生的解題才能，深化穩(wěn)固所學的知識，而且應是掌握其思維與方法、全面進步數(shù)學素養(yǎng)。轉(zhuǎn)貼于論文聯(lián)盟.ll.(二)分析解題過程G.Plya在?怎樣解題?中，宏觀地把解題過程概括為四個階段：(1)弄清問題；(2)制定方案；(3)實現(xiàn)方案；(4)回憶。從而表達出形式識別、聯(lián)絡轉(zhuǎn)化、特殊化與一般化、歸納、類比等思維策略的指導。就解題而言，最受重視的是制定解題方案，然而就學習解題而言，最重要的是理解題意階段和解題回憶階段，以“解作為出發(fā)點，注重的是解題的結(jié)果，以“學解作為出發(fā)點。注重的是解題的過程。(1)弄清問題，明確目的解題的起點。有位數(shù)學家說擅長解題的人用一半時間來

8、理解題意，只用一半時間完成解答。我們習慣上說的審題，即弄清問題的是什么?未知是什么?條件是什么?關(guān)鍵是學習分析隱含條件的才能，化簡和未知的才能，到達對問題的深層次理解，利用解題認知構(gòu)造中適當?shù)慕忸}知識塊，識別出問題的類型。(2)探究思路，制定方案解題的關(guān)鍵。在這個過程中要實現(xiàn)一系列的轉(zhuǎn)化：或是利用變換問題思維形式、分解與組合的思維形式、構(gòu)造解題思維形式、整體化思維形式把未知的、把比擬困難的問題轉(zhuǎn)化為的、較容易的問題以求得解決，或是通過其他問題的研究來獲得材料上或方法上的幫助，也就是要利用你的知識構(gòu)造，文化修養(yǎng)緊扣數(shù)學有關(guān)根底知識與根本技能認真考慮，尋找和未知的種種聯(lián)絡，并結(jié)合應用邏輯思維、非邏

9、輯思維、數(shù)學審美等思維與方法。構(gòu)思解決當前問題的步驟，探究解決問題的各種方法。對于比擬復雜的問題，一時不得解決，還可以進展大膽的猜測，由一般想到特殊，特殊想到一般?？傊床ɡ麃喺Z“我們通過發(fā)動和組織、別離和結(jié)合、識別和回憶題中的各種元素以及重組和充實我們的構(gòu)思這一系列過程的連續(xù)進展，來預見問題的解；或解的某些特征：或局部答案的詳細實現(xiàn)途徑。(3)實現(xiàn)方案解題的表述。要嚴格推證與計算或按思路詳細寫出每一步驟，并且要用數(shù)學語言與符號嚴謹表達，做到表達正確、合理、嚴密、簡捷和清楚。(4)回憶解題后的反思。要嚴格檢查，并判斷解題正確與否，同時總結(jié)解題策略經(jīng)歷、進步解題技能，研究是否可以推廣，作出各種可

10、能的延伸。如：n推廣到n(當然后者的證明需要用到數(shù)學歸納法、比擬分析法等方法。)再如：求和并證明：我們不僅要用分數(shù)求和的形式解決問題，還要學會用數(shù)學家對形式的尋找：歸納法來解決問題。而對于問題：設a，b0求li(a+b)，我們即要用極限的方法解決又要嘗試數(shù)學家的特殊化方法。注意在解題后的回憶這個過程中，我們不僅要回憶有關(guān)的知識、解題方法以及理解題意的過程，而且更要反思：一開場是怎樣探究的，走過那些彎路，出現(xiàn)過那些錯誤，為什么會走這些彎路、會產(chǎn)生這些錯誤等等。古人云“_T欲善其事，必先利其器。解題回憶就是磨利解題武器的過程，它所起到的舉一反三的作用，勝過做十道題，在詳細教學時，不妨借助“時間等待

11、理論的思想，留出充分的時間讓學生把解題回憶完成。(三)學會數(shù)學考慮，力爭提醒發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的方法數(shù)學解題學習主要是有意義的發(fā)現(xiàn)學習，因此建立良好的解題認知構(gòu)造至關(guān)重要，而解題認知構(gòu)造的建立和改造有三大環(huán)節(jié)：知識網(wǎng)絡建構(gòu)、解題理論活動和策略經(jīng)歷積累，其中策略經(jīng)歷的積累最為重要，并且這一環(huán)節(jié)主要在“解題同顧的過程中獲得。所以說解題教學，并不是去幫助學生尋找萬能的解題方法，而是力圖提醒發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的方法和規(guī)律。盡管萬能的解題方法不存在，但解題中存在著各種各樣的規(guī)那么，在教學過程中我們應對這些思維的規(guī)那么進展明確地描繪、從而實現(xiàn)由對合理方法的天才的、不自覺的應用向有意識的自覺的應用的轉(zhuǎn)化，進步學生解題的元認知才能。因此我們要教會學生學習考慮，不但要學會有目的的考慮，而且學著理解數(shù)學的非形式思維過程，因為數(shù)學思維所涉及的不僅有公