2022屆青海省西寧市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 16 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 頁2022屆青海省西寧市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1集合，則圖中陰影部分表示的集合為ABCD【答案】B【詳解】圖中陰影部分表示為，因為，所以，故選.2設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）ABCD【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算求得正確答案.【詳解】.故選：A3已知在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點M，（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義可得，應(yīng)用向量線性運算的坐標(biāo)表示，即可求的坐標(biāo).【詳解】由

2、題設(shè)，.故選：D.4在北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷了世界從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，若冬至的日影長為18.5尺，立春的日影長為15.5尺，則立夏的日影長為（）A9.5 尺B10.5 尺C11.5 尺D12.5 尺【答案】A【分析】由等差數(shù)列相關(guān)運算得到公差，進而求出立夏的日影長.【詳解】由題意得：為等差數(shù)列，公差為d，則，則，解得：，則，故立夏的日影長為9.5尺.故選：A5的展開式中，的系數(shù)為（）A40BC80D【答案】D【分析】求出的展開式為，在令，即可求出結(jié)果.【詳解】因為的展開式為令，所以的

3、系數(shù)為.故選：D.6在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)x，則使得的概率為（）ABCD【答案】D【分析】求出不等式在上的解集，利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由，有，解得或，又，故所求概率為.故選：D.7如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中，異面直線與所成的角為（）ABCD【答案】C【分析】把展開圖還原成正方體，由于且相等，故異面直線與所成的角就是和所成的角，由于是等邊三角形可得答案.【詳解】把展開圖還原成正方體如圖所示，由于且相等，故異面直線與所成的角就是和所成的角，故 (或其補角)為所求，再由是等邊三角形，可得.故選：C.8已知函數(shù)，則圖象如圖的函數(shù)可能是()ABCD【答案】D【分

4、析】結(jié)合函數(shù)圖像的奇偶性和單調(diào)性即可判斷.【詳解】由圖可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，和為非奇非偶函數(shù)，故A、B不符；當(dāng)x0時，單調(diào)遞增，與圖像不符，故C不符；為奇函數(shù)，當(dāng)x時，y的增長速度快于ylnx的增長速度，故0且單調(diào)遞減，故圖像應(yīng)該在x軸上方且無限靠近x軸，與圖像相符.故選：D.9已知為數(shù)列的前項和，則（）A2020B2021C2022D2024【答案】C【分析】利用化簡可得出，則可求出答案.【詳解】當(dāng)時， ，當(dāng)時，由得，兩式相減可得，即，所以，可得，所以.故選：C.10已知點為橢圓的左焦點，點A為橢圓C的左頂點，過原點O的直線l交橢圓C于P，Q兩點，若直線平分線段，則橢圓C的離心率（）ABCD

5、【答案】A【分析】直接由條件判斷出為的重心，利用重心的性質(zhì)即可求解.【詳解】為線段的中線，為線段的中線，為的重心，即故選：A.11在三棱柱中，側(cè)棱平面ABC，P為側(cè)棱的中點，則四棱錐外接球的表面積為（）ABCD【答案】B【分析】連接，交于點O，連接OP根據(jù)題意數(shù)量關(guān)系求得，得到，又在矩形中，得到點為四棱錐外接球的球心，可得外接球的半徑，進而得到表面積.【詳解】連接，交于點O，連接OP因為平面ABC，所以在矩形中，由P為的中點，知在中，所以在中，所以，所以，又O為的中點，所以，又在矩形中，所以點為四棱錐外接球的球心，所以外接球的半徑，其表面積，故選：B12定義方程的實根叫做函數(shù)的“新駐點”，若函

6、數(shù)，的“新駐點”分別為，則，的大小關(guān)系為（）ABCD【答案】B【分析】分別求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)相等列出方程，直接解得，再引入新函數(shù)，利用新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定新函數(shù)的零點所在區(qū)間，得的范圍從而確定它們的大小【詳解】由題意：，所以分別為的根，即為函數(shù)的零點，可解得；為單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以，令，解得，或，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，由，所以，所以.故選：B.二、填空題13在數(shù)列中，且，則_【答案】【分析】由題知，然后兩式相除，可得答案.【詳解】由題知有由，可得，.故答案為：.14已知雙曲線的左右焦點分別為，點P是雙曲線左支上一點且，則_【答案】3【分析】根據(jù)雙曲線方程求出，

7、再根據(jù)雙曲線的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計算可得；【詳解】解：因為雙曲線為，所以、，因為點P是雙曲線左支上一點且，所以，所以，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：15將某射擊運動員的十次射擊成績（環(huán)數(shù)）按從小到大的順序（相等數(shù)據(jù)相鄰排列）排列為：8.1，8.4，8.4，8.7，x，y，9.3，9.4，9.8，9.9，已知總體的中位數(shù)為9，則的最小值為_【答案】【分析】由中位數(shù)的概念結(jié)合基本不等式可得.【詳解】因為總體的中位數(shù)為9所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立故答案為：16已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為_【答案】【分析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，由

8、題設(shè)知對稱軸為，即可得，進而求，而原不等式等價于，即可求解集.【詳解】設(shè)，則，又，所以，即在R上是減函數(shù)，因為為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對稱，而向右平移3個單位可得，所以對稱軸為，則，所以，不等式等價于，故，所以不等式的解集為.故答案為：三、解答題17在；這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由問題：是否存在，它的內(nèi)角A，的對邊分別為，面積為S，且，_？【答案】答案不唯一，具體見解析【分析】根據(jù)題干條件及余弦定理、面積公式，可求得角C的值，若選，根據(jù)正弦定理，可求得的值，根據(jù)大邊對大角原則，可得角A只有一解，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可

