矢量基本概念講解

1、（一）矢量基本概念定 義 既有大小又有方向的量稱為矢量（或向量）。表示法定義 有向線段的長度，稱為向量的模（或向量的長度），記做AB , |M。特殊的向量零矢量：長度為0的向量。零向量的方向是不確定的。單位矢量：長度為1的矢量。向量之間的關(guān)系兩矢量相等：長度相等，方向相同，與起點無關(guān)。反矢量：長度相同，方向相反的矢量。共線矢量：平行于同一直線的一組矢量。共面矢量：平行于同一平面的一組矢量。關(guān)于向量之間的關(guān)系，有下面結(jié)論：零矢量與共線（共面）的矢量組均共線（共面）；共線矢量必共面；兩矢量必共面；三矢量中若有兩矢量共線，則這三矢量一定共面。（二）矢量的遑算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法則）-

2、一從折線的端設(shè)已知矢量a, 8 ,以空間任意一點O為始點接連作矢量OA = a, AB =人得一折線OAB,從折線的端-點o到另一端點b的矢量ob =，叫做兩矢量a與b的和，記做8 = a+b。矢量的和（平行四邊形法則） 如圖示，有c = a+b。一般地：矢量的加法還滿足多邊形法則:OA = OA + A A +. + A A一般地：矢量的加法還滿足多邊形法則:n運算規(guī)律： 1）1）交換律：a+b = b+a ；2）2）結(jié)合律：（a + b） + 8 = a + （b + 8）。矢量的差若b+c = a，則稱8為矢量a與b的差，并記作c = ab。由定義，得矢量減法的幾何作圖法:c=a-b矢量

3、加法的性質(zhì)（1矢量加法的性質(zhì)（1）由定義，,/ a =i a ia0-a0 Lt TOC o 1-5 h z a _ b a + (_ b)(2)i a+b ii a i +1 (2)i a -b ii a i +1 b ii a + a + + a ib =(七,y四、兩矢量的夾角b =(七,y2,z2)，a - bxx + y y + z z貝U CosZ(a, b) = = ,121?12I a | , | b |：x 2 + y 2 + z 2 ,tx 2 + y 2 + z 2 111222推論*a b = a - b = 0 o x x + y y + z z = 0。1 21 2

4、1 2兩矢量的矢性積一、一、矢量積的定義與運算性質(zhì) TOC o 1-5 h z 定義 兩個矢量a與b的矢性積(又叫外積，叉積)a x b是這樣一個矢量： HYPERLINK l bookmark5 o Current Document (1)(1)模長為 I a x b I=I a I -1 b I SinZ(a,b) ； (2)方向為：與 a,b 均垂直且使(a,b ,a x b)成右手系。性質(zhì) 1) 若a,b中有一個為0，則a x b = 0。r ta- rr T2)a x b = 0 o a ,b共線或平行。* i3)幾何意義：Ia x b I表示以a , b為鄰邊的平行四邊形的面積。矢

5、性積的運算規(guī)律1)2)1)2)3)1)2)3)反交換律：a x b = - b x a。 *9- T *結(jié)合律：人(a x b)=(人a) x b = a x (kb)。I- -I-F- *-I-分配律：(a + b) x c = a x c + b x cc x (a + b) = c x a + c x b。同矢量的加，減，數(shù)乘運算一樣，矢量的數(shù)性積運算，也可以象多項式的乘法那樣去展開。、坐標計算矢量的矢性積定理在右手系直角坐標系中，a定理在右手系直角坐標系中，a = (xy1, z1)，b = (x2,y2,z2)，則 g 則 g a x b =證明：ijk氣y1z1x2y 2z 2=(

6、y z y z )i + (z x z x ) j + (x y x y )k。 TOC o 1-5 h z 1 22 11 22 11 22 1a x b = (x i + y j + z k) x (x i + y j + z k) = x x i x i + x y i x j + z z k x k1112221 21 21 2#*+FF手*又,: i x i = j x j = k x k = 0， i x j = k , j x k = i , k x i = j， a x b = (y z y z )i + (z x z x ) j + (x y x y )k，用行列式可記成1

