相似比例線段和黃金分割比例線段

1、相似圖形（1）比例線段和黃金分割一、知識(shí)要點(diǎn)：兩條線段的比:如果選用同一個(gè)長度單位量得兩條線段AB, CD的長度分別是m、，那么就說這兩條線段的比 （ratio） AB : CD=m : ，或?qū)懗傻湟?.CD n注意：（1）兩條線段的長度必須用同一長度單位表示，如果單位長度不同，應(yīng)先化成同一單位，再求它們的比；（2）兩條線段的比，沒有長度單位，它與所采用的長度單位無關(guān)；（3）兩條線段的長度都是正數(shù)，所以兩條線段的比值總是正數(shù).成比例線段:是指在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，則這四條線段成比例.3 .關(guān)于成比例的數(shù)，有以下性質(zhì)：（1）比例的基本性質(zhì):如果a ： b=c :

2、 d，那么ad=bc；如果ad=bc那么a : b=c : d.特殊地，如果a : b=b : c，那么b2=a c ；如果b2 =a c那么a : b=b : c.這條性質(zhì)是今后比例式與等積式互化的理論依據(jù).（2）合比性質(zhì)：如噸=，那么平=cdd.（3）等比性質(zhì)：如果a=c=（b+d+.+n尹0），那么a+；）+m=ab d nb + d + n b這里設(shè)a =c =. = =k，得a=kb，c=kd，m=kn，是今后學(xué)習(xí)中常用方法. b d n4 .黃金分割點(diǎn)如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC （ACBC），若些=BC，則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線 _ AB AC51段A

3、B的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比，即AC= AB.2CA1B、典型例題例1.已知：-=蘭=邑=2 （b+d儼0） b d f求：（1）a + C + e ; (2) a一求：（1）a + C + e ; (2) a一C + e ; (3) b + d + f b - d + fa - 2c + 3e b - 2d + 3f;(4)a - 5eb - 5f分析：利用比例的性質(zhì)求解。解：.-_C 3bd:.a=2b,c=2d,e=2f.(1)a + c + e 2b + 2d + 2f 2(b + d + f)2b+d+f b+d+f b+d+f(2)(3)(4)a - c + e 2b

4、- 2d + 2f 2(b - d + f)。=2 b-d+f b-d+f b-d+fa - 2c + 3e 2b - 4d + 6f 2(b - 2d + 3f)。 =2 b - 2d + 3f b - 2d + 3f b - 2d + 3fa - 5e 2b - 10f 2(b - 5f)。=2b - 5f b - 5f b - 5f點(diǎn)評(píng)：注意整體思想的應(yīng)用。例2.已知i，4，求* TOC o 1-5 h z 分析：這里三個(gè)比相等，我們應(yīng)馬上想到等比性質(zhì)，使用等比性質(zhì)的證明方法，設(shè)輔助字母.解：設(shè)4=飛=J =k, 2 34則x=2k， y=3k， z=4k.2 + 2y + 乙 2 x

5、2k + 2 x 3k + 4k i4 .3 y 一 j3 x 3k 一 4k5點(diǎn)評(píng)：(1)輔助字母k成為x、y、z之間的橋梁，這種數(shù)學(xué)思想很重要.(2) - = y = &也可寫成4 ： y ： z-2 ： 3 ：2344.例 3.已知 a ： b ： c=4 ： 3 ： 2,且 a+3b 3c=14. 求 a,b,c (2)求 4a 3b+c 的值.分析：設(shè)比值為k計(jì)算。解：(1)設(shè) a=4k,b=3k,c=2kVa+3b 3c=14.4k+9k6k=14.7k14.k2 a=8,b=6,c=44a 3b+c=32 18+418點(diǎn)評(píng)：輔助字母k成為a，b之間的橋梁。a + b b + c

6、c + a例4.已知： -，求-的值.cab分析：因?yàn)榈缺刃再|(zhì)的條件是“b+d+nU0”所以要分“c+a+b=0”和“c+a+bU0”兩種情況討論.解：當(dāng)c+a+b*時(shí)，-心-也M =2(c + a + 饑2； c a b c + a + b當(dāng) c+a+b=0 時(shí)，有 a+b c，所以-a * ” 1.cc點(diǎn)評(píng).在運(yùn)用等比性質(zhì)時(shí)，要注意“b+d+n手0”否則會(huì)造成錯(cuò)誤.分析：由等比性例5.在小ABC中，D、E分別是AB和AC上的點(diǎn)，迪=BC = AC=3，并且 ABC的周長為6.9cm.分析：由等比性AD DE AE 2求小ADE的周長.質(zhì)，可以求出兩個(gè)三角形的周長比。解：AB BC AC 3

7、: : : .AD DE AE 2AB+BC+AC 3.= _，AD+DE+AE 2AABC的周長為6.9,即AB+BC+AC=6.9,2AD+DE+AE=-x 6.9=4.6，即 AADE的周長為4.6c祖. 3點(diǎn)評(píng)：注意等比性質(zhì)應(yīng)用。例6.如果 -* = y *七=七* ，且-+ y + j = 12，求-、y、j的值. TOC o 1-5 h z 324分析：可考慮用等比性質(zhì)，由 土 = 土 =善，得-*4 * y*J *J +8 =三，也即3243 + 2 + 4412*12* J = &*8，解出j的值，然后可很容易求出y、j的值.94解：利用等比性質(zhì)，可得X + 4 + y + Z