9、求得的值；若選，根據(jù)正弦定理，可求得的值，根據(jù)大邊對大角原則，可得角A有兩解，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可求得的值；若選，根據(jù)正弦定理，可求得的值，因為，則三角形無解.【詳解】由題意可知在中，因為，且，所以，由余弦定理可知，所以因為，所以；若選，由正弦定理可得，解得，在中，因為，所以，又因為，則角A只有一解，且，所以 若選，由正弦定理可得，解得，在中，因為，所以，又因為，則角A有兩解，所以若選，由正弦定理可得，解得，因為，所以無解，即三角形不存在18某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時間，現(xiàn)采用分成抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計了他們課外閱讀時間，

10、然后按“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”分為兩組，再將每組學(xué)生的閱讀時間（單位：小時）分為5組：0，10），10，20），20，30），30，40），40，50，并分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）寫出a的值；（2）試估計該校所有學(xué)生中，閱讀時間不小于30個小時的學(xué)生人數(shù)；（3）從閱讀時間不足10個小時的樣本學(xué)生中隨機抽取3人，并用X表示其中初中生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）a0.03；（2）870人；（3）分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)頻率頻率直方圖的性質(zhì)，可求得a的值；（2）由分層抽樣，求得初中生有60名，高中有40名，分別求得初高中生閱讀時間不小于30小時的

11、學(xué)生的頻率及人數(shù)，求和；（3）分別求得初高中生中閱讀時間不足10個小時的學(xué)生人數(shù)，寫出X的取值及概率，寫出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）由頻率直方圖的性質(zhì)，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）101，解得a0.03，（2）由分層抽樣可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，初中生中，閱讀時間不小于30小時的學(xué)生的頻率為（0.03+0.005）100.25，所有的初中生閱讀時間不小于30小時的學(xué)生約有0.251800450人，同理，高中生閱讀時間不小于30小時的學(xué)生的頻率為（0.03+0.005）100.035，學(xué)生人數(shù)約為0.351200420人，所有的學(xué)生閱讀時間不小于3

12、0小時的學(xué)生約有450+420870，（3）初中生中閱讀時間不足10個小時的學(xué)生的頻率為0.005100.05，樣本人數(shù)為0.05603人，同理，高中生中閱讀時間不足10個小時的學(xué)生的頻率為0.00510402，故X的可能取值為：1，2，3，P（X1），P（X2），P（X3），X的分布列為： X 1 2 3 P E（X）1+2+3.19如圖，為圓錐的頂點，為底面圓心，點，在底面圓周上，且，點，分別為，的中點求證：；若圓錐的底面半徑為，高為，求直線與平面所成的角的正弦值【答案】證明見解析；.【解析】利用線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的數(shù)量積運算求出直

13、線與平面所成的角的正弦值【詳解】解：由題意，得底面圓，點，分別為，的中點， 底面圓，在底面圓上，為正三角形，又因為為的中點，又因為，且平面，平面，平面，平面，如圖，以為原點，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，由，可得，令，得為平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為【點睛】本題考查線線垂直的判定，以及線面所成角的正弦值的求法，考查分析問題能力，運算求解能力，屬于中檔題.20已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切.(1)求動圓的圓心軌跡的方程；(2)過焦點的直線與拋物線交于兩點，與圓交于兩點（，在軸同側(cè)），求證：是定值.【答案

14、】(1)(2)1【分析】（1）利用拋物線的定義先判定動點的軌跡形狀，再求其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線的定義進行證明.【詳解】(1)解：由題意，得動圓的圓心到點的距離等于到直線的距離，所以的軌跡是以點為焦點的拋物線，其軌跡方程為；(2)解：設(shè)經(jīng)過焦點的直線為，聯(lián)立，得；設(shè)，則，且，；因為圓的圓心為（即拋物線的焦點），半徑為，由拋物線的定義，得，則，所以，即是定值，定值是1.21已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）求出導(dǎo)

15、函數(shù)，利用的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.（2）不等式等價于在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，說明極值點一正一負(fù)，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解的范圍即可.【詳解】(1)解：（1）因為的定義域為，且.若，則，所以在上單調(diào)遞增.若，令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)（2）不等式在上恒成立等價于在上恒成立，令，則.對于函數(shù)，所以其必有兩個零點.又兩個零點之積為-1，所以兩個零點一正一負(fù)，設(shè)其中一個零點，則，即.此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，

16、所以.由在上單調(diào)遞增，得.故的取值范圍為.22在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為(，)（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）已知曲線C與直線l交于A，B兩點，若，求直線l的直角坐標(biāo)方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先將曲線C的參數(shù)方程華為普通方程，再將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可；（2）根據(jù)極坐標(biāo)系中的幾何意義,結(jié)合三角函數(shù)知識進行解題即可.【詳解】解：（1）由曲線C的參數(shù)方程(為參數(shù))，得曲線C的普通方程為，得，即曲線C的極坐標(biāo)方程為.（2）將直線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C的極坐標(biāo)方程，得，設(shè)，又，所以，即，因為，所以或，所以直線的直角坐標(biāo)方程為.【點睛】求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問題的主要方法：（1）直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想