7、22 11 22 11 22 1，便于記憶。，便于記憶。xix2yiy2z1z2(五)矢量的混合積定義L 丁、-. 一、一 .一一 ,、一T q - 丁 1、q 丁 1、 (a x b) - c稱為矢量的混合積，也可記為a x b - c或(a, b, c)或(a b c)（三）矢量的線性關(guān)系與矢量的分解定義,I曰.a a a _.比人.曰.入，入，, , ,入a 人 a + 人 a + - + 人 aa ,a aak由矢量1 2 n與數(shù)量1 2 n所組成的矢量 112 2 n n，叫做矢量1 2 n的線性組合。或稱a可以用矢量a1 y?氣線性表示?；蚍Q。可以分解成矢量a1, 氣的線性組合。定

8、義（線性相關(guān)） TOC o 1-5 h z n(n 1)人 曰 a a aa. 、r.比人.人人,、人 人 a + 人 a + - + 人 a 0，則對于n(n V個矢量1 2 n，右存在不全為零的實數(shù)1 2 n，使得112 2 n n，則稱矢量a1 a2an線性相關(guān)。不是線性相關(guān)的矢量叫做線性無關(guān)，即矢量a1七an線性無關(guān)：人a +人a +人a 0 o人一九 一.一人 0112 2n n12n 。定理1h 1-卜在n 2時，矢量a1aan線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個矢量是其余矢量的線性組合。證明：設(shè)矢量a a a線性相關(guān)，則存在不全為零的實數(shù)人,人，,人使得 12 n12 nh.:h人

9、a +人a +人a 0，且人,人, ,人中至少有一個不等于0，不妨設(shè)人。0，貝 112 2n n12 nn，入 入a 元卜 a 元 a a 犬 1 a ；nnn h|一反過來，設(shè)矢量a ,a ,a中有一個矢量，不妨設(shè)為a，它是其余矢量的線性組合，即 1 2nn-1不卜卜n-1不a 人a +人a + +人 a ，即人a +人a + +人 a + （1）a 0。因為數(shù)人,人, ,人n 112 2n1 n1112 2n1 n1n1 2n1全為0,所以矢量a ,。2a線性相關(guān)。顯然，如果一組矢量中的部分矢量線性相關(guān)，那么這一組矢量就線性相關(guān)。如果一組矢量中含有零矢量，那么這一組矢量就線性相關(guān)。定理2

10、TOC o 1-5 h z *T f *若e。0,則矢量r與e共線o r 能且系數(shù)尤被e, r唯一確定。-r-ff證明：若r 就，由定義知，矢量r與e共線。反過來，若矢量r與e共線，則一定存在實數(shù)尤，使得r xe。fe- *ff如果r 0，那么r 0e，即x 0。f f最后證明唯一性。若r xe x e，則（x - x）e 0，而e豐0，所以x= x。利用矢量間的線性相關(guān)的概念，可推廣到更一般的形式：定理2b-sfc-+ -F-兩矢量r與e共線o r,e線性相關(guān)。定理3若矢量e,e不共線，則矢量r與e,e共面o r = xe +虎，且系數(shù)x,y被e,e,r唯一確定。12121212證明省略。推

11、廣到更一般的形式: 定理3三矢量r與e e廿面e e r線性相關(guān) 矢里* r 與e ,e 共、面 e ,e，紜h土4日k。 1212定理4若矢量e,r,r不共面，則空間任意矢量r均可以由矢量r,r,e線性表示，即r = xe + yr +任，且系數(shù) 123123123x,y,z被e,e,e, r 唯一確定。 123證明省略。推廣到更一般的形式：定理4空間任意四個或四個以上的矢量總是線性相關(guān)的。標架與坐標一、坐標的定義在第四節(jié)，曾經(jīng)有個結(jié)論： 牛. e，e，ere，e，er = xe + ye + ze n 歹粉若天里1 2 3小共面，則空間任意天里r均可以由天里1 2 3線性表示，即123，且

12、系數(shù) x, y, z 汕e , e , e 被r，1 2 3唯確定。若e1, %, e3是單位矢量，則；e若e1, %, e3是單位矢量，則；e1, % %叫做笛卡兒標架。 若e1, %, e3是相互垂直的笛卡兒標架，則叫做笛卡兒直角標架，簡稱直角標架。定義(坐標)1J 11 2 3的坐標。,y, 稱為點P的坐標。困宅籽力口 ；e ,e ,e r = xe + ye + ze(x, y, z)為1 2 3的坐標。,y, 稱為點P的坐標。取定標架1 2 3，若 123，稱為關(guān)于標架-取定標架； e1, %, e3，P為任意一點，OP稱為點P的徑矢，則OP關(guān)于標架的坐標由標架決定坐標系，則由仿射標