8、 + Z + 8利用等比性質(zhì)，可得X + 4 + y + Z + Z + 8- 土x + y + z +12 + z z + 8 即24 + z9x + 4由3z + 8，解得 z = 4.844.8 + 8 得一 ，得 x 5.6，4由 5.6 + y + 4.8 = 12,得 y = 1.6.點(diǎn)評(píng)：此題由于有條件x + y + z = 12，由合比性質(zhì)可直接利用這一條件，非常方便.此題也可以用其它方法解決:設(shè) X + - y + Z = Z*8 k，則x + 43k， y + z = 2k，z + 8 4k， 324x + 4 + y + z + z + 8 = 3k+2k+4k，即x +

9、 y + z +12 + z = 9k，.f 24 + z = 9k.24 + z9k，聯(lián)立方程組 ，解得 k3.2，z = 4.8，、z + 8 4kx 3k - 4 5.6，y 2k - 8 1.6 .例7.已知：X = y =-，設(shè)A 一y一，B 上，C = X + y-z，試比較A、B、CM者的大小.2 7 5x + y + zyx分析：利用比例的性質(zhì)，求處A,B,C的值，再作比較。解：根據(jù)等比性質(zhì):一 . y y 1x + y + z = 2y， /. A = .x + y + z 2y 2x + z y 1. x + z = y， . B = 1.yyx + y - z = 2x，

10、.c =暨2.xAVBVC.點(diǎn)評(píng)：貝Ux = 2k， y = 貝Ux = 2k， y = 7k， z = 5k，2 7 5a y7k 1 x + z 2k + 5k . TOC o 1-5 h z . A = ，B = 1，x + y + z2k + 7k + 5k2 y 7k2.x + yz 2k + 7k5k C 2.x2kAVBVC.例8.如圖，將一張長、寬之比為t2的矩形紙ABCD依次不斷對(duì)折，可以得到矩形紙BCFE，AEML，GMFH，LGPN.矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN長與寬的比改變了嗎？在這些矩形中，有成比例的線段嗎？你認(rèn)為這些大小不同的矩形相似嗎？分析

11、:通過計(jì)算說明.解：（1解：（1）矩形 ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN長與寬的比不改變.設(shè)紙的寬為。，長為*2 a, BC=a, BE=3 a2AE= a, ME=- TOC o 1-5 h z 22a2MF=-，HF=a2_4LG= - a，LN=44BC=aBE2AEME =2 a HYPERLINK l bookmark45 o Current Document a . v 2.a = 122_4巨BC=aBE2AEME =2 a HYPERLINK l bookmark45 o Current Document a . v 2.a = 122_4巨a： -=五 HYP

12、ERLINK l bookmark54 o Current Document LN 44MFHFLG所以五個(gè)矩形的長與寬的比不改變.（2）在這些矩形中有成比例的線段.（1）這些大小不同的矩形都相似.點(diǎn)評(píng)：根據(jù)線段的比的定義解題.例9.如果一個(gè)矩形ABCD（ABVBC）中，AB 51 AB = -1 00.618,那么這個(gè)矩形稱為黃金矩形，黃金矩形給人以美感.BC 2在黃金矩形ABCD內(nèi)作正方形CDEF，得到一個(gè)小矩形ABFE（如圖），請(qǐng)問矩形ABFE是否是黃金矩形？請(qǐng)說明你的結(jié) 論的正確性., 一， ，.， BF *1分析:關(guān)鍵利用黃金分割的有關(guān)定義說明站=二1AB 2解:矩形ABFE是黃金矩

13、形理由如下_由于 AB =兵二1，設(shè) AB=（歡一1）k，BC=2k，BC 2_所以 FC=CD=AB，BF=BCFC=BCAB=2kj5 一1）k=（3一，5 ）k， 所以BF = （3吹E* =云二1，所以矩形abfE是黃金矩形.AB 35 - 1）k2例10.以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD,取AB的中點(diǎn)P，連結(jié)PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF 為邊作正方形人肱舊尸，點(diǎn)肱在人。上，如圖（1）求人肱、OM的長.（2）求證：AM2=AD DM.（3）根據(jù)（2）的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎? 分析:通過計(jì)算證明.解：（1）：正方形人6。刀的邊長為2, P是AB中點(diǎn):

14、.AB=AD=2, AP=1在RtAAPD中，PD= i，AP2 + AD2 =t5.: PF=PD,:.AF=PFAP=v5 -1ZAMEF是正方形，:.AM=AF=x5 -1DM=ADAM=2 （ v，5 1） =3 5（2）由（1 ）得人肱2=（偵5 1） 2=6 2 5AD DM=2 （3 1）的一塊矩形綢布，要將 它剪裁出三面矩形彩旗（面料沒有剩余），使每條彩旗的長和寬之比與原綢布的長和寬之比相同，畫出兩種不同裁剪 方法的示意圖，并寫出相應(yīng)的。的值.解：方案（1）：.長和寬之比與原綢布的長和寬之比相同，（*）解得：a= 解得：a= 3方案（2）：由（*）得 .X=,a二方案（ .X=,a二方案（3）：由（*）得2a2a方案（4）：由（*）a 1 a1 由（*）a 1 a1 - 1a1, a -1 .b= 1 = _aa ma11n=1 a2m=a2 1m+n=1.1 1a2得1b1n+a21=1請(qǐng)您欣賞:我們常常聽說有“黃金分割”這個(gè)詞，“黃金分割”當(dāng)然不是指的怎樣分割黃金，這是一個(gè)比喻的說法，就是說分割 的比例像黃金一樣珍貴.那么這個(gè)比例是多少呢？是0.618.人們把這個(gè)比例的分割點(diǎn)，叫做黃金分割點(diǎn).把0.618叫做黃 金數(shù).并且人們認(rèn)為如果符合這一比例的話，就會(huì)顯得更美、更好看、更協(xié)調(diào).在生活中，對(duì)“黃金分割”有著很多的應(yīng)用.比如人：肚臍到腳底的距離/頭