13、架決定的坐標系叫做仿射坐標系，今后我們用的通常是空間右手直角坐標系， 并記,j,k為特定的坐標矢量。稱為坐標原點，Oy,Oz稱為坐標軸，xOy,xOz,yOz稱為坐標面。三個坐標面把整個空間分成八個部分，稱為八個卦限。二、二、坐標表示矢量的線性運算1.矢量的坐標等于其終點坐標減去其起點坐標。已知 A(x ,y ,z ),B(x ,y ,z ) 證明 AB =(x x ,y y ,z z) TOC o 1-5 h z 已知 111222 ，證明212121。證明.由定義 OA=(x，y，z),OB=(x，y，z)證明：由定乂，1 1 12 2 2 ，- aB = oB OA = (x x , y

14、 y , z z ) 212121 。2 2若 a = (x , y , z ),b = (x , y , z ) 則 b + a = (x + x , y + y , z + z )2若111222 ，則212121b - a = 3 x , y y , z z212121 ，根據(jù)坐標的定義既可證明。氣,b - a = 3 x , y y , z z212121 ，根據(jù)坐標的定義既可證明。氣,x y z-rf1 = 1 = 2 1 而北秉牛昌 a = (x ,y ,z ),b = (x ,y ,z ) if|r| a, b 廿獨 x y z3- 3-兩非零大量11 1222，則 共線 222

15、。X2 尤1 = y2 ，1 = z2 Z論 二點 A(x , y , z ), B(x , y , z ), C(x , y , z )廿絆 x x y y z z 推論：一點 111222333 共我 313231*一韭塞矢量 a = (x , y , z ), b = (x , y , z ), c = (x , y , z )4- 4 .非零大量1 1 122 23 3 3，證明：共面Xa +b +vc = 0 =系數(shù)行列式D = 0。xyz11111xyz222xyz13331xyz444=0o則a, b, c共面5. 5.線段的定比分點坐標定義D D / D D r D D _ D

16、D_D D1對有向線段5尸2 V尸2），若存在點P滿足pP = X 2，則稱點P分線段P1P2成定比冗。定理設(shè) P (x , y , z ), P (x , y , z )設(shè) 11112222x + Xxy + Xyx = 1+X2,y= 1+X2,z =則分有向線段P1P2成定比人的分點P的坐標是 z + Xz1+ X證明：P1P = X PP2，用坐標表示，即x - x1 y y1 z - z1=X (x - x)2=X (y 2 - y)=X(z2 - z)，解出 x,y,z 即得。例 卜 對于平行四邊形ABCD，求A, D, AD, DB在仿射標架C; AC, BD中的坐標。解：作圖如

17、下A(-1,0)例1 1D( 一 2,2)1 111AD =頃2)B =(一2廠2)DB = (0,-1)用坐標法證明：四面體對棱中點的連線交于一點。（略）矢量在軸上的射影定義（點在軸上的射影）已知一點A及一軸1，過A作垂直于1的平面a，該平面與軸1的交點A稱為點A在軸1上的射影。定義（射影矢量）AB的始點A與終點B在軸1上的射影為點A，B，則AB就定義為矢量AB在軸1上的射影矢量，記為射影矢定義（射影） 矢量AB在軸1的長度，稱為矢量AB在軸1上的射影，記為射影iAB（PrJ1AB）。_I ABIAB,與1 同方向。即.射影AB（ Pr jAB） - I ABlAB與1方向相反。射影定理Pr

18、LAB T AB1 CosQ，其中0 為1，AB 的夾角。證明略。推論相等矢量在同一軸上的射影相等。定理Pr j (a + b) = Pr j a + Pr j b定理典型例題例9-F 試證明：點M在線段AB上的充要條件是：存在非負實數(shù)人,日，使得OM =+OB，且X+P = l ,其中0是任意取定的一點。證明：(先證必要性)設(shè)M在線段AB上，則AM與AB同向，且0 | AM囪AB |， ,rh*h所以 AM = kAB，0 k 0，屋 0。(必要性)若對任一點0有非負實數(shù)X，日，使得0M = X0A +MB，且X + = 1，則 AM = 0M 0A = (X0A +yc0B) (X + )

19、0A = (0B 0A) = AB所以AM與AB共線，即M在直線AB上。又0 1，所以M在線段AB上。例證明三角形的三條高線交于一點。證明：如圖，設(shè)AABC的兩條高線BE，CF交于點M，連結(jié)AM。BE 1 AC :. BM - AC = 0 n (AM AB) - AC = 0 n AM - AC = AB - ACCF 1 AB :. CM - AB = 0 n (AM AC) - aB = 0 n AM - AB = AC - aB :.AM - AC = AM - AB n AM - bC = 0 n AM 1 BC延長AM, BC交于Q,則AD為BC邊上的高。即三條高線交于一點M。已知

20、三點M (1,1,1), A(2,2,1), B (2,1,2)，求ZAMB并且求MA在MB上的射影。 解：mA = (1,1,0), mB = (1,0,1) mA - mB = 1 , I mA i=V2,i mBi=V2 TOC o 1-5 h z MA - MB 11兀. CosZAMB =_=. ZAMB =-I MA I -1 MB I v2 23MA =1 MA I -CosZAMB = 2 射影MB2例證明矢量a(b c) b(a c)與c相互垂直。t -f-B- b K h k h K 一證明：(a (b - c) b(a - c) - c = (b - c)(a - c)

21、- (a - c)(b - c)=0例已知空間三點A(1,2,3),B(2,1,5),C(3,2,5)，試求(1) AABC的面積。(2) AABC的AB邊上的高。ijk132208=(24,12,6)=(24,12,6)AB = (1,3 2) , AC = (2,0 ,8). Smbc = 2 I AB x AC I=I AB x AC I= 21AABC 的面積為 3.巨T。又AABC的AB邊上的高為AB x AC 1 =竺M = 36。 TOC o 1-5 h z I AB I14例若a + b + c = 0,貝I a x b = b x c = c x a，且說明其幾何意義。*F-

22、*f*.,*F!*r-FFFF證明：,/ a x (a + b + c) = a x 0 = 0,又,/a x (a + b + c) = a x a + a x b + a x c ,*ffT. a x b = c x a。同理可證明a x b = b x c。a a4/i-a,人 斗布口口u = a a + b b v = a a + b b”處竹大曲 滸曰 b b 設(shè) 為兩小共線矢量，證明11 ,22共線的充要條件是1 2*-# F- 證明：u，v共線O u，v線性相關(guān)，即存在不全為0的實數(shù)人，口，使得Ku +v = 0 ，即(a 人 + a p)a + (b 人 + b p)b = 0

23、又因為又因為ab不共線O ab線性無關(guān)Oa 人 + a p = 0b1X + b2日=0有唯一零解Oaibia2 = 0 b2例例對于平行四邊形ABCD，求A, D，AD, DB在仿射標架C； AC, BD中的坐標。解：作圖如下解：作圖如下AA(-1,0)例1 1 1 111 D(-2,2) AD = (2,2) B = (-2,-2) DB = (0,-1) A AA A 用坐標法證明：四面體對棱中點的連線交于一點。（略）20022003年應數(shù)02級空間解析幾何復習試題一.填空：（每題6分）1.向量白=化3,4在向量b = b,2,l上的投影 。72 .已知 A = 1 + 3k，OB =

24、J + 3k，則oab 的面積為。X2 _ Z2 _ a 2 c 23.曲線0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周之曲面方程為。L . x 1 y z + 3 l . x y + 2 z.求直線1141 和22_ 2_ 1的夾角為。.二次曲線6x2 _ xy _ y2 + 3x + y _10的漸近線為。（8分）證明：若一個平面與三個坐標軸均相交，則三個截距倒數(shù)的平方和等于原點到此平面距離的倒數(shù)平 方。（10分）證明：二次曲線8x2 + 4xy + 5y2 +16x + 4y 一 80表示一個橢圓，并寫出其標準形。L . x + y _ z _ 1 0（io分）求直線 x_ y + z +10在平面兀:x + y

25、+ z0上的投影直線的方程。（10分）已知兩垂直的直線：4x + 3 y _ 70與l2：3x _ 4 y +1，取為x軸，4為y軸，求坐標 變換公式，并求l3 : 3 x _y+20在原坐標系中的方程。x y + 2 z 1x 1 y 3 z +1六.（12分）判別兩直線2 - 2_ 1與直線42_ 1的位置關(guān)系，并求兩直線間的距離。（10分）已知一柱面的準線是球面x 2 + y2+ z 21和平面x + y + z0的交線，母線垂直于準線所在的平 面，求它的一般方程。（10分）設(shè)入口滿足什么條件時，二次曲線x2 + 6xy + Xy2 + 3x +阿_ 40 （1）有唯一的中心；（2）無

26、中心；（3）有一條中心直線。20022003年應數(shù)02級空間解析幾何復習試題二.一.填空：（每題6分）1.向量白=化3,4在向量b = b,2,l上的投影 。72 .已知 A = 1 + 3k，OB = J + 3k，則oab 的面積為。X2 _ Z2 _ a 2 c 23.曲線0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周之曲面方程為。L . x 1 y z + 3 l . x y + 2 z.求直線1141 和22_ 2_ 1的夾角為。.二次曲線6x2 _ xy _ y2 + 3x + y _10的漸近線為。二.（8分）證明：若一個平面與三個坐標軸均相交，則三個截距倒數(shù)的平方和等于原點到此平面距離的倒數(shù)平 方。（10分

27、）證明：二次曲線8x2 + 4xy + 5y2 +16x + 4y 一 80表示一個橢圓，并寫出其標準形。L . x + y _ z _ 1 0（io分）求直線 x_ y + z +10在平面兀:x + y + z0上的投影直線的方程。（10分）已知兩垂直的直線：4x + 3 y _ 70與l2：3x _ 4 y +1，取為x軸，4為y軸，求坐標 變換公式，并求l3 : 3 x _y+20在原坐標系中的方程。x y + 2 z 1x 1 y 3 z +1六.（12分）判別兩直線2 - 2_ 1與直線42_ 1的位置關(guān)系，并求兩直線間的距離。（10分）已知一柱面的準線是球面x 2 + y2+ z

28、 21和平面x + y + z0的交線，母線垂直于準線所在的平 面，求它的一般方程。（10分）設(shè)入口滿足什么條件時，二次曲線x2 + 6xy + Xy2 + 3x +阿_ 40 （1）有唯一的中心；（2）無 中心；（3）有一條中心直線。由機土由機土解析幾何的產(chǎn)生，十六世紀以后，由于生產(chǎn)和科學技術(shù)的發(fā)展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如德國天文學家開普 勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的太陽處在這個橢圓的一個焦點上意大利科學家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗著拋物線運動的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應了，這就導致了解析幾何的出現(xiàn)。

29、1637年，法國的哲學家和數(shù)學家笛卡爾發(fā)表了他的著作方法論，這本書的后面有三篇附錄，篇叫折光學，一篇叫流星學，一篇叫幾何學。當時的這個“幾何學”實際上指的是數(shù)學，就像我國古代“算術(shù)”和“數(shù)學”是一個意思一樣。笛卡爾的幾何學共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和 “超立體”的作圖，但他實際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學家和數(shù)學史學家都把笛卡爾的幾何學作為解析幾何的起點。從笛卡爾的幾何學中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學，把算術(shù)、 代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設(shè)想，把任何數(shù)學問題化為一個代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個方程式。為了實現(xiàn)上述

30、的設(shè)想，笛卡爾茨從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點和實數(shù)對（x,y的對應關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數(shù)對相對應；第二，在平面上建立了坐標系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數(shù)的一個代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，運用坐標法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。解析幾何的產(chǎn)生并不是偶然的。在笛卡爾寫幾何學以前，就有許多學者研究過用兩條相交 直線作為一種坐標系；也有人在研究天文、地理的時候，提出了一點位置可由兩個“坐標”（經(jīng) 度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創(chuàng)建產(chǎn)生了很大的影響。在數(shù)學史上，一般認為和笛卡爾同時代的法國業(yè)余數(shù)學家費爾馬也是解析幾何的創(chuàng)建者之一， 應該分享這門學科創(chuàng)建的榮譽。費爾馬是一個業(yè)余從事數(shù)學研究的學者，對數(shù)論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的“書”無意發(fā)表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發(fā)表幾何學以前，就已寫了關(guān)于解析幾何的小文，就已經(jīng)有了解